数学必修52.4 等比数列教学设计及反思

《等比数列的前n项和》教学案例设计

一、设计思想

1、设计理念

本课的教学设计基于“人人都能获得必要得数学”即平等性的考虑，坚持面向全体学生，努力设计“适合学生发展得数学教育”， 体现“人人学数学”，“不同的人学不同的数学”的理念。教学中强调“培养学生情感、态度与价值观”的重要性，注重引导学生主动地进行探索，从而帮助学生树立正确的数学观，但又与教师的设计问题与活动的引导密切结合，强调“活动”的内化，即在头脑中实现必要的重构或认知结构的重组，从而引起真正的数学思维，提高思维的效益。通过联系学生的生活实际使其真正感到数学是有意义的，一方面培养学生的社会意识，明确肯定“日常数学”的合理性等，另一方面，再调动学生生活经验的同时，又应努力帮助他们清楚地去熟悉生活经验并上升到“学校数学”的必要性。

2、设计背景

传统的数学作业单调枯燥，脱离生活和学生实际，不利于学生个性和能力的发展。在新课程标准的理念下，重新认识作业的意义和价值，突破传统，改变现状，树立正确的作业观，创新作业方式，激发兴趣，发展学生数学素质，既注重基础知识的巩固，更要注重学生思维和能力的发展，既要创新又要保证其科学有效，使学生在做作业的过程中体验快乐、形成能力、学会合作、体验自主。

3、教材的地位与作用

本节教材在学生学习过等比数列的概念与性质的基础上，学习等比数列n前项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决相关求和问题。探索公式的推导、体会错位相减法以及分类讨论的思想方法。本节内容基础知识和基本技能非常重要，涉及的数学思想、方法较为丰富，因此是重点内容之一。本设计是第一课时的教学内容。

二、学习目标

⑴知识与技能

掌握等比数列的前n项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决相关问题。

⑵过程与方法

通过等比数列的前n项和公式的推导过程，体会错位相减法以及分类讨论的思想方法。

⑶情感、态度与价值观

通过对等比数列的学习，发展数学应用意识，逐步认识数学的科学价值、应用价值，发展数学的理性思维。

教学重点

掌握等比数列的前n项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决相关问题。

教学难点

错位相减法以及分类讨论的思想方法的掌握。

三、教学设想：

本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，以四周世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的深入探讨。让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。设计思路如下：

四、            教学过程

（一）创设问题情景

课前给出复习：等比数列的定义及性质

课首给出引例：“  一个穷人到富人那里去借钱,原以为富人不愿意，哪知富人一口答应了下来,但提出了如下条件：在30天中，富人第一天借给穷人1万元,第二天借给穷人2万元,以后每天所借的钱数都比上一天多1万;但借钱第一天,穷人还1分钱,第二天还2分钱,以后每天所还的钱数都是上一天的两倍,30天后互不相欠.穷人听后觉得挺划算,本想定下来,但又想到此富人是吝啬出了名的,怕上当受骗,所以很为难。”请在座的同学思考讨论一下,穷人能否向富人借钱?

[设计一个学生比较感爱好的实际问题，吸引学生注重力，使其马上进入到研究者的角色中来！]

（二）启发引导学生数学地观察问题，构建数学模型。

学生直觉认为穷人可以向富人借钱，教师引导学生自主探求，得出：

穷人30天借到的钱：（万元）

穷人需要还的钱：?

[直觉先行,思辨引路,在矛盾冲突中引发学生积极的思维!]

教师紧接着把如何求？的问题让学生探究，

  ①若用公比2乘以上面等式的两边，得到

②

若②式减去①式，可以消去相同的项，得到：

(分) ≈1073(万元) ＞ 465（万元）

答案:穷人不能向富人借钱

（三）引导学生用“特例到一般”的研究方法，猜想数学规律。

提出问题:如何推导等比数列前n项和公式？（学生很自然地模仿以上方法推导）

（1）-（2）有

推导等比数列前n项和的公式，教师引导讲完课本上的推导方法后，

教师：还有没有其他推导方法？（经过几分钟的思考，有学生举手发言）

学生A：        即

。

学生B：

[“特例→类比→猜想”是一种常用的科学的研究思路！

教师让学生进行各种尝试，探寻公式的推导的方法，同时抓住机会或创设问题情景调动了学生参与问题讨论的积极性，培养学生的探究能力，发挥了组织者、推进者和指导者的作用，而学生却是实实在在的主体活动者、成为发现者、创造者！让学生享受成功的喜悦！ ]

【基础知识形成性练习：】

1、求下列等比数列的各项和：

(1)1，3，9，…，2187            （2）

2、根据下列条件求等比数列的前n项和

①              ②

(四)数学应用

例1  求等比数列1/2，1/4，1/8……的

(1)前8项的和;

(2)第四项到第八项的和

解 ：  （1）

（2）

例2：在等比数列中，

（1）已知  求

（2）已知   求

例3：在等比数列中， 求

[例1教师板演示范，强调解题的规范。例2、例3学生分析解法，学生不会时要分析出不会做的症结所在，然后再由学生板演出解题过程。]

【演练反馈巩固性练习：】

1）在等比数列中，

①已知，求和

②已知求和

2）求数列的前n项和。

[允许学生对不会做的题目可以不做，只要分析出不会做的症结所在，就算完成了作业。然后老师给出评价]

(五) 课堂小结

[由学生对照等差数列求和总结出本节课所学内容]

（六）布置作业

1、根据下列条件，求等比数列的前n项和

①:                 ②:

③：    ④:

2、在等比数列中，

①:已知，求和

②:已知，求

3、在等比数列中，已知，求

4、求和：

[作业要求：允许学生对不会做的题目可以不做，只要分析出不会做的症结所在，就算完成了作业。]

（七）板书设计

                  等比数列的前n项和

     公式推导     例题                练习

                   注：

（七）课后反思

本节课授课对象为实验班的学生，学习基础较好。同时，考虑到这是一节探究课，授课前并没有告诉学生授课内容。教学设计从学生的角度出发，采用“教师设计问题与活动引导”与“学生积极主动探究”相结合的方法分成五个步骤层次分明（1）创设问题情景、布疑激趣（2）启发引导学生数学地观察问题，构建数学模型（3）探寻特例、提出猜想（4）数学应用（5）知识评估。学生在未经预习不知等比数列求和公式和证明方法的前提下，在教师预设的思路中，一步步发现了公式并推导了公式，感受到了创造的快乐，激发了学习数学的爱好，教学的知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实。

（一）、通过创设教学情境，激活了学生思维。从认知的角度看，情境可视为一种信息载体，一种知识产生的背景。本节课数学情境的创设突出了以下两点：

1．从有利于学生主动探索设计数学情境。新课标指出：学生的数学学习内容应当是现实的、有趣的和富有挑战性的。从心理学的角度看，青少年有一种好奇的心态、探究的心理。因此，本教案紧紧地抓住高一学生的这一特征，利用“小故事”这一探索性的材料，精心设计教学情境，使学生在观察、实验、猜想、验证、推理等活动中，逐步形成创新意识。

2.以问题为导向设计教学情境。“问题是数学的心脏”，本节课数学情境的设计处处以问题为导向：“请在座的同学思考讨论一下,穷人能否向富人借钱?”、“ 如何推导等比数列前n项和公式？”、“还有没有其他推导方法？” ……促使学生去思考问题，去发现问题。

（二）、创造性地使用了教材。数学教学的核心是学生的“再创造”，新课标提倡教师创造性地使用教材。本节课从问题情境的创造到数学实验的操作，再到证实方法的发现，都对教材作了一定的调整和拓展，使其更符合学生的思维习惯和认知水平，使学生在知识的形成过程、发展过程中展开思维，发展了学生的能力。

（三）我在习题或作业布置时曾做过一个新尝试：允许学生对不会做的题目可以不做，只要分析出不会做的症结所在，就算完成了作业。这种新策略有以下两个优点：

1、对学生而言，完成作业是成功，个别题目没有完成，但明确了哪儿卡壳也是成功。在这宽松和谐的气愤中，他们将由苦学变为乐学，由被动变为主动学，大大提高作业效率。如果说不会的作业可以不做是“量的减负”，那么分析不会的原因则是“质的增效”，这是由于数学的概念体系以其逻辑严谨著称，而数学习题的解决，要经历多次由此及彼的推理了或计算才能获得。那些基础扎实、推理能力较强的学生，在做完一道题后，往往会产生一定的正确的自信。即便遇上一时解不开的题，也能分析出只需解决了某步推理，或由题设完成某数据的计算，该题即可或解。而某步推理或某数据的计算，恰恰是疑点，即所说的“症结”，能够分析出“症结”，知道哪儿卡壳，是需要一定数学素养的，这对学生来说，需要一个逐渐养成的过程。在这种宽松的气愤中，学生大都能静下心来，抱着研究的心态，去分析症结所在，甚至在分析的过程中，使问题或解而得到意外的收获。

2、由于学生对不会做的题不做变成一种“合法行为”，再也不会有人做抄袭的傻事，还可以培养学生的求实精神，屏弃自欺欺人的不良学风，新策略实施后受到学生的热烈欢迎，绝大多数学生把对新策略的兴趣，逐渐转变成为对数学的兴趣。

一些遗憾：由于这种探究课型在平时的教学中还不够深入，有些学生往往以一种观赏者的身份参与其中，主动探究意识不强，思维水平没有达到足够的提升；在做习题时总有个别学生钻“对不会做的题目可以不做”的空子，而不去认真分析“症结”，但相信随着课改实验的深入，这种状况会逐步改善。

一些感悟：轻松愉快的课堂是学生思维发展的天地，是合作交流、探索创新的主阵地，是思想教育的好场所。新课标下的课堂是学生和教师共同成长的舞台！