高中数学人教版新课标A必修52.4 等比数列当堂检测题

课时作业(三十一)　[第31讲　等比数列]

 [时间：45分钟　　分值：100分]

1．下列四个结论中，正确的个数是(　　)

①等比数列{an}的公比q>0且q≠1，则{an}是递增数列；

②等差数列不是递增数列就是递减数列；

③{an}是递增数列，{bn}是递减数列，则{an－bn}是递增数列；

④{an}是递增的等差数列，则{2an}是递增的等比数列．

A．1  B．2  C．3  D．4

2．[2011·信阳二模]  等比数列{an}中，若a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，那么a4＋a5等于(　　)

A．27  B．27或－27

C．81  D．81或－81

3．[2011·济南调研]  已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a7＝4a，a2＝2，则a1＝(　　)

A．1  B.  C．2  D.

4．[2011·上海虹口区模拟]  各项都为正数的等比数列{an}中，a1＝1，a2＋a3＝27＋，则通项公式an＝________.

5．[2011·杭州师大附中月考] 设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，则公比q＝(　　)

A．3  B．4  C．5  D．6

6．在等比数列{an}中，若a2a3a6a9a10＝32，则的值为(　　)

A．4  B．2

C．－2  D．－4

7．已知数列{an}是首项为1的等比数列，Sn是数列{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为(　　)

A.或  B.或

C.  D.

8．[2011·四川卷] 数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝(　　)

A．3×44  B．3×44＋1

C．44  D．44＋1

9．已知公差不为0的等差数列{an}满足a1，a3，a4成等比数列，Sn为{an}的前n项和，则的值为(　　)

A．2  B．3

C.  D．4

10．[2011·东莞调研]  在等比数列{an}中，a1＝1，且a1＋1，a2＋2，a3＋2依次成等差数列，则{an}的前6项和等于________．

11．设项数为10的等比数列的中间两项与2x2＋9x＋6＝0的两根相等，则数列的各项相乘的积为________．

12．[2011·上海奉贤区调研]  在等比数列{an}中，an>0，且a1·a2·…·a7·a8＝16，则a4＋a5的最小值为________．

13．[2011·吉安二模]  在等比数列{an}中，存在正整数m，使得am＝3，am＋5＝24，则am＋15＝________.

14．(10分)[2011·全国卷] 设等比数列{an}的前n项和为Sn.已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求an和Sn.

15．(13分)[2011·福建卷] 已知等比数列{an}的公比q＝3，前3项和S3＝.

(1)求数列{an}的通项公式；

 (2)若函数f(x)＝Asin(2x＋φ)(A>0,0<φ<π)在x＝处取得最大值，且最大值为a3，求函数f(x)的解析式．

16．(12分)[2011·浙江卷] 已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1为a(a∈R)，且，，成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)对n∈N*，试比较＋＋…＋与的大小．

课时作业(三十一)

【基础热身】

1．B　[解析] 对于①，不一定为递增数列，还可能为递减数列；对于②，常数列也是等差数列；对于③，按照函数的单调性考虑，知结论正确；对于④，依据指数函数的性质知，结论正确．故选B.

2．B　[解析] a3＋a4＝q2(a1＋a2)＝q2＝9，所以q＝±3，所以a4＋a5＝q(a3＋a4)＝±27，故选B.

3．A　[解析] 设{an}的公比为q，则有a1q2·a1q6＝4aq6，解得q＝2(舍去q＝－2)，所以由a2＝a1q＝2，得a1＝1.故选A.

4．3n－1　[解析] 由已知等式可得a2a3＝27，设等比数列的公比为q，则有aq3＝27，所以q＝3，通项公式为an＝3n－1.

【能力提升】

5．B　[解析] 将已知两等式相减得3a3＝a4－a3，即a4＝4a3，所以公比q＝4.故选B.

6．B　[解析] 设公比为q，由a2a3a6a9a10＝32得a＝32，所以a6＝2，

所以＝＝a6＝2.故选B.

7．C　[解析] 由题意可知q≠1，＝，解得q＝2，数列是以1为首项，以为公比的等比数列，由求和公式可得其前5项和为.因此选C.

8．A　[解析] 由an＋1＝3Sn⇒Sn＋1－Sn＝3Sn⇒Sn＋1＝4Sn，所以数列{Sn}是首项为1，公比为4的等比数列，所以Sn＝4n－1，所以a6＝S6－S5＝45－44＝3×44，所以选择A.

9．A　[解析] 设等差数列{an}的公差为d，则有(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)，得a1＝－4d，

所以＝＝＝＝2.故选A.

10．27　[解析] 设公比为q，则a3＋a4＝(a1＋a2)q2＝9，所以q＝3，a4＋a5＝(a1＋a2)q3＝27.

11．243　[解析] 设此数列为{an}，由题设a5a6＝3，从而a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝35＝243.

12．2　[解析] 由已知得(a4a5)4＝16，因为an>0，所以a4a5＝2，所以a4＋a5≥2＝2.

13．1536　[解析] 设公比为q，则am＋5＝amq5＝3q5＝24，所以q5＝8，am＋15＝am＋5q10＝24×82＝1536.

14．[解答] 设{an}的公比为q，由题设得

解得或

当a1＝3，q＝2时，an＝3×2n－1，Sn＝3×(2n－1)；

当a1＝2，q＝3时，an＝2×3n－1，Sn＝3n－1.

15．[解答] (1)由q＝3，S3＝得＝，

解得a1＝.

所以an＝×3n－1＝3n－2.

(2)由(1)可知an＝3n－2，所以a3＝3.

因为函数f(x)的最大值为3，所以A＝3；

因为当x＝时f(x)取得最大值，

所以sin＝1.

又0<φ<π，故φ＝.

所以函数f(x)的解析式为f(x)＝3sin.

【难点突破】

16．[解答] (1)设等差数列{an}的公差为d，由题意可知2＝·，

即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，从而a1d＝d2.

因为d≠0，所以d＝a1＝a，

故通项公式an＝na.

(2)记Tn＝＋＋…＋.因为a2n＝2na，

所以Tn＝＝·＝.

从而，当a＞0时，Tn＜，当a＜0时，Tn＞.