2021学年2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系随堂练习题

课时作业(四十一)　[第41讲　空间点、直线、平面之间的位置关系]

 [时间：45分钟　　分值：100分]

1．下面列举的图形一定是平面图形的是(　　)

A．有一个角是直角的四边形

B．有两个角是直角的四边形

C．有三个角是直角的四边形

D．有四个角是直角的四边形

2．已知直线l∥平面α，a、b是夹在直线l与平面α之间的两条线段，则a∥b是a＝b的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

3．下列说法正确的是(　　)

A．如果两个不重合的平面α、β有一条公共直线a，就说平面α、β相交，并记作α∩β＝a

B．两个平面α、β有一个公共点A，就说α、β相交于过A点的任意一条直线

C．两个平面α、β有一个公共点A，就说α、β相交于A点，并记作α∩β＝A

D．两个平面ABC与DBC相交于线段BC

4．以下四个命题中，正确的命题是________(填序号)．

①不共面的四点中，其中任意三点不共线；

②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；

③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；

④依次首尾相接的四条线段必共面．

5．若A、B、C表示不同的点，a、l表示不同的直线，α、β表示不同的平面，下列推理不正确的是(　　)

A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α

B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB

C．l⊄α，A∈l⇒A∉α

D．A、B、C∈α，A、B、C∈β且A、B、C不共线⇒α与β重合

6．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一条直线上”是“这四个点在同一个平面上”的(　　)

A．充分不必要条件 

B．必要不充分条件

C．充分必要条件 

D．既不充分又不必要条件

7．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为(　　)

A．3  B．4  C．5  D．6

8．[2011·宿州褚兰中学三模]  正方体ABCD－A′B′C′D′中，P、Q、R分别是AB、AD、B′C′的中点，那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是(　　)

图K41－1

A．三角形  　　　B．四边形

C．五边形  　　　D．六边形

9．如图K41－2所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是(　　)

图K41－2

A．直线AC  B．直线AB   C．直线CD  D．直线BC

10．共点的四条直线最多能确定平面的个数是________．

11．给出下列条件：①空间的任意三点；②空间的任意两条直线；③梯形的两条腰所在的直线；④空间的任意一条直线和任意一个点；⑤空间两两相交的三条直线．其中一定能独立确定一个平面的条件的序号是________．

12．已知直线m、n及平面α，其中m∥n，那么平面α内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：①一条直线；②一个平面；③一个点；④空集．其中正确的是________(填序号)．

13．下列命题中正确的是________(填序号)．

①若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P、Q、R，则P、Q、R三点共线；②若三条直线a、b、c互相平行且分别交直线l于A、B、C三点，则这四条直线共面；③空间中不共面的五个点一定能确定10个平面．

14．(10分)如图K41－3，设E，F，G，H分别是三棱锥A－BCD的棱AB、BC、CD、AD的中点，若AC＝BD＝1，求EG2＋FH2的值．

图K41－3

15．(13分)如图K41－4所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为AA1、C1D1的中点，过D、M、N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.

(1)画出直线l，并说明画法的依据；

(2)设A1B1∩l＝P，求线段PB1的长．

图K41－4

16．(12分)如图K41－5，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊AD，BE綊FA，G、H分别为FA、FD的中点．

(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；

(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？

(3)证明：FE、AB、CD三线共点．

图K41－5

课时作业(四十一)

【基础热身】

1．D　[解析] 对于前三个，可以想象出仅有一个直角的平面四边形沿着非直角所在的对角线翻折；对角为直角的平面四边形沿着非直角所在的对角线翻折；在翻折的过程中，某个瞬间出现了有三个直角的空间四边形．

2．A　[解析] 当a∥b时，设a、b、l确定的平面与平面α的交线为l′，则a、b、l、l′构成平行四边形，可得a＝b；反之，若a＝b，则不一定有a∥b.故选A.

3．A　[解析] 根据平面的性质公理3可知，A对；对于B，其错误在于“任意”二字上；对于C，错误在于α∩β＝A上；对于D，应为平面ABC和平面DBC相交于直线BC.

4．①　[解析] ①正确，可以用反证法证明，假设有三点共线，则由直线和直线外一点确定一个平面，得这四点共面；②从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线，则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性；④不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上．

【能力提升】

5．C　[解析] 由公理1知，A正确；由公理3知，B正确；由公理2知，D正确；l⊄α⇒l可能与α相交，C不正确，故选C.

6．A　[解析] 若有三点共线于l，当第四点在l上时共面，当第四点不在l上时，l与该点确定一个平面α，这四点共面于α；若四点共面，则未必有三点共线．故选A.

7．C　[解析] 如图所示，用列举法知符合要求的棱为：BC、CD、C1D1、BB1、AA1.

8．D　[解析] 如图，

作RG∥BD交C′D′于G，连接QP，并延长与CB的延长线交于M，

连接MR交BB′于E，连接PE、RE，

同理延长PQ交CD的延长线于N，连接NG交DD′于F，连接QF、FG.

故截面为六边形PQFGRE.

9．C　[解析] 由题意知，D∈l，l⊂β，∴D∈β.

又D∈AB，∴D∈平面ABC，

即D在平面ABC与平面β的交线上．

又C∈平面ABC，C∈β，

∴点C在平面β与平面ABC的交线上．

从而有平面ABC∩平面β＝CD，故选C.

10．6　[解析] 观察四棱锥模型，它的四个侧面，以及两个对角面，可以看成共点的四条直线最多能确定平面的个数的情形．

11．③　[解析] ①中三点共线时，②中两直线不平行也不相交时，④中点在直线上时，⑤中三直线交于一点时(此时可能不共面)，都不能独立确定一个平面．

12．①②④　[解析] 如图(1)，当直线m或直线n在平面α内且m、n所在平面与α垂直时不可能有符合题意的点；如图(2)，直线m、n到已知平面α的距离相等且两直线所在平面与已知平面α垂直，则已知平面α为符合题意的点集；如图(3)，直线m、n所在平面与已知平面α平行，则符合题意的点为一条直线．

13．①②　[解析] 在①中，因为P、Q、R三点既在平面ABC上，又在平面α上，所以这三点必在平面ABC与α的交线上，即P、Q、R三点共线，故①正确；在②中，因为a∥b，所以a与b确定一个平面α，而l上有A、B两点在该平面上，所以l⊂α，即a、b、l三线共面于α；同理a、c、l三线也共面，不妨设为β，而α、β有两条公共的直线a、l，∴α与β重合，即这些直线共面，故②正确；在③中，不妨设其中有四点共面，则它们最多只能确定7个平面，故③错．

14．[解答] 易知四边形EFGH为平行四边形，由平行四边形性质知：

EG2＋FH2＝2(EF2＋FG2)＝2×(AC2＋BD2)＝×(12＋12)＝1.

15．[解答] (1)延长DM交D1A1的延长线于E，连接NE，则NE即为所求的直线l.依据如下：

∵E∈直线DM，直线DM⊂平面DMN，

∴E∈平面DMN.

又E∈直线A1D1，直线A1D1⊂平面A1B1C1D1，

∴E∈平面A1B1C1D1.

∴E为平面A1B1C1D1与平面DMN的公共点．

∵平面A1B1C1D1∩平面DMN＝l，∴E∈l.

同理可证N∈l.

∴直线EN就是所求的直线．

(2)∵M为AA1的中点，且AD∥ED1，∴AD＝A1E＝A1D1＝a.

又∵A1P∥D1N，且D1N＝a，∴A1P＝D1N＝a，∴PB1＝A1B1－A1P＝a.

即线段PB1的长为a.

【难点突破】

16．[解答] (1)证明：由题设知，FG＝GA，FH＝HD，

所以GH綊AD.

又BC綊AD，故GH綊BC，

所以四边形BCHG是平行四边形．

(2)C、D、F、E四点共面．理由如下：

由BE綊AF，G是FA的中点知，BE綊GF，

所以EF∥BG.

由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC、FH共面．

又点D在直线FH上，所以C、D、F、E四点共面．

(3)证明：连接EC，

∵BE綊AF，BC綊AD，

∴＝＝，故EC∥FD且EC≠FD，

∴FE与DC交于一点P.

又AB⊂平面ABEF，AB⊂平面ABCD，

∴P点在AB上，故FE、DC、AB三线共点．