高中数学人教版新课标A必修53.4 基本不等式课后练习题

课时作业(三十七)A　[第37讲　基本不等式]

 [时间：35分钟　分值：80分]

1．[2011·合肥质检]  若M＝(a∈R，a≠0)，则M的取值范围为(　　)

A．(－∞，－4]∪[4，＋∞)  B．(－∞，－4]

C．[4，＋∞)  D．[－4,4]

2．已知ab≠0，a，b∈R，则下列式子总能成立的是(　　)

A.＋≥2  B.＋≥－2

C.＋≤－2  D.≥2

3．[2011·重庆卷] 若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝(　　)

A．1＋  B．1＋  C．3  D．4

4．对一切正数m，不等式n<＋2m恒成立，则常数n的取值范围为(　　)

A．(－∞，0)  B．(－∞，4)

C．(4，＋∞)  D．[4，＋∞)

5．[2011·陕西卷] 设0<a<b，则下列不等式中正确的是(　　)

A．a＜b＜＜  B．a＜＜＜b

C．a＜＜b＜  D.＜a＜＜b

6．[2011·安徽百校联考]  已知a>0，b>0，A为a，b的等差中项，正数G为a，b的等比中项，则ab与AG的大小关系是(　　)

A．ab＝AG  B．ab≥AG

C．ab≤AG  D．不能确定

7．某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(0<t≤30)的关系大致满足f(t)＝t2＋10t＋16，则该商场前t天平均售出的月饼最少为(　　)

A．18  B．27  C．20  D．16

8．设a、b、c都是正数，那么a＋、b＋、c＋三个数(　　)

A．都不大于2  B．都不小于2

C．至少有一个不大于2  D．至少有一个不小于2

9．若a>b>1，P＝，Q＝(lga＋lgb)，R＝lg，则P，Q，R的大小关系为________．

10．[2011·吉林质检]  已知2a＋3b＝6，且a>0，b>0，则＋的最小值是________．

11．下列函数中，y的最小值为4的是________(写出所有符合条件的序号)．

①y＝x＋(x>0)；②y＝；③y＝ex＋4e－x；④y＝sinx＋.

12．(13分)若x，y∈R，且满足(x2＋y2＋2)(x2＋y2－1)－18≤0.

(1)求x2＋y2的取值范围；

(2)求证：xy≤2.

13．(1)(6分)[2011·惠州模拟]  若x、y、z均为正实数，则的最大值是(　　)

A.  B.  C．2  D．2

(2)(6分)设x，y，z为正实数，满足x－2y＋3z＝0，则的最小值是________．

课时作业(三十七)A

【基础热身】

1．A　[解析] M＝(a∈R，a≠0)，当a>0时，M≥4，当a<0时，M≤－4.

 2.D　[解析] 选项A、B、C中不能保证、都为正或都为负．

3．C　[解析] ∵x＞2，

∴f(x)＝x＋＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，

当且仅当x－2＝，即x＝3时取等号．

4．B　[解析] 由题意知，n小于函数f(m)＝＋2m在(0，＋∞)上的最小值，f(m)min＝4.

【能力提升】

5．B　[解析] 因为0<a<b，由基本不等式得<，a<b，故<＝b，a＝<，故答案为B.

6．C　[解析] 依题意得A＝，G＝，故AG＝·≥·＝ab.

7．A　[解析] 平均销售量y＝＝＝t＋＋10≥18，当且仅当t＝，即t＝4∈[1,30]等号成立，即平均销售量的最小值为18.

8．D　[解析] 假设a＋<2，b＋<2，c＋<2，则

＋＋<6，

而＋＋＝＋＋≥2＋2＋2＝6，与假设矛盾，

∴a＋、b＋、c＋至少有一个不小于2.选D.

9．P<Q<R　[解析] ∵a>b>1，所以lga>0，lgb>0，由基本不等式知(lga＋lgb)>，所以P<Q，又>，所以lg>lg＝(lga＋lgb)，所以R>Q，所以P<Q<R.

10．2　[解析] ∵2a＋3b＝6，a>0，b>0，∴＋＝1，

∴＋＝＝1＋＋≥1＋1＝2，当＝时，即3b＝2a时“＝”成立．

11．①③　[解析] ①y＝x＋≥2＝4，等号成立的条件是x＝2；

②y＝＝2

＝2≥4，但等号不成立；

③y＝ex＋4e－x＝ex＋≥4，等号成立的条件是x＝ln2；

④当sinx>0时，y＝sinx＋≥4，但等号不成立；

当sinx<0时，y＝sinx＋<－4.

12．[解答] (1)由(x2＋y2)2＋(x2＋y2)－20≤0，

得(x2＋y2＋5)(x2＋y2－4)≤0，

因为x2＋y2＋5＞0，所以有0≤x2＋y2≤4，

故x2＋y2的取值范围为[0,4]．

(2)证明：由(1)知x2＋y2≤4，由基本不等式得xy≤≤＝2，所以xy≤2.

【难点突破】

13．(1)A　(2)3　[解析] (1)∵x，y，z∈(0，＋∞)，∴x2＋y2＋z2＝x2＋y2＋y2＋z2≥2＋2＝(xy＋yz)，当且仅当x＝z＝y时取等号，令u＝，则≤＝，∴当且仅当x＝z＝y时，u取得最大值.

(2)由x－2y＋3z＝0，得y＝，

代入得＝≥＝3，

当且仅当x＝3z时取“＝”．