高中数学人教版新课标A选修2-12.2椭圆课堂检测

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(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．(2016·潍坊高二检测)如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是(　　)

A．(3，＋∞)

B．(－∞，－2)

C．(3，＋∞)∪(－∞，－2)

D．(3，＋∞)∪(－6，－2)

【解析】　由于椭圆的焦点在x轴上，

所以即

解得a＞3或－6＜a＜－2，故选D.

【答案】　D

2．已知椭圆过点P和点Q，则此椭圆的标准方程是(　　)

A.＋x2＝1

B.＋y2＝1或x2＋＝1

C.＋y2＝1

D．以上都不对

【解析】　设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，

则

∴

∴椭圆的方程为x2＋＝1.

【答案】　A

3．(2016·合肥高二月考)设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积等于(　　)

A．5　　 B．4　　　

C．3　　　 D．1

【解析】　由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又|PF1|∶|PF2|＝2∶1，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，由22＋42＝(2)2，可知△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×4×2＝4，故选B.

【答案】　B

4．椭圆mx2＋ny2＝－mn(m<n<0)的焦点坐标为(　　)

【导学号：18490042】

A．(0，±) B．(±，0)

C．(0，±) D．(±，0)

【解析】　将mx2＋ny2＝－mn(m<n<0)化成标准方程得＋＝1，由m<n<0⇒－m>－n>0，得焦点在y轴上，即a2＝－m，b2＝－n，得c2＝a2－b2＝n－m，故选C.

【答案】　C

5．设P是椭圆＋＝1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则△PF1F2是(　　)

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．等腰直角三角形

【解析】　由椭圆定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，

又|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3，

又|F1F2|＝2c＝2＝4，

即|F1F2|2＋|PF2|2＝|PF1|2，

∴△PF1F2为直角三角形．

【答案】　B

二、填空题

6．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________．

【解析】　依题意，有

可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，故有b＝3.

【答案】　3

7．已知椭圆C经过点A(2，3)，且点F(2，0)为其右焦点，则椭圆C的标准方程为________．

【解析】　法一：依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，且可知左焦点为F′(－2，0)．

从而有

解得

又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，

故椭圆C的标准方程为＋＝1.

法二：依题意，可设椭圆C的方程为

＋＝1(a>b>0)，

则

解得b2＝12或b2＝－3(舍去)，

从而a2＝16，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.

【答案】　＋＝1

8．已知P是椭圆＋＝1上的一动点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹方程是________．

【解析】　如图，依题意，|PF1|＋|PF2|＝2a(a是常数且a＞0)．

又|PQ|＝|PF2|，

∴|PF1|＋|PQ|＝2a，

即|QF1|＝2a.

由题意知，a＝2，b＝，c＝＝＝1.

∴|QF1|＝4，F1(－1，0)，

∴动点Q的轨迹是以F1为圆心，4为半径的圆，

∴动点Q的轨迹方程是(x＋1)2＋y2＝16.

【答案】　(x＋1)2＋y2＝16

三、解答题

9．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点．设椭圆C上一点到两焦点F1，F2的距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标．

【解】　∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为4，

∴2a＝4，a2＝4，

∵点是椭圆上的一点，

∴＋＝1，

∴b2＝3，∴c2＝1，

∴椭圆C的方程为＋＝1.

焦点坐标分别为(－1，0)，(1，0)．

10．求满足下列条件的椭圆的标准方程：

(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3，2)；

(2)c∶a＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26. 【导学号：18490043】

【解】　(1)由焦距是4，可得c＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0，2)．

由椭圆的定义知，

2a＝＋＝8，

所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.又焦点在y轴上，

所以椭圆的标准方程为＋＝1.

(2)由题意知，2a＝26，即a＝13，又因为c∶a＝5∶13，所以c＝5，

所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，

因为焦点所在的坐标轴不确定，

所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.

[能力提升]

1．“0<t<1”是“曲线＋＝1表示椭圆”的(　　)

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【解析】　曲线＋＝1表示椭圆等价于

得t∈∪.故选B.

【答案】　B

2．已知椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若线段PF1的中点在y轴上，则|PF1|是|PF2|的(　　)

A．7倍 B．5倍

C．4倍 D．3倍

【解析】　由已知F1(－3，0)，F2(3，0)，

由条件，知P，即|PF2|＝.

由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4.

所以|PF1|＝.

所以|PF1|＝7|PF2|.

【答案】　A

3．椭圆＋＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上．如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是________．

【解析】　由条件可取F1(－3，0)，∵PF1的中点在y轴上，

∴设P(3，y0)，由P在椭圆＋＝1上得y0＝±，

∴M的坐标为.

【答案】　±

4．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与椭圆C相交于A，B两点(如图2­2­3)，∠F1F2B＝，△F1F2A的面积是△F1F2B面积的2倍．若|AB|＝，求椭圆C的方程.

【导学号：18490044】

图2­2­3

【解】　由题意可得S△F1F2A＝2S△F1F2B，

∴|F2A|＝2|F2B|，

由椭圆的定义得

|F1B|＋|F2B|＝|F1A|＋|F2A|＝2a，

设|F2A|＝2|F2B|＝2m，

在△F1F2B中，由余弦定理得

(2a－m)2＝4c2＋m2－2·2c·m·cos⇒

m＝.

在△F1F2A中，同理可得m＝，

所以＝，解得2a＝3c，

可得m＝，|AB|＝3m＝＝，c＝4.

由＝，得a＝6，b2＝20，

所以椭圆C的方程为＋＝1.