高中数学人教版新课标A选修2-12.2椭圆教学设计

椭圆的简单几何性质（一）

教学目标： 椭圆的范围、对称性、对称中心、离心率及顶点（截距）.

重点难点分析

教学重点：椭圆的简单几何性质.

教学难点：椭圆的简单几何性质.

教学设计：

【复习引入】

1. 椭圆的定义是什么？           

2. 椭圆的标准方程是什么？

【讲授新课】

利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质．以焦点在x轴上椭圆为例

(a＞b＞0)．

1．范围

椭圆上点的坐标(x, y)都适合不等式即x2≤a2，y2≤b2，∴|x|≤a，|y|≤b．

椭圆位于直线x＝±a和y＝±b围成的矩形里．

2．对称性

在椭圆的标准方程里，把x换成－x，或

把y换成－y，或把x、y同时换成－x、－y时，

方程有变化吗？这说明什么？

椭圆关于y轴、x轴、原点都是对称的．

坐标轴是椭圆的对称轴．

原点是椭圆的对称中心．

椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．

3．顶点

只须令x＝0，得y＝±b，点B1(0,－b)、B2(0, b)是椭圆和y轴的两个交点；令y＝0，

得x＝±a，点A1(－a,0)、A2(a,0)是椭圆和x轴的两个交点．椭圆有四个顶点：A1(－a, 0)、

A2(a, 0)、B1(0, －b)、B2(0, b)．椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点．

线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴.

长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b.a叫做椭圆的

长半轴长．b叫做椭圆的短半轴长．

|B1F1|＝|B1F2|＝|B2F1|＝|B2F2|＝a．

在Rt△OB2F2中，|OF2|2＝|B2F2|2－|OB2|2，

即c2＝a2－b2．

小  结 ：

由椭圆的范围、对称性和顶点，再进行描点画图，只须描出较少的点，就可以得到较

正确的图形.

4．离心率

椭圆的焦距与长轴长的比，叫做椭圆的离心率．∵a＞c＞0，∴0＜e＜1．

练习 教科书P.41练习第5题．

例1 求椭圆16x2＋25y2＝400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用

描点法画出它的图形．

解：把已知方程化成标准方程这里a＝5，b＝4，所以

椭圆的长轴和短轴的长分别是2a＝10和2b＝8，.

焦点为F1(－3, 0)、F2(3, 0)，顶点是A1(−5,0)、A2(5,0)，B1(0,−4)、B2(0,4)．

把已知方程化成标准方程

先描点画出椭圆的一部分，再利用椭圆的对称性质画出整个椭圆．

椭圆的简单作法:

(1) 以椭圆的长轴、短轴为邻边画矩形；

(2) 由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点；

(3) 用曲线将四个顶点连成一个椭圆.

例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1) 经过点P(－3, 0)、Q(0,－ 2);     

解：(1)由椭圆的几何性质可知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点.

即P、Q分别是椭圆长轴和短轴的一个端点. 于是得a＝3，b＝2.

又因为长轴在x轴上，所以椭圆的标准方程是

 (2) 由已知，2a＝20 ，∴a＝10 ，c＝6. ∴b2＝102－62＝64.

∵椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上,

∴所求椭圆的标准方程为

练习 求经过点P (4, 1)，且长轴长是短轴长的2倍的椭圆的标准方程.

解：

依题意有   得

故椭圆方程为

【课后作业】

1. 阅读教科书P.40-P.41；

2. 《习案》、《学案》11