人教版新课标A必修51.1 正弦定理和余弦定理课堂检测

第2课时　正、余弦定理在三角形中的

应用

双基达标　限时20分钟

1．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝，则边BC的长为 (　　)．

A.     B．3     C.     D．7

解析　∵S△ABC＝AB·ACsin A＝，∴AC＝1.

由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A＝4＋1－2×2×1×cos 60°＝3.即BC＝.

答案　A

2．已知锐角△ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为   (　　)．

A．75°     B．60°    C．45°    D．30°

解析　由△ABC的面积为3，且BC＝4，CA＝3可知

BC·CAsin C＝3，∴sin C＝，

又△ABC为锐角三角形，∴C＝60°.

答案　B

3．一梯形的两腰长分别为2和6，它的一个底角为60°，则它的另一个底角的余弦值为(　　)．

A.     B.     C．±    D．±

解析　如图所示．设梯形ABCD中，AD∥BC.

由题意可知C＝60°.

过D作AB的平行线DB′与BC交于B′.

在△B′CD中，B′D＝AB＝6，CD＝2，C＝60°，∠DB′C＝∠B，

于是sin∠DB′C＝·sin C＝，

∴cos∠DB′C＝＝.故选B.

答案　B

4．在△ABC中，已知a＝5，b＝7，B＝120°，则△ABC的面积为________．

解析　由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，

即c2＋5c－24＝0，

解得c＝3.

∴S△ABC＝acsin B＝×5×3sin 120°＝.

答案　

5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A＝，b＝1，三角形ABC的外接圆半径为1，则△ABC的面积S＝________.

解析　由正弦定理＝＝2R，∴a＝，sin B＝，∴a>b，∴A>B，∴B＝，C＝.∴S△ABC＝.

答案　

6．(2011·海口高一月考)在△ABC中，A＝120°，c>b，a＝，S△ABC＝，求b，c.

解　∵S△ABC＝bcsin A＝，∴bc＝4.①

又a2＝b2＋c2－2bccos A，

∴b＋c＝5，②

又c>b，由①②得b＝1，c＝4.

综合提高　限时25分钟

7．在△ABC中，c＝，b＝1，B＝30°，则△ABC的面积为     (　　)．

A.或      B.或

C.或      D.

解析　根据正弦定理：sin C＝＝sin 30°＝.

∵c>b，∴C>B＝30°，∴C＝60°或120°.

当C＝60°时，A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋60°)＝90°，

∴△ABC的面积S＝bc＝；

当C＝120°时，A＝180°－(30°＋120°)＝30°，

∴△ABC的面积S＝bcsin A＝×1×sin 30°＝.

答案　B

8．在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为，则等于      (　　)．

A.     B.    C.    D．3

解析　由S△ABC＝bcsin A＝可知c＝4.

由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝1＋16－8cos 60°＝13，

∴a＝.∴＝＝.

答案　A

9．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为________．

解析　不妨设三角形三边为a，b，c，且a＝6，b＝c＝12，

由余弦定理得：

cos A＝＝＝，

∴sin A＝ ＝.

由(a＋b＋c)·r＝bcsin A得r＝.

∴S内切圆＝πr2＝.

答案　

10．在▱ABCD中，AB＝6，AD＝3，∠BAD＝60°，则▱ABCD的对角线AC长为________，面积为________．

解析　在▱ABCD中，连接AC，则CD＝AB＝6，

∠ADC＝180°－∠BAD＝180°－60°＝120°.

根据余弦定理得，

AC＝

＝

＝3.

S▱ABCD＝2S△ABD＝AB·AD·sin∠BAD

  ＝6×3sin 60°＝9.

答案　3　9

11．在△ABC中，内角A，B，C对边分别是a，b，c，已知c＝2，C＝.

(1)若△ABC的面积等于，求a，b；

(2)若sin B＝2sin A，求△ABC的面积．

解　(1)∵S＝absin C＝ab·＝，

∴ab＝4.                 ①

∵c2＝a2＋b2－2abcos C＝

(a＋b)2－2ab－2abcos C＝(a＋b)2－12＝4.

∴a＋b＝4.                ②

由①②可得a＝2，b＝2.

(2)∵sin B＝2sin A，∴b＝2a.

又∵c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab＝4.

∴a＝，b＝.

∴S＝absin C＝.

12．(创新拓展)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos C＝，

(1)求sin的值；

(2)若·＝1，a＋b＝，求边c的值及△ABC的面积．

解　(1)由sin2C＋cos2C＝1，得sin C＝.

则sin＝sin Ccos ＋cos Csin ＝×＋×＝.

(2)因为·C＝||||cos C＝1，则ab＝5.

又a＋b＝，所以a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝27.

所以c2＝a2＋b2－2abcos C＝25，则c＝5.

所以S△ABC＝absin C＝.