高中数学人教版新课标A必修5第三章 不等式3.4 基本不等式当堂检测题

3.4　基本不等式：≤

双基达标　限时20分钟

1．若x>0，y>0，且x＋y＝4，则下列不等式中恒成立的是      (　　)．

A.≤        B.＋≥1

C.≥2        D.≥1

解析　若x>0，y>0，由x＋y＝4，得＝1，

∴＋＝(x＋y)＝≥(2＋2)＝1.

答案　B

2．下列各函数中，最小值为2的是           (　　)．

A．y＝x＋

B．y＝sin x＋，x∈

C．y＝

D．y＝＋

解析　对于A：不能保证x>0，

对于B：不能保证sin x＝，

对于C：不能保证＝，

对于D：y＝＋≥2.

答案　D

3．若0<a<b且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是       (　　)．

A.          B．a2＋b2

C．2ab         D．a

解析　a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－2·2＝.

a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，

∴a2＋b2≥2ab.

∵0<a<b且a＋b＝1，∴a<.

∴a2＋b2最大．

答案　B

4．设a>2，则a＋的最小值是________．

解析　∵a>2，∴a－2>0.

∴a＋＝(a－2)＋＋2≥2＋2＝4.

当且仅当a－2＝，即a＝3时，等号成立．

答案　4

5．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________．

解析　ab＝a＋b＋3≥2＋3，∴≥3，即ab≥9.

答案　[9，＋∞)

6．已知x>0，y>0，lg x＋lg y＝1，求＋的最小值．

解　法一　由已知条件lg x＋lg y＝1可得：x>0，y>0，且xy＝10.

则＋＝≥＝2，

所以min＝2，当且仅当即时等号成立．

法二　由已知条件lg x＋lg y＝1可得：

x>0，y>0，且xy＝10，

＋≥2 ＝2 ＝2(当且仅当即时取等号)．

综合提高　限时25分钟

7．设a>0，b>0.若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为     (　　)．

A．8     B．4     C．1     D.

解析　因为3a·3b＝3，所以a＋b＝1，

＋＝(a＋b)

＝2＋＋≥2＋2

＝4，

当且仅当＝，即a＝b＝时，“＝”成立，故选B.

答案　B

8．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是                                                                                                                (　　)．

A．6.5 m     B．6.8 m     C．7 m     D．7.2 m

解析　设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则ab＝2，∴ab＝4，l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2≈6.828(m)．因为要求够用且浪费最少，故选C.

答案　C

9．(2011·潍坊高二检测)在4×□＋9×□＝60的两个□中，分别填入两个自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上________和________．

解析　设两数为x，y，即4x＋9y＝60，

又＋＝＝≥×(13＋12)＝，当且仅当＝，且4x＋9y＝60，即x＝6，y＝4时，等号成立．

答案　6　4

10．函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n>0，则＋的最小值为________．

解析　函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A(－2，－1)，(－2)·m＋(－1)·n＋1＝0，

2m＋n＝1，m，n>0，

＋＝·(2m＋n)

＝4＋＋

≥4＋2 ＝8，

当且仅当，即时等号成立．

答案　8

11．求函数y＝的值域．

解　函数的定义域为R，

y＝＝1＋.

(1)当x＝0时，y＝1；

(2)当x>0时，y＝1＋≤1＋＝4.

当且仅当x＝时，即x＝1时，ymax＝4；

(3)当x<0时，y＝1＋

＝1－≥1－＝－2.

当且仅当－x＝－时，即x＝－1时，ymin＝－2.

综上所述：－2≤y≤4，即函数的值域是[－2,4]．

12．(创新拓展)(2012·济宁高二检测)某建筑公司用8 000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层、每层4 000平方米的楼房．经初步估计得知，如果将楼房建为x(x≥12)层，则每平方米的平均建筑费用为Q(x)＝3 000＋50x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费最小值是多少？

(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)

解　设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，依题意得

f(x)＝Q(x)＋

＝50x＋＋3 000(x≥12，x∈N)，

f(x)＝50x＋＋3 000

≥2 ＋3 000＝5 000(元)．

当且仅当50x＝，即x＝20时上式取“＝”

因此，当x＝20时，f(x)取得最小值5 000(元)．

所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用最小值为5 000元．