高中数学人教版新课标A选修2-21.3导数在研究函数中的应用教案及反思

§1.3.2函数的极值与导数（2课时）

教学目标：

1.理解极大值、极小值的概念；

2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；

3.掌握求可导函数的极值的步骤；

教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.

教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.

教学过程：

一．创设情景

观察图3.3-8，我们发现，时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？

放大附近函数的图像，如图3.3-9．可以看出；在，当时，函数单调递增，；当时，函数单调递减，；这就说明，在附近，函数值先增（，）后减（，）．这样，当在的附近从小到大经过时，先正后负，且连续变化，于是有．

对于一般的函数，是否也有这样的性质呢？

附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号

二．新课讲授

 1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度随时间变化的函数的图像．

运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？

通过观察图像，我们可以发现：

（1）              运动员从起点到最高点，离水面的高度随时间的增加而增加，即是增函数．相应地，．

（2）              从最高点到入水，运动员离水面的高度随时间的增加而减少，即是减函数．相应地，．

2．函数的单调性与导数的关系

观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．

如图3.3-3，导数表示函数在点处的切线的斜率．在处，，切线是“左下右上”式的，这时，函数在附近单调递增；在处，，切线是“左上右下”式的，这时，函数在附近单调递减．

结论：函数的单调性与导数的关系

在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减．

说明：（1）特别的，如果，那么函数在这个区间内是常函数．

3．求解函数单调区间的步骤：

（1）确定函数的定义域；

（2）求导数；

（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；

（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间．

三．典例分析

例1．已知导函数的下列信息：

当时，；

当，或时，；

当，或时，

试画出函数图像的大致形状．

解：当时，，可知在此区间内单调递增；

当，或时，；可知在此区间内单调递减；

当，或时，，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”．

综上，函数图像的大致形状如图3.3-4所示．

例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．

（1）；            （2）

（3）；  （4）

解：（1）因为，所以，

因此，在R上单调递增，如图3.3-5（1）所示．

（2）因为，所以，

         当，即时，函数单调递增；

当，即时，函数单调递减；

函数的图像如图3.3-5（2）所示．

（3）              因为，所以，

  因此，函数在单调递减，如图3.3-5（3）所示．

（4）              因为，所以              ．

当，即             时，函数            ；

当，即             时，函数            ；

函数的图像如图3.3-5（4）所示．

注：（3）、（4）生练

例3               如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度与时间的函数关系图像．

分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．

解：

思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？

  一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．如图3.3-7所示，函数在或内的图像“陡峭”，在或内的图像“平缓”．

例4               求证：函数在区间内是减函数．

证明：因为

当即时，，所以函数在区间内是减函数．

说明：证明可导函数在内的单调性步骤：

（1）求导函数；

（2）判断在内的符号；

（3）做出结论：为增函数，为减函数．

例5               已知函数 在区间上是增函数，求实数的取值范围．

解：，因为在区间上是增函数，所以对恒成立，即对恒成立，解之得：

所以实数的取值范围为．

说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则；若函数单调递减，则”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．

四．课堂练习

1．求下列函数的单调区间

1.f(x)=2x3－6x2+7   2.f(x)=+2x   

3. f(x)=sinx , x   4. y=xlnx

2．课本P101练习

五．回顾总结

（1）函数的单调性与导数的关系

（2）求解函数单调区间

（3）证明可导函数在内的单调性

六．布置作业