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    高二新课程数学《1.1.1变化率与导数》教案(新人教A版)选修2-2
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    高二新课程数学《1.1.1变化率与导数》教案(新人教A版)选修2-201
    高二新课程数学《1.1.1变化率与导数》教案(新人教A版)选修2-202
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    高中数学人教版新课标A选修2-21.1变化率与导数教学设计

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    这是一份高中数学人教版新课标A选修2-21.1变化率与导数教学设计,共4页。教案主要包含了求曲线的切线;,求已知函数的最大值与最小值;,求长度等内容,欢迎下载使用。

    教学目标:
    理解平均变化率的概念;
    2.了解平均变化率的几何意义;
    3.会求函数在某点处附近的平均变化率
    教学重点:平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率;
    教学难点:平均变化率的概念.
    教学过程:
    一.创设情景
    为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:
    一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;
    二、求曲线的切线;
    三、求已知函数的最大值与最小值;
    四、求长度、面积、体积和重心等。
    导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具。
    导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.
    二.新课讲授
    (一)问题提出
    问题1 气球膨胀率
    我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
    气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是
    如果将半径r表示为体积V的函数,那么
    分析: ,
    h
    t

    当V从0增加到1时,气球半径增加了
    气球的平均膨胀率为
    当V从1增加到2时,气球半径增加了
    气球的平均膨胀率为
    可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了.
    思考:当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?
    问题2 高台跳水
    在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?
    思考计算:和的平均速度
    在这段时间里,;
    在这段时间里,
    探究:计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考以下问题:
    ⑴运动员在这段时间内使静止的吗?
    ⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
    探究过程:如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像,结合图形可知,,
    所以,
    虽然运动员在这段时间里的平均速度为,但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.
    (二)平均变化率概念:
    1.上述问题中的变化率可用式子 表示, 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
    2.若设, (这里看作是对于x1的一个“增量”可用x1+代替x2,同样)
    则平均变化率为
    思考:观察函数f(x)的图象
    平均变化率表示什么?
    f(x2)
    y=f(x)
    y
    △y =f(x2)-f(x1)
    f(x1)
    直线AB的斜率
    △x= x2-x1
    x2
    x1
    x
    O
    三.典例分析
    例1.已知函数f(x)=的图象上的一点及临近一点,则 .
    解:,

    求在附近的平均变化率。
    解:,所以
    所以在附近的平均变化率为
    四.课堂练习
    1.质点运动规律为,则在时间中相应的平均速度为 .
    2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.
    3.过曲线y=f(x)=x3上两点P(1,1)和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线,求出当Δx=0.1时割线的斜率.
    五.回顾总结
    1.平均变化率的概念
    2.函数在某点处附近的平均变化率
    六.布置作业
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