必修51.1 正弦定理和余弦定理综合训练题

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eq \a\vs4\al\c1(基础热身)
1．在△ABC中，A＝45°，B＝60°，a＝10，则b＝( )
A．5eq \r(2) B．10eq \r(2) C.eq \f(10\r(6),3) D．5eq \r(6)
2．在△ABC中，若sin2A＝sin2B＋sin2C，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
3．在△ABC中，a＝6，B＝30°，C＝120°，则△ABC的面积是( )
A．9 B．18 C．9eq \r(3) D．18eq \r(3)
4．在△ABC中，已知csA＝eq \f(5,13)，sinB＝eq \f(3,5)，则csC的值为( )
A.eq \f(16,65) B．－eq \f(16,65) C.eq \f(56,65) D．－eq \f(56,65)
eq \a\vs4\al\c1(能力提升)
5．判断下列说法，其中正确的是( )
A．a＝7，b＝14，A＝30°有两解
B．a＝30，b＝25，A＝150°只有一解
C．a＝6，b＝9，A＝45°有两解
D．b＝9，c＝10，B＝60°无解
6．[2011·浙江卷] 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若acsA＝bsinB，则sinAcsA＋cs2B＝( )
A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2) C．－1 D．1
7．[2011·重庆卷] 若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为( )
A.eq \f(4,3) B．8－4eq \r(3)
C．1 D.eq \f(2,3)
8．若eq \f(sinA,a)＝eq \f(csB,b)＝eq \f(csC,c)，则△ABC是( )
A．等边三角形
B．直角三角形，且有一个角是30°
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形，且有一个角是30°
9．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1上，则eq \f(sinA＋sinC,sinB)＝________.
10．在△ABC中，若S△ABC＝eq \f(1,4)(a2＋b2－c2)，那么角C＝________.
11．[2011·东北三校一模] 在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A∶B＝1∶2，且a∶b＝1∶eq \r(3)，则cs2B的值是________．
12．(13分)[2011·江西卷] 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知3acsA＝ccsB＋bcsC.
(1)求csA的值；
(2)若a＝1，csB＋csC＝eq \f(2\r(3),3)，求边c的值．
eq \a\vs4\al\c1(难点突破)
13．(12分)[2011·山东卷] 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知eq \f(csA－2csC,csB)＝eq \f(2c－a,b).
(1)求eq \f(sinC,sinA)的值；
(2)若csB＝eq \f(1,4)，△ABC的周长为5，求b的长．
课时作业(二十七)A
【基础热身】
1．D [解析] 由eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB)得，b＝eq \f(asinB,sinA)＝eq \f(10sin60°,sin45°)＝5eq \r(6).
2．B [解析] 用正弦定理可以将条件：sin2A＝sin2B＋sin2C化为a2＝b2＋c2.
3．C [解析] 由条件易得A＝B＝30°，所以b＝a＝6，S＝eq \f(1,2)absinC＝eq \f(1,2)×6×6×eq \f(\r(3),2)＝9eq \r(3).
4．A [解析] 由已知可得sinA＝eq \f(12,13)，sinA>sinB，由于在△ABC中，由sinA>sinB⇔A>B知角B为锐角，故csB＝eq \f(4,5)，所以cs(A＋B)＝csAcsB－sinAsinB＝eq \f(20,65)－eq \f(36,65)＝－eq \f(16,65)，故csC＝eq \f(16,65).
【能力提升】
5．B [解析] A中，由正弦定理得sinB＝eq \f(bsinA,a)＝eq \f(14×\f(1,2),7)＝1，所以B＝90°，故只有一解，A错误；B中，由正弦定理得sinB＝eq \f(bsinA,a)＝eq \f(25×\f(1,2),30)<1，又A为钝角，故只有一解，B正确；C中，由正弦定理得sinB＝eq \f(bsinA,a)＝eq \f(9×\f(\r(2),2),6)>1，所以角B不存在，故无解，C错误；D中，由正弦定理得sinC＝eq \f(csinB,b)＝eq \f(10×\f(\r(3),2),9)<1，因为b6．D [解析] ∵acsA＝bsinB，∴sinAcsA＝sin2B，
∴sinAcsA＋cs2B＝sin2B＋cs2B＝1.
7．A [解析] 由(a＋b)2－c2＝4，得a2＋b2－c2＋2ab＝4.①
由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcsC＝2abcs60°＝ab，②
将②代入①得ab＋2ab＝4，即ab＝eq \f(4,3).故选A.
8．C [解析] 在△ABC中，由正弦定理：
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，代入eq \f(sinA,a)＝eq \f(csB,b)＝eq \f(csC,c)得：eq \f(sinA,2RsinA)＝eq \f(csB,2RsinB)＝eq \f(csC,2RsinC)，∴eq \f(sinB,csB)＝eq \f(sinC,csC)＝1.
∴tanB＝tanC＝1，∴B＝C＝45°.∴△ABC是等腰直角三角形．
9.eq \f(5,4) [解析] 由正弦定理知，原式＝eq \f(BC＋BA,AC)，又由椭圆定义知BC＋BA＝10，AC＝8，∴原式＝eq \f(5,4).
10.eq \f(π,4) [解析] 根据三角形面积公式得，S＝eq \f(1,2)absinC＝eq \f(1,4)(a2＋b2－c2)，
∴sinC＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab).又由余弦定理：csC＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)，
∴sinC＝csC，∴C＝eq \f(π,4).
11．－eq \f(1,2) [解析] 因为a∶b＝1∶eq \r(3)，所以sinA∶sinB＝1∶eq \r(3)，又A∶B＝1∶2，则B＝2A，所以sinA∶sinB＝sinA∶sin2A＝1∶eq \r(3)，即csA＝eq \f(\r(3),2)，∴A＝30°，∴B＝60°.cs2B＝cs120°＝－eq \f(1,2).
12．[解答] (1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accsB，c2＝a2＋b2－2abcsC，
有ccsB＋bcsC＝a，代入已知条件得3acsA＝a，即csA＝eq \f(1,3).
(2)由csA＝eq \f(1,3)得sinA＝eq \f(2\r(2),3)，
则csB＝－cs(A＋C)＝－eq \f(1,3)csC＋eq \f(2\r(2),3)sinC，
代入csB＋csC＝eq \f(2\r(3),3)，
得csC＋eq \r(2)sinC＝eq \r(3)，从而得sin(C＋φ)＝1，其中sinφ＝eq \f(\r(3),3)，csφ＝eq \f(\r(6),3)，0<φ则C＋φ＝eq \f(π,2)，于是sinC＝eq \f(\r(6),3)，
由正弦定理得c＝eq \f(asinC,sinA)＝eq \f(\r(3),2).
【难点突破】
13．[解答] (1)由正弦定理，设eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB)＝eq \f(c,sinC)＝k.
则eq \f(2c－a,b)＝eq \f(2ksinC－ksinA,ksinB)＝eq \f(2sinC－sinA,sinB).
所以原等式可化为eq \f(csA－2csC,csB)＝eq \f(2sinC－sinA,sinB).
即(csA－2csC)sinB＝(2sinC－sinA)csB，
化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)，
又因为A＋B＋C＝π，
所以原等式可化为sinC＝2sinA，
因此eq \f(sinC,sinA)＝2.
(2)由正弦定理及eq \f(sinC,sinA)＝2得c＝2a，
由余弦定理及csB＝eq \f(1,4)得
b2＝a2＋c2－2accsB
＝a2＋4a2－4a2×eq \f(1,4)
＝4a2.
所以b＝2a.
又a＋b＋c＝5.
从而a＝1，
因此b＝2.