2012-2013高二北师大数学选修2-2：第二章变化率与导数2.1变化的快慢与变化率导学案教案

第二章 变化率与导数

第一节 变化的快慢与变化率

学习目标

1．理解函数平均变化率和瞬时变化率的概念；

2．会求给定函数在某个区间上的平均变化率，并能根据函数的平均变化率判断函数在某个区间上变化的快慢；

3．会求给定函数在某点处的瞬时变化率，并能根据函数的瞬时变化率判断函数在某点处变化的快慢；

4．理解瞬时速度，线密度的物理意义，并能解决一些简单的实际问题；

 学法指导

平均变化率、瞬时变化率是本节中的重要概念，是学习导数的前提和基础，要通过例题讲解学会求平均变化率和瞬时变化率，理解平均变化率、瞬时变化率的值与函数值的变化快慢的关系，并理解平均变化率、瞬时变化率的几何意义。

 知识点归纳

1．平均变化率

对于函数，当自变量从变为时，函数值从变为，它的平均变化率为：         。通常我们把自变量的变化称作：        ，记为：        。函数值的变化称作：        ，记为：          ，这样，函数的平均变化率就可以表示为：        ；平均变化率的几何意义是：                              。

2．瞬时变化率

对于一般的函数，在自变量从变到的过程中，若设 ，则函数的平均变化率是              ，而当        时，平均变化率就趋于函数在        点的          ；瞬时变化率的几何意义是：                             。

重难点剖析

重点：理解函数平均变化率和瞬时变化率的概念；

难点：对平均变化率、瞬时变化率的值与函数值的变化快慢的关系的正确理解；

剖析：

1．平均变化率

在理解平均变化率时应注意以下几点：

（1）式子中的的值可正，可负，但的值不能为，的值可以为，若函数为常函数时，。（2）平均变化率是指函数值的“增量”与相应自变量的“增量” 的比，这也给出了平均变化率的求法。

（3）平均变化率的几何意义是：函数图像上两点连线的斜率。

2．瞬时变化率

在理解关于的瞬时变化率（即瞬时速度）时应注意以下几点：

（1）趋近于，是指时间间隔越来越小，能越过任意小的时间间隔，但始终不能为。

（2），在变化中都趋近于，但它们的比值趋近于一个确定的常数。

（3）求瞬时速度的步骤

①设物体做非匀速直线运动的规律；

②时间改变量为，路程改变量为；

③平均速度；

④瞬时速度：当时，（常数）。对于一般函数的瞬时变化率可以按瞬时速度理解方式加以理解。

 典例分析

例1已知自由落体的运动方程为；求：

（1）落体在这段时间内的平均速度；（2）落体在这段时间内的平均速度

分析：平均速度，只需求出即可．

变式练习1

一质点运动的方程为，则在一段时间内相应的平均速度为（  ）

A．         B．        C．         D．

例2 一辆汽车按规律做直线运动，求这辆汽车在时的瞬时速度（时间单位：位移单位：）

分析：求瞬时速度，应先求出平均速度，然后求出瞬时速度．

变式练习2

以初速度垂直上抛的物体，秒时高度为，求物体在 时刻的瞬时速度。

 基础训练

1．在平均变化率的定义中，自变量的增量满足：(   )

A．       B．        C．     D．

2．将半径为的球加热，若球的半径增加,则球的体积增加约等于（   ）

 A．        B．         C．        D．

3．已知函数的图像上一点

及其临近一点，则（   ）

A．        B．        C．        D．

4．一木块沿一光滑斜面自由下滑，测得下滑的水平距离与时间之间的函数关系为，则时，此木块在水平方向的瞬时速度为（   ）

A．      B．     C． 1     D． 2

5． 已知，的平均速度是                ；

6．求在附近的平均变化率；

 能力提高

1．试比较正弦函数在和　附近的平均变化率的大小。

2．（跨学科综合题）质量为的物体按照的规律做直线运动，求运动开始后时物体的动能。

学后反思

第二章 变化率与导数

第一节 变化的快慢与变化率参考答案

例1：答案：（1）

（2）变式练习1：答案：D

例2：略解：

当时，这辆汽车在时的瞬时速度为： （）

变式练习2：略解：

当时得物体在 时刻的瞬时速度：

基础训练：1、C；  2、B；  3、C； 4、A；  5、29.89；  6、；

能力提高：1、答案：（1）；（2）

2、略解：当时运动开始后时物体的瞬时速度为：

所以，运动开始后时物体的动能为：