第一讲 不等式学案

第一讲 不等式

不等式的基本性质

 ①对称性：

 ②传递性：

 ③可加性：

 ④可乘性：；

 ⑤乘法法则：

 ⑥乘方性：(条件：)

 ⑦开方性：(条件：)

1.不等式性质的应用

例1 判断下列命题是否正确:

 (1)(   )        (2) (  )   

 (3)(  )      (4) (  )    

 (5) (  )          (6) (  )   

 (7)   (    )

练1 用不等号“>”或“<”填空：

（1）如果a>b，c<d，那么a-c ______ b-d；（2）如果a>b>0，c<d<0，那么ac______bd；

（3）如果a>b>0，那么 ______（4）如果a>b>c>0，那么 _______

2.应用不等式性质证明

例2 已知a>b>0，c<d<0，e<0，求证：>.

练1 若bc－ad≥0，bd>0，求证：≤.

3.利用不等式的性质求取值范围

例3　已知－≤α<β≤，求，的范围．

练1已知1<a<2,3<b<4，求下列各式的取值范围：(1)2a＋b；(2)a－b；(3).

1．已知a<b<0，c<d<0，那么下列判断中正确的是(　　)

 A．a－c<b－d        B．ac>bd            C.<          D．ad>bc

2．若a、b、c∈R，且a>b，则下列不等式中一定成立的是(　　)

 A．a＋b≥b－c        B．ac≥bc             C.>0            D．(a－b)c2≥0

3．设2<a<3，-2<b<-1，则2a-b的范围是________．

4.已知a>b>0，c<d<0.求证：<.

一、选择题

1．若a＞b，c＞d，下列不等式正确的是（　　）

 A．  B． C． D．

2．若，则下列不等式一定成立的是

 A．  B． C． D．

3．设，则下列不等式恒成立的是（    ）

 A． B． C． D．

4．已知为非零实数，且，则下列不等式成立的是（  ）

 A． B． C． D．

5.已知实数满足且，则下列选项中不一定成立的是（  ）

 A． B． C． D．

6.已知实数，满足，，则的取值范围是（  

A．         B． C．        D．

二、填空题

7．已知不等式：①；②；③，如果且，则其中正确不等式的个数是_______；

8．已知a，b，x均为正数，且a＞b，则____（填“＞”、“＜”或“＝”）．

9．已知,,则的取值范围为__________.

10．已知，则的取值范围为_____．

三、解答题

11．已知下列三个不等式：①；②；③，

以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可组成几个正确命题？

绝对值不等式

1．代数

2．几何意义

数轴上，表示一个数的点到原点的距离．

【示例】      ，                        ，

例1  解方程；解不等式；若，则的取值是？

例2 解方程与不等式：（1）；　（2）；　（3）．

练1 解不等式（1），　　　　（2）．

练2 解不等式（1），　　  （2）．

　1．；　　　　　　　　2．；　　　　　　　　3．；

　4．；　　　　　　5．；　　　　　　　　6．

因式分解

1.因式分解中的提公因式法

例1

练习1．；     2．;       3．

2．因式分解中的“十字相乘法”

【引例】

观察          反知   

综上，有

【观察】注意观察上式的系数．

某二次三项式，若它的常数项可看作两个数，与的积，而一次项系数恰是与的和，即，，则

【方法总结】

例2 （1）               （2）

练习（1）                  （2）           

   (3)                  （4）              

【附加题】（1）（2）（3）

【例2】

【解】

练2 （1）          （2）              （3）

【附加题】（1）（2）  （3）

一元二次不等式

　　画出二次函数的图象，如图，观察函数图象，可知：

当x<0，或x>5时，函数图象位于x轴上方，此时，y>0,即；

当0<x<5时，函数图象位于x轴下方，此时，y<0,即；

所以，不等式的解集是，

(1)   (2)           (3)

(4)                       (5)

(6) 2                      (7) 

分式不等式

【例1】解不等式．

【错解】左右同乘．∴，化简得．

　　　　提问：可取吗？

　　　　回答：不能．解法有误．

回忆知识：两边同乘或除一个正数，不等号方向不改变；

         两边同乘或除一个负数，不等号方向改变．

上例中，左右同乘时，不能确定的正负，那么在同乘后，就不能确定不等号是否要改变方向．

【解法一】

，，，，；

∴．

【解法二】

，，，，

由，可得，；

∴．

练习　(1)       (2)       (3)         (4)

    (5)        (6)       (7)        (8)

均值不等式

两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即若，则

（当且仅当时取等号）

基本变形：①； ;②若，则

1．设a>0，则9a＋的最小值为(　　)

A．4　　　　　　 B．5 C．6   D．7

2．若x>0，y>0，且2(x＋y)＝36，则的最大值为(　　)

A．9   B．18 C．36   D．81

3．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.

一、选择题

1．下列不等式一定成立的是（    ）

 A．      B．      C．        D．

2．已知x＞0，函数的最小值是（    ）

3.若正实数a，b满足，则下列说法正确的是 

 A．ab有最小值 B．有最小值

 C．有最小值4 D．有最小值

4．若，则的最小值为（    ）

 A．-1              B．3                 C．-3               D．1

5．若 在处取得最小值，则（ ）

 A．              B．3                C．               D．4

6．已知,则f(x)= 有

 A．最大值           B．最小值         C．最大值1         D．最小值1

二、填空题

7．当时，的最大值为__________.

8．若，，，且的最小值是___.

9．已知，，若不等式恒成立，则的最大值为______．

10．设函数．若，则________．

三、解答题

11． (1)已知a＞0，b＞0，且4a＋b＝1，求ab的最大值；

（2）若正数x，y满足x＋3y＝5xy，求3x＋4y的最小值；

（3）已知x＜，求f(x)＝4x－2＋的最大值；

1．若2x+2y=1，则x+y的取值范围是(    )

 A． B． C． D．

2．已知,且,则的最小值为(    )

A．5 B．6　　　　　　 C．8 D．9

3．不等式2x2－x－1>0的解集是(    )

A． B．（1， +） 

C．(－,1)∪(2,+) D．

4．不等式(    )

A． B． C．　　D．

5．不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则a的取值范围是(    )

A．　 B． 

C．　 D．

6．不等式＜0的解为　   　.

7．函数的定义域是_________．

8．(2019上海)不等式的解集为　    　．

9．(2019天津)设，使不等式成立的x的取值范围为__________.

10．(2018天津)已知，且，则的最小值为　    　．