第四讲 复数学案

第四讲 复数

复数

1. 复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部．

　全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示.

2. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；

　当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；

　当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；

　当且仅当a=b=0时，z就是实数0.

3.的周期性：4n+1=i, 4n+2=-1,  4n+3=-i,  4n=1

4.复数相等： a+bi=c+dia=c，b=d　

5. 共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数

  例如：与互为共轭复数.

6.复数的四则运算： 

①

②

③

7.复数的模：|z|=

题型1 复数的运算

1. 已知i是虚数单位,则(2+i)(3+i)= (　　)

A. 5-5i B. 7-5i              C. 5+5i             D. 7+5i

2. （    ）

A.  B.  C.  D.

3. (2019全国Ⅲ)若，则z=

A.  B.  C.  D.

题型2 共轭复数

1. 复数z＝的共轭复数是（    ）        

A. 2+i                 B. 2－i              C. －1+i             D. －1－i

2. (2019全国Ⅱ)设z=i(2+i)，则=

A. 1+2i B. -1+2i C. 1-2i D. -1-2i

3. (2019北京)已知复数z=2+i，则

A.  B.  C. 3 D. 5

题型3 复数的模

1. 复数的模为（    ）

   A.               B.              C.                D.

2. 复数，则（    ）

A. 25            B.             C. 5             D.

3. (2019全国Ⅰ)设，则=

A. 2 B. C. D. 1

题型4 复平面

1．复数（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在（    ）

A．第一象限        B．第二象限        C．第三象限          D．第四象限

2. (2019全国Ⅱ)设z=–3+2i，则在复平面内对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

1. (2019全国Ⅰ)设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则

A.  B.  

C.  D.

2. 若a，b,i为虚数单位，且(a+i)i=b+i，则（   ）

A. a=1,b=1       B. a=-1,b=1       C. a=1,b=-1        D. a=-1,b=-1

3. 在复平面内，复数对应的点位于(   )

A. 第一象限 B. 第二象限      C. 第三象限 D. 第四象限

4. 复数z=i(i+1)（i为虚数单位）的共轭复数是(    )

A. -1-i            B. -1+i               C. 1-i              D. 1+i

5. 若复数z满足（为虚数单位），则为（    ）

A.           B.  C.  D.

6. i是虚数单位,1+i3等于(    )

A. i                B. -i                  C. 1+i                D. 1-i

7. 已知复数（是虚数单位），则　　　　．

8. (2019天津)是虚数单位，则的值为_____________．

典例剖析

例1．设复数z满足＝i，则|z|＝(　)

A．1　  B．　  C．　　D．2

例2．若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z＝(　　)

A．1－I  B．1＋I  C．－1－I  D．－1＋i

例3．已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()

A．(－3,1)          B．(－1,3)

C．(1，＋∞)        D．(－∞，－3)

例4　若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z＝________．

当堂练习

1.设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝________

2．设复数z满足＝i，则|z|＝________．

3．已知i是虚数单位，则复数(1＋i)2等于__．

4．复数i(1＋i)的实部为________．

5．已知a∈R，i为虚数单位，若为纯虚数，则a的值为(　　)

A．－1　   B．0       C．1       D．2

6.已知复数z满足(2－i)z＝i＋i2，则z在复平面内对应的点位于(　　)

A．第一象限          B．第二象限

C．第三象限          D．第四象限

7．在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于

A．第一象限     B．第二象限      C．第三象限     D．第四象限

8．设，则

A．    B．    C．    D．

9． i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．

10.计算（    ）.

A. 1+2i       B. 1–2i     C. 2+i       D. 2–i

11.设复数，，则复数在复平面内对应的点位于（    ）.

A. 第一象限              B. 第二象限     

C. 第三象限              D. 第四象限

12. 已知，其中、, 为虚数单位，则、的值分别是（    ）.

A. ，   B. ，   C. ，   D. ，

13.是复数为纯虚数的（    ）

A．充分条件          B.必要条件    

C.充要条件            D.非充分非必要条件

14、复数的虚部是              

真题链接

1. (文)(2020全国卷Ⅱ，2)（1–i）4=

A．–4       B．4      C．–4i       D．4i

2. (文)(2020全国卷Ⅲ，2)若，则z=（    ）

A.1–i       B. 1+I     C. –I          D. i

 (2020全国Ⅰ)若，则

A．0       B．1      C.        D．2

3. (2018全国卷Ⅲ)=

A．  B．  C．   D．

4.     (2018浙江)复数 (为虚数单位)的共轭复数是

A．     B．   C．     D．

5. （2017新课标Ⅰ）下列各式的运算结果为纯虚数的是

A．         B．       C．          D．

6. （2017新课标Ⅱ）

A．             B．           C．             D．

7. （2017新课标Ⅲ）复平面内表示复数的点位于

A．第一象限         B．第二象限     

   C．第三象限         D．第四象限

8. （2017山东）已知是虚数单位，若复数满足，则=

A．2i     B．2i       C．2      D．2

9. （2017北京）若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是

A．               B．     C．               D．

10. （2016年全国I卷）设的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=

A．−3       B．−2       C．2       D．3