上教版（2020）必修 第一册1.1 集合初步优质导学案

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1、集合的概念：三个特性 表示符号
元素和集合的关系：属于/不属于
集合之间的关系：子集，真子集，空集，全集
集合的基本运算：含参数，临界点
考点梳理
1.集合的概念及其表示
⑴.集合中元素的三个特征：
①．确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．
②．互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.
③．无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。
⑵.元素与集合的关系有且只有两种：属于（用符号“”表示）和不属于（用符号“”表示）．
⑶.集合常用的表示方法有三种：列举法、Venn图、描述法．
(4).常见的数集及其表示符号
2. 集合间的基本关系
3. 集合之间的基本运算
如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为 全集 ，全集通常用字母 U 表示；
【重要结论】
1．若有限集A中有n个元素,则集合A的子集个数为2n,真子集的个数为2n－1，非空真子集个.
2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B .
3．奇数集：.
重难点题型突破
考点1 集合的概念及其表示
归纳总结：与集合中的元素有关问题的求解策略
(1)确定集合的元素是什么，即集合是（数轴）数集、（平面直角坐标系）点集还是其他类型的集合．
(2)看这些元素满足什么限制条件．
(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性．
例1.（1）（集合的确定性）下面给出的四类对象中，能组成集合的是
A．高一某班个子较高的同学B．比较著名的科学家
C．无限接近于4的实数 D．到一个定点的距离等于定长的点的全体
（2）．（集合的确定性）（多选题）考察下列每组对象，能构成集合的是( )
A.中国各地最美的乡村； B.直角坐标系中横、纵坐标相等的点；
C.不小于3的自然数； D.2018年第23届冬季奥运会金牌获得者．
【变式训练1】（集合的互异性）在集合，，中，的值可以是

A．0B．1C．2D．1或2
【变式训练2】（集合的互异性）若，，，则
A．B．0C．1D．0 或1
考点2 元素与集合的关系
(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.
(2)不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.
(3)常见的数集及表示符号
归纳总结：
(1)判断集合间的关系，要注意先对集合进行化简，再进行判断，并且在描述关系时，要尽量精确．
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系(要注意区间端点的取舍)，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
例2．（1）（元素与集合的关系）（多选题）下列关系中，正确的有（ ）
A．∅∪{0}B．C．D．
（2）（元素个数问题）集合，的元素个数为
A．4B．5C．10D．12
例3.（单元素集合）若集合A＝{x|x2+ax+b＝x}中，仅有一个元素a，求a、b的值．
【变式训练1】（1）（元素与集合的关系）下列关系中，正确的个数为
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．6B．5C．4D．3
（2）（元素个数问题）已知集合，2，3，4，，，，，，则集合中的元素个数为
A．2B．3C．4D．5
【变式训练2】（二次函数与集合）设集合A＝{x|ax2+2x+1＝0，a∈R}
（1）当A中元素个数为1时，求：a和A；
（2）当A中元素个数至少为1时，求：a的取值范围；
（3）求：A中各元素之和．
考点3 集合间的基本关系
1.集合A中含有n个元素，则有
(1)A的子集的个数有2n个．(2)A的非空子集的个数有2n－1个．
(3)A的真子集的个数有2n－1个．(4)A的非空真子集的个数有2n－2个．
2.空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．
例4．（1）（空集是任何非空集合的子集）已知集合,,若,则实数m的取值范围是______.
（2）.（空集）如果，则实数的取值范围为
B．C．D．
（3）（子集与真子集）已知集合，，，，则
A．B．M⊊NC．N⊊MD．M∩N=∅
【变式训练1】．（1）（子集与真子集个数问题）已知集合，若，则______；的子集有______个.
（2）若集合，则实数的取值范围是
A．B．C．D．，
考点4 集合的基本运算
1.由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫A与B的并集，记作A∪B；符号表示为A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
2．并集的性质
A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝A，A⊆A∪B.
3.对于两个给定的集合A、B，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫A与B的交集，记作A∩B。符号为A∩B＝{x|x∈A且x∈B}。
4. 交集的性质
A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B⊆A.
5、对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA。符号语言：∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}。
归纳总结：
集合基本运算的求解规律
(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借用Venn图求解．
(2)集合中的元素若是连续的实数，常借助数轴求解，但是要注意端点值能否取到的情况．
(3)根据集合运算求参数，先把符号语言译成文字语言，然后灵活应用数形结合求解．
例5．(多选题)（1）已知，，且，则中的元素是（ ）
A．-4B． 1 C．13D．12
（2）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＝0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣2，1}B．{﹣1，2}C．{﹣2，﹣1}D．{1，2}
（3）已知全集U＝R，M＝{x|x＜﹣1}，N＝{x|x（x+2）＜0}，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A．{x|﹣1≤x＜0}B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|﹣2＜x＜﹣1}D．{x|x＜﹣1}
（4）（多选题）已知集合，则CzA中的元素是（ ）
A．0B．2C．1D．-2
【变式训练1】．已知集合A＝{y|y＝x2﹣2x}，B＝{x|x2﹣x＜12}，C＝{x|2a﹣1＜x＜a}．
（1）求A∩B；
（2）若B∪C＝B，求a的取值范围．
【变式训练2】．已知M＝{x|﹣2≤x≤5}，N＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}．
（1）若a＝3，求M∪（∁RN）．
（2）若N⊆M，求实数a的取值范围．
四、课后作业
1．下面给出的四类对象中，能组成集合的是
A．高一某班个子较高的同学B．比较著名的科学家
C．无限接近于4的实数 D．到一个定点的距离等于定长的点的全体
2.集合，2，3，，当时，若且，则称为的一个“孤立元素”，则中孤立元素的个数为
A．1B．2C．3D．4
3.已知集合，，，，若，则
A．1B．2C．D．
4．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知集合A＝{x∈R|﹣2≤x≤5}，B＝{x∈R|m+1≤x≤2m﹣1}，若A∪B＝A，则实数m的取值范围是（ ）
A．[2，3]B．[﹣3，3]C．（﹣∞，3]D．[﹣3，2]
6.已知集合，B＝{x|x＜2}，则A∩B＝（ ）
A．（2，4）B．（﹣2，4）C．（﹣2，2）D．（﹣2，2]
7．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
9．设全集为不大于20的素数}，A∩CUB=3，5，B∩CUA=7，19，CUB∩CUB∩CUA=3，5，则 ________，________.
10．已知集合M满足：{1，2}⫋M⊆{1，2，3，4，5}，写出集合M所有的可能情况.
11．已知集合，，.
（1）若，求；．
（2）若，求实数的取值范围.
12.已知集合 ，，，且
（1）求．
（2）写出集合的所有子集．
名称
自然数集
(非负整数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
表示符号
N
或
Z
Q
R
关系
自然语言
符号语言
Venn图
子集
集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)
A⊆B
(或B⊇A)
真子集
集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中
A⊆B
(或B⊇A)
集合相等
集合A，B中元素完全相同或集合A，B互为子集
A＝B
集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形
符号
A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}
数集
非负整数集(自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*或N＋
Z
Q
R