第一讲 函数的图像与性质 学案

专题二　函数与导数


第一讲　函数的图象与性质

高考考点
考点解读
函数的概念及其表示
1.求具体函数的定义域、值域
2．以分段函数为载体考查求函数值或已知函数值求字母的值(或取值范围)等
函数的图象及其应用
1.以具体函数的解析式选择图象或知图象选解析式
2．利用函数的图象研究函数的性质(特别是单调性、最值、零点)、方程解的问题及解不等式、比较大小等
函数的性质及其应用
1.确认函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值
2．综合应用函数的性质求值(取值范围)、比较大小等，常与不等式相结合

备考策略
本部分内容在备考时应注意以下几个方面：
(1)深刻理解函数、分段函数及函数的单调性、奇偶性、最值、周期性等概念．
(2)掌握各种基本初等函数的定义、图象和性质，以及幂和对数的运算性质．
(3)掌握函数图象的作法、变换法则及利用图象解决函数性质、方程、不等式问题的方法．
(4)掌握利用函数性质比较大小、求值、求参数范围等问题的方法．
预测2020年命题热点为：
(1)求函数定义域及与分段函数有关的求值、求范围等问题．
(2)给出函数解析式选图象及利用图象解决交点个数、方程的解、不等式等问题．
(3)利用函数的性质求值，求参数取值范围、比较大小等问题．

Z
1．指数与对数式的七个运算公式
(1)am·an＝am＋n，am÷an＝am－n.
(2)(am)n＝amn.
(3)loga(MN)＝logaM＋logaN(a>0且a≠1，M>0，N>0)．
(4)loga＝logaM－logaN(a>0且a≠1，M>0，N>0)．
(5)logaMn＝nlogaM(a>0且a≠1，M>0)．
(6)alogaN＝N(a>0且a≠1，N>0)．
(7)logaN＝(a>0且a≠1，b>0且b≠1，M>0，N>0)．
2．单调性定义
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，且x1f(x2)成立，则f(x)在D上是减函数)．
3．奇偶性定义
对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)，都有f(－x)＝－f(x2)成立，则f(x)为奇函数(都有f(－x)＝f(x)成立，则f(x)为偶函数)．
4．周期性定义
周期函数f(x)的最小正周期T必须满足下列两个条件：
(1)当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x).
(2)T是不为零的最小正数.
5．指数函数与对数函数的图象和性质

指数函数
对数函数
图象


单调性
0 a>1时，在R上单调递增
！！！！ 0 a>1时，在(0，＋∞)上单调递增
函数值
性质
0 当x>0时，0 当x<0时，y>1
0 当x>1时，y<0；
当00
a>1，
当x>0时，y>1；
当x<0时，0 a>1，
当x>1时，y>0；
当0
[重要结论]
1．函数的周期性
①若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)是周期函数，其中一个周期是T＝2a(a≠0)；
②若满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期函数，其中一个周期是T＝2a(a≠0)；
③若满足f(x＋a)＝，则f(x)是周期函数，其中一个周期是T＝2a(a≠0)；
④若函数满足f(x＋a)＝－，则f(x)是周期函数，其中一个周期是T＝2a(a≠0)．
2．函数图象的对称性
①若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；
②若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，则y＝f(x)的图象关于点(a,0)对称；
③若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝对称．
3．函数图象的变换规则
(1)平移变换
将y＝f(x)的图象向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位得到y＝f(x＋a)的图象；
将y＝f(x)的图象向上(a>0)或向下(a<0)平移|a|个单位得到y＝f(x)＋a的图象．
(2)对称变换
①作y＝f(x)关于y轴的对称图象得到y＝f(－x)的图象；
②作y＝f(x)关于x轴的对称图象得到y＝－f(x)的图象；
③作y＝f(x)关于原点的对称图象得到y＝－f(－x)的图象；
④将y＝f(x)在x轴下方的图象翻折到上方，与y＝f(x)在x轴上方的图象结合起来得到y＝|f(x)|的图象；
⑤将y＝f(x)在y轴左侧部分去掉，再作右侧关于y轴的对称图象合起来得到y＝f(|x|)的图象．
Y
1．忽略函数的定义域
在判断函数的单调性时，要注意函数的定义域优先；在判断函数的奇偶性时，忽略函数的定义域会导致结论错误．
2．错用集合运算符号
函数的多个单调区间若不连续，不能用符号“∪”连接，可用“和”或“，”连接．
3．忽略基本初等函数的形式、定义和性质
如讨论指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的单调性时，不讨论底数的取值；忽略ax>0的隐含条件；幂函数的性质记忆不准确．

1．(文)(2018·天津卷，5)已知a＝log3，b＝，c＝log，则a，b，c的大小关系为( D )
A．a>b>c　　　　　　 B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
[解析]　∵ c＝log＝log35，a＝log3，
又y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，
∴ log35>log3>log33＝1，∴ c>a>1.
∵ y＝x在(－∞，＋∞)上是减函数，
∴ <0＝1，即b<1.∴ c>a>b.
故选D．
(理)(2018·天津卷，5)已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝log，则a，b，c的大小关系为( D )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
[解析]　c＝log＝log23＞log2e＝a，即c＞a.
又b＝ln 2＝<1 故选D．
2．(2018·全国卷Ⅱ，3)函数f(x)＝的图象大致为( B )


[解析]　∵ y＝ex－e－x是奇函数，y＝x2是偶函数，
∴ f(x)＝是奇函数，图象关于原点对称，排除A选项．
当x＝1时，f(1)＝＝e－>0，排除D选项．
又e>2，∴ <，∴ e－>1，排除C选项．
故选B．
3．(2018·全国卷Ⅲ，7)下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是( B )
A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x)
C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x)
[解析]　函数y＝f(x)的图象与函数y＝f(a－x)的图象关于直线x＝对称，令a＝2可得与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是函数y＝ln(2－x)的图象．
故选B．
4．(2018·全国卷Ⅱ，11)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( C )
A．－50 B．0
C．2 D．50
[解析]　∵ f(x)是奇函数，∴ f(－x)＝－f(x)，
∴ f(1－x)＝－f(x－1)．由f(1－x)＝f(1＋x)，
∴ －f(x－1)＝f(x＋1)，∴ f(x＋2)＝－f(x)，
∴ f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，
∴ 函数f(x)是周期为4的周期函数．
由f(x)为奇函数得f(0)＝0.
又∵ f(1－x)＝f(1＋x)，
∴ f(x)的图象关于直线x＝1对称，
∴ f(2)＝f(0)＝0，∴ f(－2)＝0.
又f(1)＝2，∴ f(－1)＝－2，
∴ f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，
∴ f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.
故选C．
5．(2018·全国卷Ⅰ，12)设函数f(x)＝则满足f(x＋1) A．(－∞，－1] B．(0，＋∞)
C．(－1,0) D．(－∞，0)
[解析]　方法一：①当即x≤－1时，f(x＋1)＜f(2x)即为2－(x＋1)＜2－2x，即－(x＋1)＜－2x，解得x＜1.
因此不等式的解集为(－∞，－1]．
②当时，不等式组无解．
③当即－1＜x≤0时，f(x＋1)＜f(2x)即1＜2－2x，解得x＜0.因此不等式的解集为(－1,0)．
④当即x＞0时，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，不合题意．
综上，不等式f(x＋1)＜f(2x)的解集为(－∞，0)．
故选D．
方法二：∵ f(x)＝
∴ 函数f(x)的图象如图所示．
由图可知，当x＋1≤0且2x≤0时，函数f(x)为减函数，故f(x＋1)＜f(2x)转化为x＋1＞2x.
此时x≤－1.
当2x＜0且x＋1＞0时，f(2x)＞1，f(x＋1)＝1，
满足f(x＋1)＜f(2x)．
此时－1＜x＜0.
综上，不等式f(x＋1)＜f(2x)的解集为(－∞，－1]∪(－1,0)＝(－∞，0)．
故选D．
6．(2018·江苏卷，5)函数f(x)＝的定义域为{x|x≥2}.
[解析]　由log2x－1≥0，即log2x≥log22，解得x≥2，所以函数f(x)＝的定义域为{x|x≥2}．
7．(2018·全国卷Ⅲ，16)已知函数f(x)＝ln(－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝－2.
[解析]　∵ f(x)＋f(－x)＝ln(－x)＋1＋ln(＋x)＋1＝ln(1＋x2－x2)＋2＝2，
∴ f(a)＋f(－a)＝2，∴ f(－a)＝－2.


例1 (1)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝2f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝则函数y＝f(x)在[2,4]上的大致图象是( A )

[解析]　方法一：因为f(x＋2)＝2f(x)，
所以f(x)＝2f(x－2)，
当x∈[2,4]时，x－2∈[0,2]．
又x∈[0,2]时，
f(x)＝
所以x∈[2,4]时，f(x)＝2f(x－2)
＝
＝
结合选项知A选项正确．
方法二：因为f(x＋2)＝2f(x)，
所以f(x)＝2f(x－2)，
所以当x∈[2,4]时f(x)的图象可看作由f(x)＝的图象沿x轴方向向右平移两个单位，再把图象上各点的横坐标不变、纵坐标伸长到原来的2倍得到．
(2)已知a>0，且a≠1，f(x)＝x2－ax，当x∈(－1,1)时恒有f(x)<，则实数a的取值范围是[，1)∪(1,2].
[解析]　由题意可知ax>x2－在(－1,1)上恒成立，

令y1＝ax，y2＝x2－，
由图象知：
或
所以1 『规律总结』
(1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．尤其注意y＝f(x)与y＝f(－x)、y＝－f(x)、y＝－f(－x)、y＝f(|x|)、y＝|f(x)|及y＝af(x)＋b的相互关系．
(2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．
(3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究．
G
1．已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是( A )

A．f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝－1
D．f(x)＝x－
[解析]　由函数图象可知，函数f(x)为奇函数，应排除B、C．若函数为f(x)＝x－，则x→＋∞时，f(x)→＋∞，排除D，故选A．
2．现有四个函数：①y＝xsinx，②y＝xcosx，③y＝x|cosx|，④y＝x·2x的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是( D )

A．④①②③　　　　　 B．①④③②
C．③④②① D．①④②③
[解析]　由于函数y＝xsinx是偶函数，由图象知，函数①对应第一个图象；函数y＝xcosx为奇函数，且当x＝π时，y＝－π<0，故函数②对应第三个图象；函数y＝x|cosx|为奇函数，故函数③与第四个图象对应；函数y＝x·2x为非奇非偶函数，与第二个图象对应．综上可知，选D．

例2 (1)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是(－1,3).
[解析]　(1)∵f(x)是偶函数，∴图象关于y轴对称．
又f(2)＝0，且f(x)在[0，＋∞)单调递减，
则f(x)的大致图象如图所示，

由f(x－1)>0，得－2 (2)设奇函数y＝f(x)(x∈R)，满足对任意t∈R都有f(t)＝f(1－t)，且x∈[0，]时，f(x)＝－x2，则f(3)＋f(－)的值等于－.
[解析]　根据对任意t∈R都有f(t)＝f(1－t)可得f(－t)＝f(1＋t)，
即f(t＋1)＝－f(t)，进而得到
f(t＋2)＝－f(t＋1)＝－[－f(t)]＝f(t)，
得函数y＝f(x)的一个周期为2，故f(3)＝f(1)＝f(0＋1)＝－f(0)＝0，f(－)＝f()＝－.
所以f(3)＋f(－)＝0＋(－)＝－.
『规律总结』
函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．
G
1．已知函数f(x)＝ax3＋bsinx＋4(a，b∈R)，f(lg(log210))＝5，则f(lg(lg2))等于( C )
A．－5　　　　　　　　　 B．－1
C．3 D．4
[解析]　lg(log210)＝lg()＝－lg(lg2)，
由f(lg(log210))＝5，得a[lg(lg2)]3＋bsin(lg(lg2))＝4－5＝－1，
则f(lg(lg2))＝a(lg(lg2))3＋bsin(lg(lg2))＋4＝－1＋4＝3.
2．已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，则x的取值范围为(－2，).
[解析]　易知f(x)为增函数．
又f(x)为奇函数，由f(mx－2)＋f(x)<0知，
f(mx－2) ∴mx－2<－x，即mx＋x－2<0，
令g(m)＝mx＋x－2，由m∈[－2,2]知g(m)<0恒成立，
即，∴－2
例3 (1)若函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是( C )
A．(－1,0)∪(0,1)　　 B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)
[解析]　方法一：由题意作出y＝f(x)的图象如图．

显然当a>1或－1f(－a)．
故选C．
方法二：对a分类讨论：
当a>0时，log2a>loga，
即log2a>0，∴a>1.
当a<0时，log(－a)>log2(－a)，
即log2(－a)<0，
∴－1 (2)(2018·南阳市高三模拟)已知α，β∈[－，]且αsinα－βsinβ>0，则下列结论正确的是( D )
A．α>β B．α＋β>0
C．α<β D．α2>β2
[解析]　设f(x)＝xsinx，x∈[－，]，
∴y′＝xcosx＋sinx＝cosx(x＋tanx)，
当x∈[－，0]时，y′<0，
∴f(x)为减函数，
当x∈[0，]时，y′>0，
∴f(x)为增函数，
且函数f(x)为偶函数，
又αsinα－βsinβ>0，
∴αsinα>βsinβ，
∴|α|>|β|，∴α2>β2.
『规律总结』
(1)指数函数、对数函数、幂函数和三角函数是中学阶段所学的基本初等函数，是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力．
(2)比较数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性．
G
1．设<()b<()a<1，那么( B )
A．aa C．aa [解析]　因为指数函数y＝()x在(－∞，＋∞)上是递减函数，所以由<()b<()a<1得0 所以0<<1.
所以y＝ax，y＝bx，y＝()x在(－∞，＋∞)上都是递减函数，从而abaa，
故ab 2．已知函数f(x)＝2x－，函数g(x)＝则函数g(x)的最小值是0.
[解析]　当x≥0时，g(x)＝f(x)＝2x－为单调增函数，
所以g(x)≥g(0)＝0；当x<0时，g(x)＝f(－x)＝2－x－为单调减函数，所以g(x)>g(0)＝0，所以函数g(x)的最小值是0.

A组
1．已知函数f(x)的定义域为[3,6]，则函数y＝的定义域为( B )
A．[，＋∞)　　　　 B．[，2)
C．(，＋∞) D．[，2)
[解析]　要使函数y＝有意义，需满足⇒⇒≤x<2.
故选B．
2．(2018·河南南阳一模)设x>0，且1 A．0 C．1 [解析]　∵当x>0时1 ∴b>1，a>1，又bx ∴()x>1，∴>1，∴a>b.故选C．
3．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( C )
A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数
[解析]　由题意可知f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，对于选项A，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数，故A项错误；对于选项B，|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)，所以|f(x)|·g(x)是偶函数，故B项错误；对于选项C，f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函数，故C项正确；对于选项D，|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，故D项错误．
故选C．
4．(2018·河南南阳一模)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x＋m(m为常数)，则f(－log35)的值为( B )
A．4 B．－4
C．6 D．－6
[解析]　由题意，f(0)＝30＋m＝0，解得m＝－1，
故当x≥0时，f(x)＝3x－1，
∴f(－log35)＝－f(log35)＝－(3log35－1)＝－4.故选B．
5．(2018·山西四校联考)函数y＝的图象大致为( D )

[解析]　y＝＝＝，由此容易判断函数为奇函数，可以排除A；又函数有无数个零点，可排除C；当x取一个较小的正数时，y>0，由此可排除B，故选D．
6．设f(x)＝且f(1)＝6，则f(f(－2))的值为( B )
A．18　　　 B．12　　　　
C．　　　 D．
[解析]　因为1>0，所以f(1)＝2(t＋1)＝6，即t＋1＝3，解得t＝2.故f(x)＝
所以f(－2)＝log3[(－2)2＋2]＝log36>0，
f(f(－2))＝f(log36)＝2×3log36＝2×6＝12.
7．函数f(x)＝的图象如图所示，则下列结论成立的是( C )

A．a>0，b>0，c<0 B．a<0，b>0，c>0
C．a<0，b>0，c<0 D．a<0，b<0，c<0
[解析]　由题中图象可知－c>0，
所以c<0，当x＝0时，f(0)＝>0⇒b>0，
当y＝0时，ax＋b＝0⇒x＝－>0⇒a<0.
8．已知函数f(x)＝|log2x|，正实数m，n满足m A．，2 B．，4
C．， D．，4
[解析]　(数形结合求解)f(x)＝|log2x|＝

根据f(m)＝f(n)(m1.
又f(x)在[m2，n]上的最大值为2，由图象知：f(m2)>f(m)＝f(n)，
∴f(x)max＝f(m2)，x∈[m2，n]．
故f(m2)＝2，易得n＝2，m＝.
9．设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是( A )
A．　　　　　 B．∪(1，＋∞)
C． D．∪
[解析]　f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，所以f(x)>f(2x－1)⇔f(|x|)>f(|2x－1|)
⇔|x|>|2x－1|⇔ 10．(2018·长春一模)若关于x的不等式4ax－1<3x－4(a>0，且a≠1)对于任意的x>2恒成立，则a的取值范围为( B )
A．(0，) B．(0，]
C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)
[解析]　不等式4ax－1<3x－4等价于ax－11时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图所示，由图知不满足条件；当0
11．(2017·天津卷，6)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为( C )
A．a C．b [解析]　依题意a＝g(－log25.1)＝(－log25.1)·f(－log25.1)＝log25.1f(log25.1)＝g(log25.1)．
因为f(x)在R上是增函数，可设0 则f(x1) 从而x1f(x1) 所以g(x)在(0，＋∞)上也为增函数．
又log25.1>0,20.8>0,3>0，
且log25.1 而20.8<21＝log24 所以3>log25.1>20.8>0，
所以c>a>b.
故选C．
12．(2018·洛阳一模)已知a>0，设函数f(x)＝(x∈[－a，a])的最大值为M，最小值为N，那么M＋N＝( C )
A．2 017 B．2 018
C．4 034 D．4 036
[解析]　由题意得f(x)＝
＝2 018－.
因为y＝2 018x＋1在[－a，a]上是单调递增的，所以f(x)＝2 018－在[－a，a]上是单调递增的，
所以M＝f(a)，N＝f(－a)，
所以M＋N＝f(a)＋f(－a)
＝4 036－－＝4 034.
13．(2018·淄博模拟)已知函数y＝log2(ax－1)在(1,2)上单调递增，则a的取值范围是a≥1.
[解析]　函数y＝log2(ax－1)由y＝log2u，u＝ax－1复合而成，由于y＝log2u是单调递增函数，因此u＝ax－1是增函数，所以a>0，由于u＝ax－1>0恒成立，当x＝1时，有最小值，ax－1>a－1≥0，所以a≥1.
14．(2018·西安模拟)已知函数y＝f(log2x)的定义域为(1,4)，则函数y＝f(2sinx－1)的定义域是{x|2kπ＋ [解析]　因为y＝f(log2x)的定义域为(1,4)，
所以1 即y＝f(x)的定义域为(0,2)．
由0<2sinx－1<2，得 即 解得2kπ＋ 即函数y＝f(2sinx－1)的定义域是{x|2kπ＋ 15．设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f()＝f()，则a＋3b的值为－10.
[解析]　因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以f()＝f(－)，且f(－1)＝f(1)，
故f()＝f(－)，
从而＝－a＋1，
即3a＋2b＝－2.①
由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝，
即b＝－2a.②
由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10.
16．(2018·衡水一模)若函数f(x)＝2x＋sinx对任意的m∈[－2,2]，有f(mx－3)＋f(x)<0恒成立，则x的取值范围是(－3,1).
[解析]　易知f(x)是R上的奇函数，
由f′(x)＝2＋cosx>0，知f(x)为增函数，
因为f(mx－3)＋f(x)<0可变形为f(mx－3) 所以mx－3<－x，
所以mx－3＋x<0.
设g(m)＝xm－3＋x，
由题意知当m∈[－2,2]时，g(m)<0恒成立，
则当x≥0时，g(2)<0，即2x－3＋x<0，
则0≤x<1；
当x<0时，g(－2)<0，
即－2x－3＋x<0，则－3 所以所求x的取值范围是(－3,1)．
B组
1．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝( C )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
[解析]　令x＝－1，
得f(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.
∵f(x)，g(x)分别是偶函数和奇函数，
∴f(－1)＝f(1)，g(－1)＝－g(1)，
即f(1)＋g(1)＝1.
故选C．
2．函数y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( B )
A．f(1) B．f() C．f() D．f() [解析]　∵f(x＋2)是偶函数，
∴f(x)的图象关于直线x＝2对称，
∴f(x)＝f(4－x)，
∴f()＝f()，f()＝f()．
又0<<1<<2，f(x)在[0,2]上单调递增，
∴f() 3．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的不等实数x1、x2，不等式x1f(x1)＋x2f(x2) A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－∞，1) D．(1，＋∞)
[解析]　由条件式得(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，
∴x1f(x2)，x1>x2时，f(x1) ∴f(x)为减函数，又f(x)为R上的奇函数，
∴f(0)＝0，∴不等式f(1－x)<0化为f(1－x) ∴1－x>0，∴x<1，故选C．
4.如图，过单位圆O上一点P作圆O的切线MN，点Q为圆O上一动点，当点Q由点P逆时针方向运动时，设∠POQ＝x，弓形PRQ的面积为S，则S＝f(x)在x∈[0,2π]上的大致图象是( B )

[解析]　S＝f(x)＝S扇型PRQ＋S△POQ＝(2π－x)·12＋sinx＝π－x＋sinx，则f ′(x)＝(cosx－1)≤0，所以函数S＝f(x)在[0,2π]上为减函数，当x＝0和x＝2π时，分别取得最大值与最小值．又当x从0逐渐增大到π时，cosx逐渐减小，切线斜率逐渐减小，曲线越来越陡；当x从π逐渐增大到2π时，cosx逐渐增大，切线斜率逐渐增大，曲线越来越平缓，结合选项可知，B正确．
5．已知g(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，g(x)＝－ln(1－x)，函数f(x)＝若f(2－x2)>f(x)，则x的取值范围是( C )
A．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
B．(－∞，1)∪(2，＋∞)
C．(－2,1)
D．(1,2)
[解析]　因为g(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，g(x)＝－ln(1－x)，
所以当x>0时，－x<0，g(－x)＝－ln(1＋x)，
即当x>0时，g(x)＝ln(1＋x)，
因为函数f(x)＝
所以函数f(x)＝.函数f(x)的图象如下：

可判断f(x)＝.在(－∞，＋∞)上单调递增．因为f(2－x2)>f(x)，所以2－x2>x，
解得－2 故选C．
6．对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为M函数．
(1)对任意的x∈[0,1]，恒有f(x)≥0；
(2)当x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1时，总有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立．
则下列3个函数中不是M函数的个数是( B )
①f(x)＝x2　②f(x)＝x2＋1　③f(x)＝2x－1
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析]　在[0,1]上，3个函数都满足f(x)≥0.当x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1时：对于①，f(x1＋x2)－f[f(x1)＋f(x2)]＝(x1＋x2)2－(x＋x)＝2x1x2≥0，满足；对于②，f(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝[(x1＋x2)2＋1]－[(x＋1)＋(x＋1)]＝2x1x2－1<0，不满足；对于③，f(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝(2x1＋x2－1)－(2x1－1＋2x2－1)＝2x12x2－2x1－2x2＋1＝(2x1－1)(2x2－1)≥0，满足．
故选B．
7．(2018·广州二模)已知定义在R上的函数f(x)，对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立，若函数y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝－1对称，则f(2 018)的值为( C )
A．2 018 B．－2 018
C．0 D．4
[解析]　依题意得，函数y＝f(x)的图象关于直线x＝0对称，因此函数y＝f(x)是偶函数，且f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)，即f(2)＝f(2)＋f(2)，所以f(2)＝0，所以f(x＋4)＝f(x)，即函数y＝f(x)是以4为周期的函数，f(2 018)＝f(4×504＋2)＝f(2)＝0.
8．(2018·珠海一模)若函数f(x)＝loga(x3－ax)(a>0且a≠1)在区间(－，0)内单调递增，则a的取值范围是( B )
A．[，1) B．[，1)
C．[，＋∞) D．(1，)
[解析]　由题意，得x3－ax>0在(－，0)上恒成立，即a>x2在(－，0)上恒成立，所以a≥.若0 若a>1，则g(x)＝x3－ax在(－，0)上单调递增，
即g′(x)＝3x2－a≥0在(－，0)上恒成立，所以a≤0，这与a>1矛盾．综上，实数a的取值范围是[，1)．
9．已知函数f(x)＝则下列结论正确的是( D )
A．f(x)是偶函数
B．f(x)是增函数
C．f(x)是周期函数
D．f(x)的值域为[－1，＋∞)
[解析]　因为f(π)＝π2＋1，f(－π)＝－1，所以f(－π)≠f(π)，所以函数f(x)不是偶函数，排除A；因为函数f(x)在(－2π，－π)上单调递减，排除B；函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)不是周期函数，排除C；因为x>0时，f(x)>1，x≤0时，－1≤f(x)≤1，所以函数f(x)的值域为[－1，＋∞)．
10．(2018·秦皇岛模拟)已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)＝( A )
A．－ B．－
C．－ D．－
[解析]　因为f(x)＝
f(a)＝－3，
所以或
解得a＝7，
所以f(6－a)＝f(－1)＝2－1－1－2＝－.
11．(2018·唐山一模)已知f(x)＝的值域为R，那么a的取值范围是( C )
A．(－∞，－1]　　　　　　　 B．(－1，)
C．[－1，) D．(0，)
[解析]　要使函数f(x)的值域为R，需使所以所以－1≤a<.
12．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若 A．(0，) B．(0，e)
C．(，e) D．(e，＋∞)
[解析]　因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(lnx)－f(ln)
＝f(lnx)－f(－lnx)＝f(lnx)＋f(lnx)
＝2f(lnx)，
所以 又f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，所以－1 13．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对于任意x∈R，恒有f(x－1)＝f(x＋1)成立，当x∈[－1,0]时，f(x)＝2x－1，则f(2 019)＝.
[解析]　由f(x－1)＝f(x＋1)得f(x)的周期为2，则f(2 019)＝f(1)＝－f(－1)＝－(2－1－1)＝.
14．(2018·云南昆明模拟)已知函数f(x)＝ax＋x－b的零点x0∈(n，n＋1)(n∈Z)，其中常数a，b满足2a＝3,3b＝2，则n＝－1.
[解析]　a＝log23>1,0
由图可知，两函数的图象在区间(－1,0)内有交点，所以函数f(x)在区间(－1,0)内有零点，所以n＝－1.
15．若函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋ax，x∈[－2,2]为偶函数，则实数a＝－.
[解析]　因为f(x)＝
所以g(x)＝f(x)＋ax＝
因为g(x)＝为偶函数，
所以g(－1)＝g(1)，即－a－1＝1＋a－1＝a，
所以2a＝－1，所以a＝－.
16．已知函数f(x)＝的值域是[0,2]，则实数a的取值范围是[1，].
[解析]　函数f(x)＝的图象如图所示．

因为函数f(x)的值域是[0,2]，
所以1∈[0，a]，即a≥1.
又当f(x)＝2时，x3－3x＝0，
解得x＝(0，－舍去)，所以a≤.
综上，a的取值范围是[1，]．