高中数学2.4 等比数列教学设计

第2章   2.3   第3课时

等比数列的前n项和

一、选择题

1．已知等比数列{an}中，公比q是整数，a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则此数列的前8项和为(　　)

A．514   B．513

C．512   D．510

[答案]　D

[解析]　由已知得，

解得q＝2或.

∵q为整数，∴q＝2.∴a1＝2.∴S8＝＝29－2＝510.

2．已知等比数列的前n项和Sn＝4n＋a，则a＝(　　)

A．－4   B．－1

C．0   D．1

[答案]　B

[解析]　设等比数列为{an}，由已知得a1＝S1＝4＋a，a2＝S2－S1＝12，

a3＝S3－S2＝48，∴a＝a1·a3，

即144＝(4＋a)×48，∴a＝－1.

3．等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为(　　)

A．81   B．120

C．168   D．192

[答案]　B

[解析]　公式q3＝＝＝27，q＝3，a1＝＝3，

S4＝＝120.

4．(2010·浙江文)设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝(　　)

A．－11   B．－8

C．5   D．11

[答案]　A

[解析]　设公比为q，依题意得8a2＋a2q3＝0，又∵a2≠0，∴q＝－2，∴＝＝＝－11.

5．(2010·天津，理)已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列{}的前5项和为(　　)

A.或5   B.或5

C.   D.

[答案]　C

[解析]　显然q≠1，∴＝，∴1＋q3＝9，∴q＝2，∴{}是首项为1，公比为的等比数列，前5项和T5＝＝.

6．数列{an}的通项公式是an＝，若前n项和为10，则项数n＝(　　)

A．11   B．99

C．120   D．121

[答案]　C

[解析]　an＝＝－

∴Sn＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1＝10.

解得n＝120.

二、填空题

7.＋＋＋＋＝________.

[答案]　

[解析]　a1＝＝，a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝，a5＝＝.

∴原式＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝[(1－)＋(－)＋(－)＋(－)＋(－)]

＝(1－)＝.

8．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{an}的公比q＝________.

[答案]　

[解析]　依题意S1,2S2,3S3成等差数列，有4S2＝S1＋3S3，当q≠1时，有4(a1＋a1q)＝a1＋.由于a1≠0，得3q2－q＝0，又q≠0，故q＝，当q＝1时，不成立．

三、解答题

9．在等比数列{an}中，S3＝，S6＝，求an.

[解析]　由已知S6≠2S3，则q≠1.

又S3＝，S6＝，

即

①÷②，得1＋q3＝28，∴q＝3.

可求得a1＝.因此an＝a1qn－1＝3n－3.

10．(2010·北京文)已知{an}为等差数列，且a3＝－6，a6＝0.

(1)求{an}的通项公式；

(2)若等比数列{bn}满足b1＝－8，b2＝a1＋a2＋a3，求{bn}的前n项和公式．

[解析]　(1)设等差数列{an}的公差为d，

∵a3＝－6，a6＝0.

∴，解得，

∴an＝－10＋(n－1)×2＝2n－12.

(2)设等比数列{bn}的公比为q.

∵b2＝a1＋a2＋a3＝－24，b1＝－8.

∴－8q＝－24，∴q＝3.

∴{bn}的前n项和为

Sn＝＝＝4(1－3n)．

能力提升

一、选择题

1．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝(　　)

A．16(1－4－n)   B．16(1－2－n)

C.(1－4－n)   D.(1－2－n)

[答案]　C

[解析]　本题主要考查等比数列的性质及求和运算．

由＝q3＝＝知q＝，而新的数列{anan＋1}仍为等比数列，且公比为q2＝，

又a1·a2＝4×2＝8，

故a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝＝(1－4－n)．

2．正项等比数列{an}满足a2a4＝1，S3＝13，bn＝log3an，则数列{bn}的前10项和是(　　)

A．65   B．－65

C．25   D．－25

[答案]　D

[解析]　∵{an}为正项等比数列，a2a4＝1，

∴a3＝1，又∵S3＝13，∴公比 q≠1.

又∵S3＝＝13，a3＝a1q2＝1，

解得q＝.

∴an＝a3qn－3＝()n－3＝33－n，

∴bn＝log3an＝3－n.

∴b1＝2，b10＝－7.

∴S10＝＝＝－25.

二、填空题

3．等比数列{an}中，若前n项的和为Sn＝2n－1，则a＋a＋…＋a＝________.

[答案]　(4n－1)

[解析]　∵a1＝S1＝1，a2＝S2－S1＝3－1＝2，

∴公比q＝2.

又∵数列{a}也是等比数列，首项为a＝1，公比为q2＝4，

∴a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)．

4．已知数列{an}的前n项和Sn＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，则S22－S11＝________.

[答案]　－65

[解析]　Sn＝－4－4－4＋…＋(－1)n－1(4n－3)，

∴S22＝－4×11＝－44，

S11＝－4×5＋(－1)10(4×11－3)＝21，

∴S22－S11＝－65.

三、解答题

5．(2010·福建文)数列{an}中，a1＝.前n项和Sn满足Sn＋1－Sn＝()n＋1(n∈N*)．

(1)求数列{an}的通项公式an以及前n项和Sn；

(2)若S1，t(S1＋S2)，3(S2＋S3)成等差数列，求实数t的值．

[解析]　(1)由Sn＋1－Sn＝()n＋1得an＋1＝()n＋1(n∈N*)

又a1＝，故an＝()n(n∈N*)

从而Sn＝＝[1－()n](n∈N*)

(2)由(1)可得S1＝，S2＝，S3＝

从而由S1，t(S1＋S2)，3(S2＋S3)成等差数列可得

＋3×(＋)＝2×(＋)t，解得t＝2.

6．(2011·课标全国)等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a＝9a2a6.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{}的前n项和．

[解析]　(1)设数列{an}的公比为q.

由a＝9a2a6得a＝9a，所以q2＝.

由条件可知q>0，故q＝.

由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1，所以a1＝.

故数列{an}的通项公式为an＝；

(2) bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an

＝－(1＋2＋…＋n)＝－.

故＝－＝－2，

＋＋…＋

＝－2＝－.

所以数列的前n项和为－.

7．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．

(1)求{an}的公比q；

(2)求a1－a3＝3，求Sn.

[解析]　(1)依题意，得a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)，

∵a1≠0，∴2q2＋q＝0.

又q≠0，∴q＝－.

(2)由已知，得a1－a12＝3，

∴a1＝4.

∴Sn＝＝.

8．设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，n∈N*.

(1)求数列{an}的通项公式an；

(2)设bn＝，求数列{b”}的前n项和Sn.

[解析]　(1)∵a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，①

∴当n≥2时，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝.②

①－②得3n－1an＝，∴an＝，n≥2.

又a1＝满足上式，∴an＝(n∈N*)．

(2)∵bn＝，∴bn＝n3n.

∴Sn＝3＋2×32＋3×33＋…＋n·3n，③

∴3Sn＝32＋2×33＋…＋(n－1)3n＋n·3n＋1.④

③－④得，－2Sn＝3＋32＋33＋…＋3n－n·3n＋1

＝－n·3n＋1＝(3n－1)－n·3n＋1

＝－－n·3n＋1

∴Sn＝－＋＋，

∴Sn＝＋，n∈N*.