高中数学苏教版必修13.4.1 函数与方程教案

这是一份高中数学苏教版必修13.4.1 函数与方程教案，

函数与方程【本讲教育信息】一. 教学内容：函数与方程 二. 教学目的1、掌握判断一元二次方程根的存在及个数的方法，了解函数的零点与方程根的联系。2、能根据具体函数的图象，借助计算器用二分法求相应的近似解。3、体验函数零点概念的形成过程，提高数学知识的综合应用能力。4、感受事物间相互转化的辨证思想和数形结合的数学思想。 三. 教学重点、难点1. 函数的零点的概念；2. 从函数的图象看零点的性质；3. 二分法的产生过程和二分法的定义；4. 二分法求零点近似值的步骤。 四. 知识分析1. 关于函数的零点（1）函数的零点的概念①如果函数在实数a处的值等于零，即，则a叫做这个函数的零点。    ②函数的零点的几何意义是：函数的图象与x轴的公共点。也就是函数的图象与x轴的交点的横坐标。    ③方程有实数根函数有零点函数的图象与x轴有交点。    ④若方程有二重实根，则称函数有二阶零点。（2）如何判断函数在区间[a，b]上是否有零点？    判断函数在区间[a，b]上是否有零点，最关键是要把握两点：①函数的图象在区间[a，b]上是否是连续不断的一条曲线。（函数的连续性，形象地说就是图象在指定区间无间断点）    ②在区间的两个端点处，函数值之积小于0，即，那么函数在区间(a，b)内有零点，即存在，使，这个c就是方程的根。（3）二次函数的零点一元二次方程的根也称为二次函数的零点。利用函数的知识可以得到方程的根与函数的图象之间的关系如下表所示：二次函数与一元二次方程的这种关系，给我们提供了另外一种解方程的方法：利用函数的图象解方程或研究方程解的情况。（4）二次函数的零点的性质①函数的零点可以重合（二阶零点），可以不重合，也可以没有零点；②当函数的图象通过零点时（不是二重零点），函数值变号。例如，函数的图象在零点2的左边时，函数值取负号；在零点2的右边时，函数值取正号。③相邻两个零点之间的所有函数值保持同号。对任意函数，只要它的图象是不间断的，上述性质同样成立。2. 关于二分法（1）变号零点与不变号零点：如果函数在一个区间[a， b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这样的零点叫做变号零点。有时曲线通过零点时不变号，这样的零点叫做不变号零点。（2）二分法的产生过程及二分法的定义当确定函数在某区间内存在一个零点以后，问题转化为如何求出这个零点。直到19世纪，根据阿贝尔和伽罗瓦的研究，人们认识到高于四次的函数（即高于四次的代数方程）不存在求根公式，在此情况下，直观想法是如果能将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精度下，我们就可以得到零点的近似值。为了方便，通过“取中点”，不断把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值，这样的方法成为二分法。（3）二分法求零点近似解的步骤：已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个变号零点的近似值，使它与零点的误差不超过正数，即使得。第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即。令。第二步：取区间的中点，则该中点对应的横坐标为。计算和。判断：①如果，则就是的零点，计算终止。②如果，则零点位于区间中，令。③如果，则零点位于区间中，令。第三步：取区间的中点，则此中点对应的横坐标为。计算和。判断：①如果，则就是的零点，计算终止。②如果，则零点位于区间中，令。③如果，则零点位于区间中，令。直到第n步，判断是否达到精确度，当区间的长度小于2时，即时，计算终止，这时区间的中点就是函数的近似零点，函数的近似零点与真实零点的误差不超过。注意：用二分法求函数的零点近似值的方法，仅对函数变号零点适合，对不变号零点不适合。 【典型例题】例1. 讨论函数的零点。解析：点评：本题主要考查对函数零点的求法的灵活准确应用和分类讨论思想的运用，解题时要本着简洁直观的原则，按照函数零点的求法进行转化和求解。 例2. 已知函数的图象如图所示，则（    ）（A）（B）（C）   （D）解析：，于是，由得，故选A。点评：这是2000年北京春季高考题，以三次函数及其图象为依托，考查方程和不等式知识、数形结合思想。据图知函数的三个零点为0，1，2，由此可得三个方程，而函数式含a、b、c、d四个未知数，求b的方法不可取，但本题是找出b所在区间，故只要找到a、b、c、d的关系，问题就解决了。    本题亦可如下求解：由题设及图象，利用函数的三个零点可设，又，比较同次项系数，得又据图象当时，，即应选A。 例3. 求证：方程的两个根一个在区间上，另一个在区间上。解析：而二次函数是连续的，    所以函数在（－1，0）和（1，2）上分别有零点。即方程的两个根一个在区间上，另一个在区间上。点评：证明方程的两个根一个在区间上，另一个在区间上。即证函数在和分别有一个零点。判断函数是否在上存在零点，除验算是否成立外，还要考查函数在上是否连续。 例4. 已知函数的图象的零点至少有一个在原点右侧，求实数m的取值范围。解析：（1）当m＝0时，，直线与x轴的交点为，即函数的零点为，在原点右侧，符合题意。    （2）当m ≠ 0时，因为，所以抛物线过点。①若的开口向下，如下图，二次函数的两个零点必然是一个在原点右侧，一个在原点左侧。②若的开口向上，如下图，要使函数的零点在原点右侧，当且仅当。    综上所述，所求m的范围是。点评：对函数图象性质的研究，一是要注意特殊点；二是要画出示意图，再根据图象的特征解决问题。    研究二次函数在给定区间上的零点时，可从判别式、对称轴、开口方向、区间的端点值等几方面去考虑。 例5. 借助于计算器，用二分法求方程 =1在区间（－1，0）内的近似解（精确到0.1）。解析：令，由于，可取区间作为计算初始区间。用二分法逐次计算，列表如下：由上表可知，区间（－0.9375，－0.875）的长度小于0.1，所以这个区间的中点≈－0.90625，即为区间（－1，0）内的近似解。点评：用二分法求方程的近似解时，可先把方程转化成函数的形式，然后用二分法算法进行求解。 【模拟试题】一、选择题：1. 方程的一个正零点的存在区间可能是（     ）    A.  [0， 1]              B. [1， 2]                 C. [2， 3]                  D. [3， 4]2. 方程在[1， 1.5]内实数解有（    ）    A. 3个                      B. 2个                       C. 至少1个              D. 0个3. 二分法求函数的零点的近似值适合于（    ）    A. 变号零点             B. 不变号零点           C. 都适合                  D. 都不适合4. 函数的图象如图，函数的变号零点的个数为（     ）A. 0个                     B. 1个                       C. 2个                       D. 3个5. 函数在区间（1，2）内的函数值（     ）    A. 大于等于0          B. 小于等于0            C. 大于0                  D. 小于06. 函数的零点为（     ）A. 7                        B.                         C.                      D. 7. 方程的一个实数解的存在区间为（     ）    A. （0，1）             B. （0，2）              C. （1，2）              D. （－1，1） 二、填空题：8. 若，则方程的根是__________________9. 使集合中有且只有一个元素的所有a的值组成的集合N＝__________10. 已知，，若=____________ 三、解答题11. 证明函数在区间（2，3）上至少有一个零点。12. 判定方程有两个相异实根，且一个大于5，一个小于2。13. 已知在区间[1，2]内有零点，求方程在区间[1，2]内的一个近似解（精确到0.01）试题答案】一、1. B        2. C        3. A        4. D        5. D        6. C        7. B二、8.               9. {－1，0，1}            10. {－4，－3，0，1，2}三、11. 证明：因为函数的定义域为R，所以函数的图象在区间（2，3）上是连续的。又因为，所以从而函数在区间（2，3）上至少有一个零点。  12. 考察函数，有。又因为函数的图象是开口向上的抛物线，所以抛物线与x轴在（5，＋∞）内有一个交点，在（－∞，2）内也有一个交点。从而方程有两个相异实根，且一个大于5，一个小于2。  13. 方程的近似解为x ≈ 1.13  端点（中点）坐标计算中点的函数值取区间（－1，0）（－1，－0.75）（－1，－0.875）（－0.9375，－0.875） x