高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册3.5 圆锥曲线的应用一课一练

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1．命题甲：对任意x∈(a，b)，有f′(x)>0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的．则甲是乙的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.例如：f(x)＝x3在(－1,1)内是单调递增的，但f′(x)＝3x2≥0(－12．函数y＝x－ln(1＋x)的单调增区间为( )
A．(－1,0) B．(－∞，－1)和(0，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(－∞，－1)
解析：选C.y′＝1－eq \f(1,1＋x)＝eq \f(x,1＋x).令y′＞0，得eq \f(x,1＋x)＞0，
∴x＞0或x＜－1.又x＋1＞0，∴x＞0.
3．若在区间(a，b)内，f′(x)>0，且f(a)≥0，则在(a，b)内有( )
A．f(x)>0 B．f(x)<0
C．f(x)＝0 D．不能确定
解析：选A.因f′(x)>0，所以f(x)在(a，b)上是增函数，所以f(x)>f(a)≥0.
4．(2011年高考江苏卷改编)函数f(x)＝2lg5x＋1的单调增区间是________．
解析：令f′(x)＝eq \f(2,xln5)>0，得x∈(0，＋∞)．
答案：(0，＋∞)
一、选择题
1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
解析：选D.f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，
令f′(x)>0，解得x>2，故选D.
2．函数y＝eq \f(1,2)x2－ln x的单调递减区间为( )
A．(0,1) B．(0,1)和(－∞，－1)
C．(0,1)∪(1，＋∞) D．(0，＋∞)
解析：选A.y＝eq \f(1,2)x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，
由y′＝x－eq \f(1,x)＝eq \f(x2－1,x)＜0，∴0＜x＜1.所以选A.
3．设f(x)、g(x)是定义域为R的恒大于零的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)＜0，则当a＜x＜b时，有( )
A．f(x)g(x)＞f(b)g(b)
B．f(x)g(a)＞f(a)g(x)
C．f(x)g(b)＞f(b)g(x)
D．f(x)g(x)＞f(a)g(a)
解析：选C.令F(x)＝eq \f(fx,gx)，
则F′(x)＝eq \f(f′x·gx－fxg′x,g2x)＜0.
∵f(x)、g(x)是定义域为R的恒大于零的可导函数，
∴F(x)在R上为递减函数，当x∈(a，b)时，eq \f(fx,gx)＞eq \f(fb,gb).
∴f(x)g(b)＞f(b)g(x)．
4.
已知函数y＝f(x)在定义域[－4，6]内可导，其图象如图，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为( )
A．[－eq \f(4,3)，1]∪[eq \f(11,3)，6]
B．[－3,0]∪[eq \f(7,3)，5]
C．[－4，－eq \f(4,3)]∪[1，eq \f(7,3)]
D．[－4，－3]∪[0,1]∪[5,6]
解析：选A.由不等式f′(x)≤0的解集即为原函数f(x)的单调递减区间所对应的x的取值范围，知选A.
5．设f(x)，g(x)在(a，b)上可导，且f′(x)＞g′(x)，则当a＜x＜b时有( )
A．f(x)＞g(x)
B．f(x)＜g(x)
C．f(x)＋g(a)＞g(x)＋f(a)
D．f(x)＋g(b)＞g(x)＋f(b)
解析：选C.利用函数的单调性判断．
令φ(x)＝f(x)－g(x)，则φ′(x)＝f′(x)－g′(x)，
∵f′(x)＞g′(x)，∴φ′(x)＞0，即函数φ(x)为定义域上的增函数．
又a＜x＜b，∴φ(a)＜φ(x)，即f(a)－g(a)＜f(x)－g(x)，从而得f(x)＋g(a)＞g(x)＋f(a)．
6．函数y＝xcsx－sinx在下面哪个区间内是增函数( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，2π))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,3)，\f(5π,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π，3π))
解析：选B.y′＝csx－xsinx－csx＝－xsinx，若y＝f(x)在某区间内是增函数，只需在此间内y′恒大于或等于0即可．
∴只有选项B符合题意，当x∈(π，2π)时，y′≥0恒成立．
二、填空题
7．函数y＝3x－x3在(－1,1)内的单调性是________．
解析：y′＝3－3x2，由y′＞0得－1＜x＜1，
∴y＝3x－x3在(－1,1)内单调递增．
答案：增函数
8．y＝x2ex的单调递增区间是________．
解析：∵y＝x2ex，
∴y′＝2xex＋x2ex＝exx(2＋x)>0⇒x<－2或x>0.
∴递增区间为(－∞，－2)和(0，＋∞)．
答案：(－∞，－2)，(0，＋∞)
9．已知函数f(x)＝x3＋ax在区间[0，＋∞)上是增加的，则a的取值范围是________．
解析：f′(x)＝3x2＋a，则当x≥0时，f′(x)≥0恒成立，即3x2＋a≥0，∴a≥－3x2.又当x≥0时，－3x2≤0，∴a≥0.即a的取值范围是[0，＋∞)．
答案：[0，＋∞)
三、解答题
10．求下列函数的单调区间．
(1)f(x)＝x3＋eq \f(3,x)；
(2)f(x)＝sinx(1＋csx)(0≤x≤2π)．
解：(1)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
f′(x)＝3x2－eq \f(3,x2)＝3(x2－eq \f(1,x2))，
由f′(x)>0，解得x<－1或x>1，
由f′(x)<0，解得－1∴递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，
递减区间为(－1,0)，(0,1)．
(2)f′(x)＝csx(1＋csx)＋sinx(－sinx)
＝2cs2x＋csx－1
＝(2csx－1)(csx＋1)．
∵0≤x≤2π，
∴由f′(x)＝0得x1＝eq \f(π,3)，x2＝π，x3＝eq \f(5,3)π，
则区间[0,2π]被分成三个子区间，如表所示：
∴f(x)＝sinx(1＋csx)(0≤x≤2π)的单调递增区间为[0，eq \f(π,3)]，[eq \f(5,3)π，2π]，单调递减区间为(eq \f(π,3)，eq \f(5,3)π)．
11．已知函数f(x)＝ax－eq \f(a,x)－2lnx(a≥0)，若函数f(x)在其定义域内为单调函数，求a的取值范围．
解：∵f′(x)＝a＋eq \f(a,x2)－eq \f(2,x)，
要使函数f(x)在定义域(0，＋∞)内为单调函数，
则在(0，＋∞)内f′(x)恒大于等于0或恒小于等于0.
当a＝0时，f′(x)＝－eq \f(2,x)<0在(0，＋∞)内恒成立；
当a>0时，要使f′(x)＝a(eq \f(1,x)－eq \f(1,a))2＋a－eq \f(1,a)≥0恒成立，
则a－eq \f(1,a)≥0，解得a≥1.
综上，a的取值范围为a≥1或a＝0.
12．设k∈R，函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,1－x)， x＜1，,－\r(x－1)，x≥1，))F(x)＝f(x)－kx，x∈R.试讨论函数F(x)的单调性．
解：F(x)＝f(x)－kx＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,1－x)－kx， x＜1，,－\r(x－1)－kx，x≥1.))
F′(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,1－x2)－k， x＜1，,－\f(1,2\r(x－1))－k，x≥1.))
对于F(x)＝eq \f(1,1－x)－kx(x＜1)，
当k≤0时，函数F(x)在(－∞，1)上是增函数；
当k＞0时，函数F(x)在(－∞，1－eq \f(1,\r(k)))上是减函数，在(1－eq \f(1,\r(k))，1)上是增函数．
对于F(x)＝－eq \r(x－1)－kx(x≥1)，
当k≥0时，函数F(x)在(1，＋∞)上是减函数；
当k＜0时，函数F(x)在(1,1＋eq \f(1,4k2))上是减函数，在(1＋eq \f(1,4k2)，＋∞)上是增函数．
x
0
(0，eq \f(π,3))
eq \f(π,3)
(eq \f(π,3)，π)
π
(π，eq \f(5π,3))
eq \f(5π,3)
(eq \f(5π,3)，2π)
2π
f′(x)
＋
0
－
0
－
0
＋
f(x)



