鲁教版 (五四制)七年级上册第六章 一次函数2 一次函数教学设计

一次函数

【教学目标】

（一）教学知识点：

1．理解一次函数和正比例函数的概念，以及它们之间的关系。

2．能根据所给条件写出简单的一次函数表达式。

（二）能力训练要求：

1．经历一般规律的探索过程、发展学生的抽象思维能力。

2．通过由已知信息写一次函数表达式的过程，发展学生的数学应用能力。

（三）情感与价值观要求：

1．通过函数与变量之间的关系的联系，一次函数与一次方程的联系，发展学生的数学思维。

2．经历利用一次函数解决实际问题的过程，发展学生的数学应用能力。

【教学重点】

1．一次函数、正比例函数的概念。

2．一次函数、正比例函数的关系。

3．会根据已知信息写出一次函数的表达式。

【教学难点】

一次函数知识的运用。

【教学方法】

老师引导学生自学法。

【教学过程】

一、创设问题情境，导入新课。

［师］在上节课我们已学习过函数的概念，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数（function），其中x是自变量，y是因变量。在现实生活中有许多问题都可以归结为函数问题。大家能不能举一些例子呢？

［生］假设某人骑自行车的速度为10公里/时，则他骑自行车用的时间t（小时）和所走过的路程S之间的关系为S=10t，这就是一个函数关系式，t是自变量，y是因变量，y是t的函数。

［生］上网的费用为2元/时，则上网t小时，费用y是y=2t，这也是一个函数关系式，t是自变量，y是t的函数。

［生］李明有20元钱，他要买2个笔记本，设每个笔记本为x元（x＜10），则所剩的钱y与x之间的关系为y=20－2x，这也是一个函数关系式，其中x是自变量，y是x的函数。

［师］非常好，可见大家对函数的概念已理解了，并且大家能把身边的事和函数联系在一起，这确实是相当不错的，学习的目的就是要把所学知识运用于实际生活中，所以大家就应把生活中的问题联系到所学知识中。在以后的学习中大家还要继续发扬下去。

刚才三位同学举出了三个函数关系式，即s=10t；y=2t；y=20－2x这三个关系式一样吗？本节课就来研究此问题。

二、讲授新课。

［师］有关函数问题在我们日常生活中随处可见，如弹簧秤有自然长度，在弹性限度内，随着所挂物体的重量的增加，弹簧的长度相应的会拉长，那么所挂物体的重量与弹簧的长度之间就存在某种关系。究竟有什么样的关系，请看：

（一）试一试。

1．某弹簧的自然长度为3厘米。在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1千克、弹簧长度y增加0.5厘米。

（1）计算所挂物体的质量分别为1千克、2千克、3千克、4千克、5千克时弹簧的长度，并填入下表：

（2）你能写出x与y之间的关系式吗？

［生］（1）计算如下：

（2）当不挂物体时，弹簧长度为3厘米，当挂1千克物体时，增加0.5厘米，总长度为3.5厘米，当增加1千克物体，即所挂物体为2千克时，弹簧又增加0.5厘米，总共增加1厘米，由此可见，所挂物体每增加1千克，弹簧就伸长0.5厘米，所挂物体为x千克，弹簧就伸长0.5x厘米，则弹簧总长为原长加伸长的长度，即y=3+0.5x。

［师］这位同学不仅做的对，而且分析得非常好。

（二）做一做。

1．某辆汽车油箱中原有汽油60升，汽车每行驶50千米耗油6升。

（1）完成下表：

（2）你能写出x与y之间的关系吗？

（3）你能写出邮箱剩余油量z与x之间的关系式吗？

［生］解：（1）表格中依次填0升，6升，12升，18升，24升，36升。

（2）y=0.12x

（3）因为剩余油量等于原有汽油减去耗去的油，每行驶50千米耗油6升，当行驶x千米时，耗油应为×6升，所以y=60－0.12x。

（三）一次函数，正比例函数的概念。

［师］上面的两个函数关系式为y=3+0.5x，y=60－0.12x，大家讨论一下，这两个函数关系式有什么关系吗？

［生］左边是因变量y，右边是含自变量的代数式。

［生］自变量和因变量的指数都是一次。

［师］请大家从形式上加以考虑。

［生］形式为y=kx+b，k，b为常数。

［师］若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（linear function）（x为自变量，y为因变量）。特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数。

（四）例题讲解。

1．写出下列各题中x与y之间的关系式，并判断，y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？

（1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程为y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系；

（2）圆的面积y（厘米²）与它的半径x（厘米）之间的关系；

（3）一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这棵树的高度为y（厘米）。

［师］这个例题主要是要考查大家对正比例函数和一次函数的概念的理解。请大家根据自己的理解回答问题。

［生］解：（1）由路程=速度×时间，得y=60x，y是x的一次函数，也是x的正比例函数；

（2）由圆的面积公式，得y=πx²，y不是x的正比例函数，也不是x的一次函数。

（3）这棵树每月长高2厘米，x个月长高了2x厘米，因而y=50+2x，y是x的一次函数，但不是x的正比例函数。

2．我国现行个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于3500元的部分不收税；月收入超过3500元但低于5000元的部分征收3%的所得税。

（1）当月收入大于3500元而小于5000元时，写出应缴所得税y（元）与月收入x（元）之间的关系式。

（2）某人月收入4160元，应缴纳所得税多少元？

（3）如某人本月缴所得税19.2元，则此人本月工资、薪金是多少元？

［师］分析，所缴税等于应缴税的工资部分乘以3%，即（x－3500）×3%；当月收入为4160元时，应缴税为（4160－3500）×3%；如果已知缴税19.2元，首先应判断应缴税的工资是否在范围之内，即是否在3500~5000之间，如果是则可用（1）中的方法求解；若不在这个范围之内，税率将不全是3%，在3500~5000之间的按3%计算，超过3500的另按税率计算。

解：（1）当月收入大于3500元而小于5000元时，

y=0.03×（x－3500）；

（2）当x=4160时，

y=0.03×（4160－800）=19.8（元）；

（3）当x=5000时，

y=0.03×（5000－3500）=45（元）

∵45＞19.2

∴此人本月工资少于5000元。

设此人本月工资是x元，则

0.03×（x－3500）=19.2

∴x=4140

即此人本月工资薪金是4140元。

三、课堂练习。

（一）随堂练习。

（二）补充练习。

1．在下列函数中，x是自变量，y是因变量，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？

y=2x；y=－；

y=－3x+1；y=x²。

［生］解：y=2x是一次函数，也是正比例函数。y=－3x+1是一次函数。

2．某商店出售某商品时，在进价的基础上加一定的利润，其数量x与售价y的关系如下表所示，请根据表中所提供的信息，列出y与x的函数关系式，并求出当数量是2.5千克时的售价。

［生］

∵8+0.4=8×1+0.4×1

16+0.8=8×2+0.4×2

24+1.2=8×3+0.4×3

32+1.6=8×4+0.4×4

∴y=8x+0.4x=8.4x

当x=2.5时

y=8.4×2.5=21（元）

3．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某城市规定用水收费标准如下：每户每月用水量不超过6m³时，水费按0.6元/m³收费；每户每月用水量超过6m³时，超过的部分按1元/m³收费。设某户每月用水量为xm³，应缴水费y元。

（1）写出每月用水量不超过6m³和超过6m³时，y与x之间的函数关系式，并判断它们是否为一次函数。

（2）已知某户5月份的用水量为8m³，求该用户5月份的水费。

［生］解：（1）每月用水量不超过6m³时，

y=0.6x，y是x的一次函数，也是正比例函数；

每月用水量超过6m³时，

y=x－2.4。

y是x的一次函数。

（2）y=8－2.4=5.6（元）

答：该用户5月份的水费为5.6元。

四、课时小节。

本节课学习了如下内容：

1．一次函数、正比例函数的概念，以及它们之间的关系，正比例函数是一次函数的特殊情况。正比例函数是一次函数，一次函数不一定是正比例函数。

2．会根据已知信息写出一次函数的表达式。

【作业布置】

习题6.2。