初中人教版21.2.1 配方法第2课时教学设计及反思

第二十一章 一元二次方程

21.2.1 配方法第 2 课时  配方法

学习目标：1.了解配方法的概念.

2. 掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.

3. 探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.

重点：运用配方法解一元二次方程及解决有关问题. 难点：探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.

一、知识链接

1. 用直接开平方法解下列方程.

(1)9x2=1 (2)(x－2)2=2.

2. 你还记得完全平方公式吗？填一填：

(1) a2+2ab+b2=( )2；

(2) a2－2ab+b2=( )2.

3. 下列方程能用直接开平方法来解吗? (1) x2+6x+9 =5 (2)x2+4x+1=0

二、要点探究

探究点 1：用配方法解方程试一试 解方程： x2+6x+9 =5

填一填 1 填上适当的数或式，使下列各等式成立. (1)x2+4x+         = ( x +  )2；

(2)x2－6x+    = ( x－    )2；

(3)x2+8x+    = ( x+    )2；

(4)x2－ 4 x+ = ( x－ )2.

3

你发现了什么规律？

要点归纳：配方的方法：二次项系数为 1 的完全平方式，常数项等于一次项系数一半的平方.

填一填 2 x2+px+(   )2=(x+   )2

想一想 怎样解方程 x2+4x+1=0？

问题 1 方程 x2+4x+1=0 怎样变成(x+n)2=p 的形式呢？

问题 2 为什么在方程 x2+4x=－1 的两边加上 4？加其他数行吗？

要点归纳：像上面这样通过配成完全平方式来解一元二次方程，叫做配方法.

配方法解方程的基本思路：把方程化为(x+n)2=p 的形式，将一元二次方程降次， 转化为一元一次方程求解．

例 1 (教材 p7 例 1)解下列方程：

(1) x2－8x+1=0； (2) 2x2+1=3x； (3) 3x2－6x+4=0.

练一练 解下列方程：

(1)x2+8x+4=0； (2)4x2+8x=-4； (3)-2x2+6x-8=0.

归纳总结：一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x+n)2=p 的形式：

①当 p>0 时，则 x + n = ± p ，方程的两个根为 x1   = -n - ， x2  = -n + ；

②当 p=0 时，则(x+n)2=0，开平方得方程有两个相等的实数根 x1=x2=－n；

③当 p<0 时，则方程(x+n)2=0 无实数根.

思考 1 用配方法解一元二次方程时，移项时要注意些什么？

思考 2 用配方法解一元二次方程的一般步骤？

探究点 2：配方法的应用

例 2 试用配方法说明：不论 k 取何实数，多项式 k2－4k＋5 的值必定大于零.

练一练 应用配方法求最值.

(1) 2x2－4x+5 的最小值； (2)－3x2 + 5x +1 的最大值.

例 3 若 a，b，c 为△ABC 的三边长，且a2 - 6a + b2 - 8b + c - 5 + 25 = 0 ，试判断△ABC

的形状.

归纳总结：

配方法的应用

三、课堂小结

1. 解下列方程.

（1）x2+4x－9=2x－11； （2）x(x+4)=8x+12；

（3）4x2－6x－3=0； （4）3x2+6x－9=0.

2. 已知代数式 x2+1 的值与代数式 2x+4 的值相等，求 x 的值.

3. 利用配方法证明：不论 x 取何值，代数式－x2－x－1 的值总是负数，并求出它的最大值.

4.若 x2 - 4x + y2 + 6 y + z - 2 +13 = 0 ，求(xy)z 的值.

5. 已知 a，b，c 为△ABC 的三边长，且 a2+b2+c2－ab－ac－bc=0，试判断△ABC

的形状.

参考答案

自主学习

一、知识链接

1.解：(1) x 1 x   = - 1 (2) x = 2+ 2 ，x

= 2 - 2

1  = 3 ， 2 3 1 2

2. a+b a-b

3. 解：(1)可以，方程可以转化成(x+3)2=5 的形式，再利用开平方法求解；(2)可以， 方程可以转化成(x+2)2=3 的形式，再利用开平方法求解.

课堂探究

二、要点探究

探究点 1：用配方法解方程

试一试 解：方程变形为(x+3)2=5.开平方，得 x + 3 = ± 5 ，∴ x1  = -3 +  5 ，x2  = -3 -  5 .

填一填 1 (1)22 2 (2)32 3 (3)42 4 (4) ( 2) 2

3 3

规律：对于二次项系数为 1 的完全平方式，常数项等于一次项系数一半的平方时， 可以进行配方.

填一填 2 p p

2 2

问题1        解：移项，得x2+4x=-1.两边都加上4，得x2+4x+4=-1+4.整理，得(x+2)2=3.问题 2    解：∵二次项系数为 1，常数项等于一次项系数一半的平方时，可以进行配方，∴方程两边同时加上 4.加其他的数不行.

例 1 解：(1)移项，得 x2－8x=－1，配方，得 x2－8x+42=－1+42，即(x-4)2=15.

直接开平方，得 x - 4 = ± 15 ，∴ x1   4    15 ，x2     4  .

(2) 移项， 得 2x2 － 3x= － 1 ， 二次项系数化为 1 ， 得 x2 - 3 x = - 1 ， 配方， 得

2 2

2 3 骣3

1 骣 3

2 ，即骣 3 1 .直接开平方，得 3 1 ，∴ 1 .

x - 2 x + 琪 4

= - 2 + 琪4

琪x - =

桫 16

x - = ±

4 4

x1 = 1，x2 = 2

(3) 移项， 得 3x2 － 6x= － 4 ， 二次项系数化为 1 ， 得 x2 - 2x = - 4 ， 配方， 得

3

x2  - 2x +12  = - 4 +12  ，即(x - 1)2  = - 1 .因为实数的平方不会是负数，所以 x 取任何实

3 3

数时，上式都不成立，所以原方程无实数根．

练一练 解：(1)移项，得 x2+8x=－4，配方，得 x2+8x+42=－4+42，即(x+4)2=12.

直接开平方，得 x + 4 = ±2      3 ，∴ x1  = -4 + 2  3 ，x2    = -4 - 2 .

(2)整理，得 x2+2x+1=0，配方，得(x+1)2=0.直接开平方，得 x +1 = 0 ，∴ x = x = -1 .

1 2

骣 3 2 7

(3)整理，得 x2-3x=－4，配方，得琪x - = -

，∴原方程无实数根.

桫 2 4

思考 1 解：移项时需注意改变符号.

思考 2 解：①移项，二次项系数化为 1；②左边配成完全平方式；③左边写成完全平方形式；④降次；⑤解一次方程.

探究点 2：配方法的应用

例 2 解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1=(k－2)2＋1.因为(k－2)2≥0，所以(k－2)2＋

1≥1.k2－4k＋5 的值必定大于零.

练一练 (1)解：原式 = 2(x - 1)2 +3，当 x =1 时，有最小值 3. (2)解：原式= -3(x-1)2 - 4，当 x =1 时，有最大值-4.

例 3 解： 对原式配方， 得(a - 3)2  + (b - 4)2  +

= 0 由代数式的性质可知

(a - 3)2  = 0， (b - 4)2  = 0，

c - 5 = 0

\ a = 3，b = 4，c = 5，\ a2  + b2  = 32  + 42  = 52  = c2，所以，

△ABC 为直角三角形.

当堂检测

1.解：(1)此方程无解； (2) x

= 6 ，x

= -2 ； (3) x

= 3+ 21 ，x

= 3 -

21 ；

1 2 1 4 2 4

(4) x1 = -3，x2 = 1.

2.解：根据题意得 x2+1=2x+4，整理得 x2－2x－3=0，配方得(x－1)2=4，解得 x1=

－1，x2=3.

3.解：－x2－x－1=－(x2+x+ 1 )+ 1 －1=－(x+ 1 )2－ 3 .∵－(x+ 1 )2≤0，∴－(x+ 1 )2

4 4 2 4 2 2

－ 3 ＜0.

4

∴－x2－x－1 的值总是负数.当 x=－ 1 时，－x2－x－1 有最大值－ 3 .

2 4

4.解：对原式配方，得(x - 2)2  + (y + 3)2  +

z - 2 = 0 ，由代数式的性质可知

(x - 2)2  = 0，(y + 3)2  = 0，

z - 2 = 0 ，

∴ x = 2，y = -3，z = 2. ∴(xy)z   = 轾2´ (-3) 2  = (-6)2  = 36.

5.  解：对原式配方，得 1 轾犏(a - b)2  + (a - c)2  + (b - c)2

= 0，由代数式的性质可知

(a - b)2  = 0，(a - c)2  = 0，(b - c )2  = 0，\ a = b = c，所以，△ABC 为直角三角形.