初中数学人教版九年级上册第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径教案设计

第二十四章 圆

24.1 圆的有关性质

24.1.2 垂直于弦的直径

学习目标：1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.

2. 理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.
3. 灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.

重点：理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作

图问题.

难点：灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.

一、知识链接

1. 说一说什么是轴对称图形？

2. 你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？在折的过程中你有什么发现？

二、要点探究

探究点 1：垂径定理及其推论

说一说 (1)圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？

(2) 你是怎么得出结论的？

问题 如图，AB 是⊙O 的一条弦，直径 CD⊥AB，垂足为 E.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧? 为什么?

归纳总结：垂径定理——垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 推导格式：∵ CD 是直径，CD⊥AB，∴ AE=BE， AC  BC ， AD  BD .

想一想 下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？

归纳总结：垂径定理的几个基本图形

例 1 如图，OE⊥AB 于 E，若⊙O 的半径为 10 cm，OE=6 cm，则 AB=  cm.

例 2 如图，⊙O 的弦 AB＝8cm  ，直径 CE⊥AB 于 D，DC＝2cm，求半径 OC

的长.

思考探索 如果把垂径定理结论与题设交换一条，命题是真命题吗？

①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧. 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？

证明举例 如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径 CD，使 AE=BE.

(1)  CD⊥AB 吗？为什么？

(2)      AC 与 BC 相等吗？ AD 与 BD 相等吗？为什么?

归纳总结：垂径定理的推论——平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.

例 3 已知：⊙O 中弦 AB∥CD，求证： AC  BD .

归纳总结：解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.

探究点 2：垂径定理的实际应用

问题 (教材P82 例2)赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400 年的历史， 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为 37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？

练一练：如图 a、b，一弓形弦长为4 6 cm，弓形所在的圆的半径为 7cm，则弓形的高为               .

归纳总结：在圆中有关弦长 a，半径 r，弦心距 d(圆心到弦的距离)，弓形高 h 的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.

三、课堂小结

1. 已知⊙O 中，弦 AB=8cm，圆心到 AB 的距离为 3cm， 则此圆的半径为    .

2. ⊙O 的直径 AB=20cm，∠BAC=30°则弦 AC=     .

3.(分类讨论题)已知⊙O 的半径为 10cm，弦 MN∥EF，且 MN=12cm，EF=16cm， 则弦 MN 和 EF 之间的距离为               .

4. 如图，在⊙O 中，AB、AC 为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB 于 D，OE⊥AC

于 E，求证：四边形 ADOE 是正方形．

5. 已知：如图，在以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于 C、D 两点．你认为 AC 和 BD 有什么关系？为什么？

6.   如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧 CD，点 O 是弧 CD 的圆心)， 其中 CD=

600 m，E 为弧 CD 上的一点，且 OE⊥CD，垂足为 F，EF=90 m.求这段弯路的半径.

拓展提升

如图，⊙O 的直径为 10，弦 AB=8，P 为 AB 上的一个动点，那么 OP 长的取值

范围

为            .

参考答案

自主学习

一、知识链接

1. 解：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这

样的图形叫

轴对称图形.

2. 解：能；圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴． 课堂探究

二、要点探究探究点 1：

说一说 （1）圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．（2）

用折叠的方

法.

问题 解：线段: AE=BE，劣弧: AC  BC ， AD  BD .理由如下：把圆沿着直径 CD

折叠时，CD 两侧的两个半圆重合，点 A 与点 B 重合，AE 与 BE 重合，AC 和 BC， AD 与 BD 重合．

想一想 解：（1）是. (2)不是，因为没有垂直. (3)  是.  （4）不是，因为 CD

没有过圆心.

例 1 16 解析： 连接 OA ， ∵ OE⊥AB ， ∴

OA2  OE 2 

102  62  8cm.

∴AB=2AE=16cm.

例 2 解: 连接 OA，∵ CE⊥AB 于 D，∴ AD  1 AB  1  8  4(cm).

设 OC=x，则

OD=x-2，根据勾股定理，得 x2=42+(x-2)2，解得 x=5.即半径 OC 的长为 5cm.

思考探索 解：可以.

证明举例 解：（ 1 ） CD⊥AB. 连接 AO ， BO ， 则 AO=BO ， 又 AE=BE ，

∴△AOE≌△BOE (SSS)，

∴∠AEO=∠BEO=90°，∴CD⊥AB. （2）由垂径定理可得 AC =   BC ， AD =

BD   .

例 3 证明：作直径 MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.则 AM   BM ,CM   DM （垂直平分弦的直径平分弦所对的弧） AM  CM   BM  DM , ∴ AC  BD .

探究点 2：

问题 解：如图，用 AB 表示主桥拱，设 AB 所在圆的圆心为 O，半径为 R.经过圆心 O 作弦 AB 的垂线 OC 垂足为 D，与弧 AB 交于点 C，则 D 是 AB 的中点，C

是弧 AB 的中点，CD

就 是 拱 高 .∴AB=37m ， CD=7.23m.∴ AD= 1

2

AB=18.5m ，

OD=OC-CD=R-7.23.OA2   AD2   OD2  , R2  18.52   (R  7.23)2 .解得 R≈27.3(m).即主桥拱

半径约为 27.3m.

练一练 2cm 或 12cm

当堂检测

1. 5cm 2.  10  3cm 3. 14cm 或 2cm

4. 证明：∵OD⊥AB，OE⊥AC，AB⊥AC,∴∠OEA=∠ODA=∠EAD=90°.∴四边

形 ADOE 为矩形，AE= 1

1

AC,AD= 2 AB.又∵AC=AB,∴AE=AD.∴四边形 ADOE

为正方形.

5. 解：AB=CD. 过 O 作 OE⊥AB，垂足为 E，则 AE＝BE，CE＝DE.∴ AE－CE

＝BE－DE 即 AC＝BD.

6. 解: 连接 OC. 设这段弯路的半径为 R m, 则 OF=(R-90) m.∵OE⊥CD，CF=

1 CD= 1 600=300(m)  根据勾股定理，得OC 2   CF 2   OF 2 ,  R 2    3002     R  902  .

2 2 解得

R=545.∴这段弯路的半径为 545 m.

拓展提升 3≤OP≤5.