浙江省杭州市江干区2019-2020学年九年级（上）期末数学试卷

这是一份浙江省杭州市江干区2019-2020学年九年级（上）期末数学试卷，共17页。

A．B．C．D．
2．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3，若AB＝6，BC＝9，EF＝6，则DE＝（ ）
A．4B．6C．7D．9
3．（3分）已知△ABC∽△A'B'C'，AB＝8，A'B'＝6，则＝（ ）
A．2B．C．3D．
4．（3分）在平面直角坐标系中，函数y＝（x+3）（x﹣5）的图象经变换后得到y＝（x+5）（x﹣3）的图象，则这个变换可以是（ ）
A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位
C．向上平移2个单位D．向下平移2个单位
5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且∠CDB＝28°，则∠AOC＝（ ）
A．56°B．118°C．124°D．152°
6．（3分）用配方法将二次函数y＝x2﹣8x﹣9化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y＝（x﹣4）2+7B．y＝（x﹣4）2﹣25
C．y＝（x+4）2+7D．y＝（x+4）2﹣25
7．（3分）为了解某地区九年级男生的身高情况，随取了该区100名九年级男生，他们的身高x（cm）统计如根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不高于180cm的概率是（ ）
A．0.05B．0.38C．0.57D．0.95
8．（3分）如图：在△ABC中，点D为BC边上的一点，且AD＝AB＝5，AD⊥AB于点A，过点D作DE⊥AD，DE交AC于点E，若DE＝2，则△ADC的面积为（ ）
A．B．4C．D．
9．（3分）点A（1，y1），B（﹣2，y2）在函数y＝﹣（x+1）2+2的图象上，则下列结论正确的是（ ）
A．2＞y1＞y2B．2＞y2＞y1C．y1＞y2＞2D．y2＞y1＞2
10．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，C为的三等分点（更靠近A点），点P是⊙O上个动点，取弦AP的中点D，则线段CD的最大值为（ ）
A．2B．C．D．
二、填空题：本题有6个小题、每小4分，共24分．
11．（3分）由4m＝7n，可得比例式：＝ ．
12．（3分）如图，△ABP是由△ACD按顺时针方向旋转某一角度得到的，若∠BAP＝60°，则在这转过程中，旋转中心是 ，旋转的角度为 ．
13．（3分）如图，让此转盘自由转动两次，两次指针都落在阴影部分区域（边界宽度忽略不记）的概率是 ．
14．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D＝70°，则∠EAC的度数为 ．
15．（3分）如图，函数y＝ax2+c与y＝mx+n的图象交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则关于x的不等式ax2+mx+c＞n的解集是 ．
16．（3分）如图，已知▱ABCD中，E是BC的三等分点，连结AE与对角线BD交于点F，则S△BEF：S△ABF：S△ADF：S四边形CDFE＝ ．
三．解答题：本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或计算步骤．
17．（6分）如图，在△ABC中，D、E分别为BC、AC上的点，若，AB＝8cm，求DE的长．
18．（8分）在一个不透明的盒子中，共有三颗白色和一颗黑色围棋棋子，它们除了颜色之外没有其他区别．随机地从盒子中取出一颗棋子后，不放回再取出第二颗棋子，请用画树状图或列表的方法表示所有结果，并求出恰好取出“一白一黑”两颗棋子的概率．
19．（8分）已知一个二次函数y1的图象与x轴的交点为（﹣2，0），（4，0），形状与二次函数相同，且y1的图象顶点在函数y＝2x+b的图象上（a，b为常数），则请用含有a的代数式表示b．
20．（10分）如图，在⊙O中，过半径OD的中点C作AB⊥OD交⊙O于A、B两点，且AB＝．
（1）求OD的长；
（2）计算阴影部分的面积．
21．（10分）如图1，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E．
（1）求证：BE•BC＝AE•CD；
（2）如图2，若点P是边AD上一点，且PE⊥EC．求证：AE•AB＝DE•AP．
22．（12分）已知，二次函数y＝x2+2mx+n（m，n为常数且m≠0）．
（1）若n＝0，请判断该函数的图象与x轴的交点个数，并说明理由；
（2）若点A（n+5，n）在该函数图象上，试探索m，n满足的条件；
（3）若点（2，p），（3，q），（4，r）均在该函数图象上，且p＜q＜r，求m的取值范围．
23．（18分）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点E，，点D在上，连结CO，并延长CO交线段AB于点F，连结OA，OB，且OA＝2，∠OBA＝30°．
（1）求证：∠OBA＝∠OCD；
（2）当△AOF是直角三角形时，求EF的长；
（3）是否存在点F，使得9S△AOF＝4S△CEF，若存在，请求出EF的长，若不存在，请说明理由．
2019-2020学年浙江省杭州市江干区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题始出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．【分析】让白球的个数除以球的总数即为摸到白球的概率．
【解答】解：袋子里装有2个红球、3个黄球和5个白球共10个球，从中摸出一个球是白球的概率是．
故选：A．
【点评】本题考查的是随机事件概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
2．【分析】根据平行线分线段成比例定理得到＝，然后利用比例性质可求出DE．
【解答】解：∵直线l1∥l2∥l3，
∴＝，即＝，
∴DE＝4．
故选：A．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
3．【分析】直接利用相似三角形的性质求解．
【解答】解：∵△ABC∽△A'B'C'，
∴＝＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．
4．【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．
【解答】解：y＝（x+5）（x﹣3）＝（x+1）2﹣16，顶点坐标是（﹣1，﹣16）．
y＝（x+3）（x﹣5）＝（x﹣1）2﹣16，顶点坐标是（1，﹣16）．
所以将抛物线y＝（x+3）（x﹣5）向左平移2个单位长度得到抛物线y＝（x+5）（x﹣3），
故选：A．
【点评】此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
5．【分析】先利用圆周角定理得到∠BOC＝56°，然后利用邻补角的定义计算∠AOC的度数．
【解答】解：∵∠BOC＝2∠CDB＝2×28°＝56°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣56°＝124°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
6．【分析】直接利用配方法进而将原式变形得出答案．
【解答】解：y＝x2﹣8x﹣9
＝x2﹣8x+16﹣25
＝（x﹣4）2﹣25．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确配方是解题关键．
7．【分析】先计算出样本中身高不高于180cm的频率，然后根据利用频率估计概率求解．
【解答】解：样本中身高不高于180cm的频率＝＝0.95，
所以估计他的身高不高于180cm的概率是0.95．
故选：D．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
8．【分析】根据AD＝AB＝5，AD⊥AB，可以得到△ABD是等腰直角三角形，作辅助线CF⊥AD交AD的延长线于点F，再根据三角形相似可以求得CF的长，然后根据三角形面积公式即可求得△ADC的面积．
【解答】解：作CF⊥AD交AD的延长线于点F，
∵AD＝AB＝5，AD⊥AB，
∴∠B＝∠ADB＝45°，
∵∠ADB＝∠CDF，CF⊥AD，
∴∠CDF＝45°，∠CFD＝90°，
∴∠DCF＝∠CDF＝45°，
∴CF＝DF，
∵AD⊥DE，AF⊥FC，
∴DE∥FC，
∴△ADE∽△AFC，
∴，
∵AD＝5，DE＝2，DF＝CF，
∴，
∴，
解得，CF＝，
∴△ADC的面积是：＝＝，
故选：D．
【点评】本题考查等腰直角三角形、三角形的相似、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．
9．【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x＝﹣1，图象开口向下，当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，据二次函数图象的对称性可知，B（﹣2，y1）与（0，y1）关于对称轴对称，由﹣1＜0＜1，可判断y2＞y2＞y1．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣（x+1）2+2
∴对称轴为x＝﹣1，开口向下，当x＝﹣1时，函数由最大值2，
根据二次函数图象的对称性可知，B（﹣2，y2）与（0，y2）关于对称轴对称，
因为﹣1＜0＜1，故2＞y2＞y1，
故选：B．
【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．
10．【分析】如图，连接OD，OC，首先证明点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点D在CK的延长线上时，CD的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题．
【解答】解：如图，连接OD，OC，
∵AD＝DP，
∴OD⊥PA，
∴∠ADO＝90°，
∴点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，AC，
当点D在CK的延长线上时，CD的值最大，
∵C为的三等分点，
∴∠AOC＝60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴CK⊥OA，
在Rt△OCK中，∵∠COA＝60°，OC＝2，OK＝1，
∴CK＝＝，
∵DK＝OA＝1，
∴CD＝+1，
∴CD的最大值为+1，
故选：D．
【点评】本题考查圆周角定理、轨迹、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是正确寻找点D的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题．
二、填空题：本题有6个小题、每小4分，共24分．
11．【分析】根据比例的性质得出即可．
【解答】解：∵4m＝7n，
∴等式两边都除以4n得：＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，能灵活运用比例的性质进行变形是解此题的关键．
12．【分析】根据旋转的性质，点A为旋转中心，对应边AB、AC的夹角为旋转角．
【解答】解：旋转中心为点A，
旋转角为∠BAC＝∠BAP+∠PAC＝60°+30°＝90°；
故答案为A，90°．
【点评】本题考查了旋转的性质，是基础题，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．
13．【分析】先等分情况，使其是等可能事件，再用列表法列举出所有可能出现的结果，从中找出“两次都在阴影区域”的结果数，进而求出概率
【解答】解：将“白色”区域在等分成2份，这样指向三个区域的可能性均等，
用列表法表示所有可能出现的结果如下：
共有9种可能出现的结果，其中“两次都在黑色”的有1种，
所以两次指针都落在阴影部分区域的概率为．
【点评】考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件．
14．【分析】根据菱形的性质得到DA＝DC，AD∥BC，则根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠DAC＝55°，再利用平行线的性质得到∠ECA＝55°，接着根据圆内接四边形的性质求出∠AEC＝110°，然后根据三角形内角和计算∠EAC的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∵DA＝DC，AD∥BC，
∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣∠D）＝（180°﹣70°）＝55°，
∵AD∥CE，
∴∠ECA＝∠DAC＝55°，
∵∠AEC+∠D＝180°，
∴∠AEC＝180°﹣70°＝110°，
∴∠EAC＝180°﹣110°﹣55°＝15°．
故答案为15°．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了菱形的性质．
15．【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，
∴﹣m+n＝p，3m+n＝q，
∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于P（1，p），Q（﹣3，q）两点，
观察函数图象可知：当x＜﹣3或x＞1时，直线y＝﹣mx+n在抛物线y＝ax2+c的下方，
∴不等式ax2+mx+c＞n的解集为x＜﹣3或x＞1．
故答案为：x＜﹣3或x＞1．
【点评】本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
16．【分析】由E是BC的三等分点，得到＝，根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，根据相似三角形的性质得到＝＝设S△BEF＝k，S△ABF＝3k，S△ADF＝9k，求得S△ABF+S△ADF＝S四边形ABCD＝S△BEF+S四边形CDFE＝12k，得到S四边形CDFE＝12k﹣k＝11k，于是得到结论．
【解答】解：∵E是BC的三等分点，
∴＝，
在▱ABCD中，∵AD∥BC，AD＝BC，
∴△ADF∽△EBF，
∴＝＝，
∴S△BEF：S△ABF：S△ADF＝1：3：9，
设S△BEF＝k，S△ABF＝3k，S△ADF＝9k，
∴S△ABF+S△ADF＝S四边形ABCD＝S△BEF+S四边形CDFE＝12k，
∴四边形CDFE＝12k﹣k＝11k，
∴S△BEF：S△ABF：S△ADF：S四边形CDFE＝1：3：9：11，
故答案为：1：3：9：11．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质以及面积的计算方法；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．
三．解答题：本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或计算步骤．
17．【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：∵，∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CAB，
∴＝＝，
∵AB＝8cm，
∴DE＝cm．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
18．【分析】用列表法列举出所有可能出现的结果，从中找出“一白一黑”的结果数，进而求出概率．
【解答】解：用列表法表示所有可能出现的结果如下：
共有12种可能出现的结果，其中“一白一黑”的有6种，
所以，取出“一白一黑”两颗棋子的概率有＝．
【点评】考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件．
19．【分析】由题意得：y1＝±a（x+2）（x﹣4）＝±a（x﹣1）2±9a，则顶点坐标为：（1，±9a），将顶点坐标代入函数y＝2x+b表达式，即可求解．
【解答】解：由题意得：y1＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x﹣1）2﹣9a，
顶点坐标为：（1，±9a），
将顶点坐标代入函数y＝2x+b表达式得：
±9a＝2+b，
故b＝±9a﹣2．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
20．【分析】（1）根据垂径定理得到AC＝BC＝AB＝，再利用三角函数的定义求出∠COB＝60°，则根据含30度的直角三角形三边的关系得到OC＝1，OB＝2OC＝2，从而得到OD的长；
（2）根据扇形的面积公式，利用阴影部分的面积＝S扇形BOD﹣S△COB进行计算．
【解答】解：（1）∵AB⊥OD，
∴∠OCB＝90°，AC＝BC＝AB＝，
∵点C为OD的中点，
∴OC＝OB，
∵cs∠COB＝＝，
∴∠COB＝60°，
∴OC＝BC＝×＝1，
∴OB＝2OC＝2，
∴OD＝OB＝2；
（2）阴影部分的面积＝S扇形BOD﹣S△COB
＝﹣××1
＝π﹣．
【点评】本题考查了扇形面积的计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）；求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．也考查了垂径定理．
21．【分析】（1）根据矩形的性质得到AB＝CD．AD＝BC，∠BAD＝90°，根据余角的性质得到∠ABE＝∠DAE，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（2）根据垂直的定义得到∠AED＝∠PEC＝90°，求得∠AEP＝∠DEC，得到∠EAP＝∠EDC，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵在矩形ABCD中，AB＝CD．AD＝BC，∠BAD＝90°，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB＝∠AED＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝∠BAE+∠EAD，
∴∠ABE＝∠DAE，
∴△ABE∽△DAE，
∴＝，
∴＝，
∴BE•BC＝AE•CD；
（2）证明：如图②中，
∵AE⊥BD，PE⊥EC，
∴∠AED＝∠PEC＝90°，
∴∠AEP＝∠DEC，
∵∠EAD+∠ADE＝90°，∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠EAP＝∠EDC，
∴△AEP∽△DEC，
∴＝，
∵AB＝CD，
∴AE•AB＝DE•AP．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
22．【分析】（1）△＝b2﹣4ac＝4m2＞0，即可求解；
（2）将点A的坐标代入抛物线表达式即可求解；
（3）抛物线开口向上，而p＜q＜r，即函数y随x的增大而增大，故则点（2，p），（3，q），（4，r）在函数对称轴的右侧，即可求解．
【解答】解：（1）n＝0时，△＝b2﹣4ac＝4m2＞0，
故该函数的图象与x轴的交点个数为2；
（2）将点A的坐标代入抛物线表达式得：n＝（n+5）2+2m（n+5）+n，
解得：n＝﹣5或n＝﹣5﹣2m；
（3）a＝1＞0，故抛物线开口向上，而p＜q＜r，
即函数y随x的增大而增大，故则点（2，p），（3，q），（4，r）在函数对称轴的右侧，
抛物线的对称轴为：x＝﹣m，即x＝﹣m＜2.5，
解得：m＞﹣2.5且m≠0．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
23．【分析】（1）先判断出∠ECB＝∠EBC，再判断出∠OCB＝∠OBC，即可得出结论；
（2）先求出EF，再分两种情况，利用锐角三角函数和相似三角形的性质即可得出结论；
（3）由△AOF与△CEF的面积之比可得相似比，列出比例式进行计算．
【解答】解：（1）如图1，连接BC，
∵，
∴∠ECB＝∠EBC，
∴BE＝CE，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠OCD＝∠ECF＝∠ECB﹣∠OCB＝∠EBC﹣∠OBC＝∠OBA，即∠OBA＝∠OCD；
（2）∵OA＝OB，
∴∠OAF＝∠OBA，
∴∠OAF＝∠ECF，
①当∠AFO＝90°时，
∵OA＝2，∠OAB＝∠OBA＝30°．
∴OC＝OA＝2，OF＝1，AB＝2，
∴EF＝CF•tan∠ECF＝CF•tan∠OBA＝3×＝，即EF＝；
②当∠AOF＝90°时，
∵∠OAF＝∠OBA＝30°，
∴tan∠OAF＝tan30°＝，
∵OA＝2，
∴OF＝OA•tan∠OAF＝，
∴AF＝2OF＝，
∵∠OAF＝∠OBA＝∠ECF，∠OFA＝∠EFC，
∴△OFA∽△EFC，
∴＝＝＝，
∴EF＝OF＝．
综上所述：EF＝或；
（3）存在．
∵∠OAB＝∠OBA＝∠OCD，
∴△AOF～△CEF，
∵9S△AOF＝4S△CEF，
∴
∴，
∵AO＝CO＝BO＝2，∴BE＝CE＝3，
设OF＝2k，则EF＝3k，CF＝CO+OF＝AO+OF＝2+2k，AF＝，BF＝BE﹣EF＝3﹣3k，
∴AB＝AF+BF＝+3﹣3k，
∵OA＝OB，∠AOB＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴AB＝AO＝2，
∴+3﹣3k＝2，解得：k＝，
∴EF＝3k＝．
【点评】本题是圆的综合题，主要考查了圆的性质、锐角三角函数、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质．第（2）问的解答要注意分类讨论；识别出相似三角形并能根据面积比得出相似比是解答第（3）问的关键．
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日期：2021/1/2 14:10:27；用户：初中数学；邮箱：hzjf111@xyh.cm；学号：24117471组别（cm）
x≤160
160＜x≤170
170＜x≤180
x＞180
人数
15
42
38
5