2021-2022学年浙江省杭州市萧山区九年级（上）期末数学试卷 解析版

这是一份2021-2022学年浙江省杭州市萧山区九年级（上）期末数学试卷 解析版，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年浙江省杭州市萧山区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
1．（3分）二次函数y＝（x﹣1）2+3的顶点坐标为（　　）
A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3）
2．（3分）抛掷一枚质地均匀的立方体骰子一次，骰子的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6，则朝上一面的数字为5的概率是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）若，则的值等于（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，若以点D为圆心，8为半径作⊙D，则下列各点在⊙D外的是（　　）

A．点A B．点B C．点C D．点D
5．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝3，AC＝4，则cosB的值为（　　）
A． B． C． D．
6．（3分）竖直向上发射的小球的高度h（m）关于运动时间t（s）的函数表达式为h＝at2+bt，其图象如图所示，若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是（　　）

A．第3秒 B．第3.5秒 C．第4.2秒 D．第6.5秒
7．（3分）如图，AB是⊙O直径，若∠AOC＝130°，则∠D的度数是（　　）

A．20° B．25° C．40° D．50°
8．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+3，当x＞1时，y随x的增大而减小，则b的取值范围是（　　）
A．b≥﹣1 B．b≤﹣1 C．b≥1 D．b≤1
9．（3分）如图，AB，CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P，连接AD、BD，已知AD＝BD＝4，PC＝6，那么CD的长为（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9
10．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，记S△ADE＝S1，S△CEF＝S2，S四边形BDEF＝S3，则下列关于S1，S2，S3的关系式正确的是（　　）

A．S3＝S1+S2 B．S3＝2
C．S3＝ D．＝+
二、填空题（本大题共有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）计算：sin45°＝　 　．
12．（4分）已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB．若AB＝2，则AP＝　 　．
13．（4分）某超市质检人员为了检测某品牌产品的质量，从同一批次共2000件产品中随机抽取100件进行检测，检测出次品一件，由此估计这批产品中的次品件数是 　 　件．
14．（4分）已知扇形的圆心角为120°，面积为12π，则扇形的半径是　 　．
15．（4分）将二次函数y＝x2的图象先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，最终所得图象的函数表达式为 　 　．
16．（4分）如图，AB是半圆的直径，BC是半圆的弦，沿弦BC折叠交直径AB于点D．
（1）当AD＝BD＝5时，则BC的长为 　 　；
（2）当AD＝4，BD＝6时，则BC的长为 　 　．

三、解答题（本大题共有7小题，共66分）
17．（6分）一只不透明的箱子里共有5个球，其中3个白球，2个红球，它们除颜色外均相同．
（1）从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是多少？
（2）从箱子中随机摸出一个球，记录下颜色后不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，用列表法或画树状图的方式求两次摸出的球都是白球的概率．
18．（8分）已知二次函数y＝a（x+1）2﹣2的图象经过点（﹣5，6）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求二次函数的图象与y轴的交点坐标．
19．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，P是上一点，且∠BAC＝30°．
（1）求∠APC的度数；
（2）若⊙O的半径为6，求的长（结果保留π）．

20．（10分）如图（1）是某施工现场图，据此构造出了如图（2）所示的数学模型，已知B，C，D三点在同一水平线上，AD⊥CD，∠B＝30°，∠ACD＝60°，BC＝30米．

（1）求点C到AB的距离；
（2）求线段AD的长度．

21．（10分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，∠AED＝∠B，AD＝2，AC＝3，△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F．
（1）求证：△ADE∽△ACB；
（2）求的值．

22．（12分）已知函数y＝x2+bx+3b（b为常数）．
（1）若图象经过点（﹣2，4），判断图象经过点（2，4）吗？请说明理由；
（2）设该函数图象的顶点坐标为（m，n），当b的值变化时，求m与n的关系式；
（3）若该函数图象不经过第三象限，当﹣6≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值．
23．（12分）如图，点A在y轴正半轴上，OA＝1，点B是第一象限内的一点，以AB为直径的圆交x轴于D，C两点，D，C两点的横坐标是方程x2﹣4x+3＝0的两个根，OC＞OD，连接BC．
（1）如图（1），连接BD．
①求∠ABD的正切值；
②求点B的坐标．
（2）如图（2），若点E是的中点，作EF⊥BC于点F，连接EB，ED，EC，求证：2CF＝BC+CD．



2021-2022学年浙江省杭州市萧山区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
1．（3分）二次函数y＝（x﹣1）2+3的顶点坐标为（　　）
A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3）
【分析】由二次函数的顶点式可求得答案．
【解答】解：∵y＝（x﹣1）2+3，
∴抛物线顶点坐标为（1，3），
故选：A．
2．（3分）抛掷一枚质地均匀的立方体骰子一次，骰子的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6，则朝上一面的数字为5的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】让朝上一面的数字是5的情况数除以总情况数6即为所求的概率．
【解答】解：∵抛掷六个面上分别刻有的1，2，3，4，5，6的骰子有6种结果，其中朝上一面的数字为5的只有1种，
∴朝上一面的数字为5的概率为．
故选：A．
3．（3分）若，则的值等于（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据比例的性质即可得到结论．
【解答】解：∵，
∴设b＝3k，a＝2k，
∴＝＝，
故选：B．
4．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，若以点D为圆心，8为半径作⊙D，则下列各点在⊙D外的是（　　）

A．点A B．点B C．点C D．点D
【分析】根据勾股定理求出BD的长，进而得出点A，B，C与⊙D的位置关系．
【解答】解：连接BD，
在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，
∴CD＝AB＝6，∠A＝90°，
∴BD＝＝10，
∵CD＝6＜8，BD＝10＞8，AD＝8，
∴点A在⊙D上，点B在⊙D外，点C在⊙D内．
故选：B．

5．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝3，AC＝4，则cosB的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用勾股定理先求出AB的长，然后再利用锐角三角函数的定义即可解答．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∴cosB＝＝，
故选：B．
6．（3分）竖直向上发射的小球的高度h（m）关于运动时间t（s）的函数表达式为h＝at2+bt，其图象如图所示，若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是（　　）

A．第3秒 B．第3.5秒 C．第4.2秒 D．第6.5秒
【分析】根据题中已知条件求出函数h＝at2+bt的对称轴t＝4，四个选项中的时间越接近4小球就越高．
【解答】解：由题意可知：h（2）＝h（6），
即4a+2b＝36a+6b，
解得b＝﹣8a，
函数h＝at2+bt的对称轴t＝﹣＝4，
故在t＝4s时，小球的高度最高，
题中给的四个数据只有C第4.2秒最接近4秒，
故在第4.2秒时小球最高
故选：C．
7．（3分）如图，AB是⊙O直径，若∠AOC＝130°，则∠D的度数是（　　）

A．20° B．25° C．40° D．50°
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据题意和图形即可求得∠BDC的度数，本题得以解决．
【解答】解：连接AD，
∵AB是⊙O直径，∠AOC＝130°，
∴∠BDA＝90°，∠CDA＝65°，
∴∠BDC＝25°，
故选：B．

8．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+3，当x＞1时，y随x的增大而减小，则b的取值范围是（　　）
A．b≥﹣1 B．b≤﹣1 C．b≥1 D．b≤1
【分析】先求出对称轴x＝，再由已知可得 ≥1，即可求b的范围．
【解答】解：∵y＝﹣x2+bx+3，
∴对称轴为直线x＝b，开口向下，
∵当x＞1时，y随x的增大而减小，
∴b≤1，
故选：D．
9．（3分）如图，AB，CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P，连接AD、BD，已知AD＝BD＝4，PC＝6，那么CD的长为（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】根据圆周角定理，可证∠C＝∠B，又由AD＝BD，可证∠B＝∠DAB，即得∠DAP＝∠C，可证△DAP∽△DCA，得到AD：CD＝DP：AD，代值计算即可求CD的长．
【解答】解：连接AC，
由圆周角定理知，∠C＝∠B，
∵AD＝BD
∴∠B＝∠DAB，
∴∠DAP＝∠C
∴△DAP∽△DCA，
∴AD：CD＝DP：AD，
得AD2＝DP•CD＝CD•（CD﹣PC），
把AD＝4，PC＝6代入得，CD＝8．
故选：C．

10．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，记S△ADE＝S1，S△CEF＝S2，S四边形BDEF＝S3，则下列关于S1，S2，S3的关系式正确的是（　　）

A．S3＝S1+S2 B．S3＝2
C．S3＝ D．＝+
【分析】设AD＝a，BD＝b，DB与EF间的距离为h，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出S1，S2，S3的关系．
【解答】解：设AD＝a，BD＝b，DB与EF间的距离为h，

∵EF∥AB，DF∥BC，
∴四边形DBFE是平行四边形，
∴BD＝EF＝b，
∵DF∥BC，EF∥AB，
∴∠AFD＝∠ACB，∠DAF＝∠EFC，
∴△ADF∽△FEC，
∴＝＝（）2＝，
∵S1＝ah，
∴S2＝，
∴S1S2＝，
∴bh＝2，
∵S3＝bh，
∴S3＝2．
故选：B．
二、填空题（本大题共有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）计算：sin45°＝　　．
【分析】根据特殊角的三角函数值解答．
【解答】解：根据特殊角的三角函数值得：sin45°＝．
12．（4分）已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB．若AB＝2，则AP＝　　．
【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP＝AB，代入数据即可得出AP的长．
【解答】解：由于P为线段AB＝2的黄金分割点，
且AP是较长线段；
则AP＝2×＝﹣1．
13．（4分）某超市质检人员为了检测某品牌产品的质量，从同一批次共2000件产品中随机抽取100件进行检测，检测出次品一件，由此估计这批产品中的次品件数是 　20　件．
【分析】先求出次品所占的百分比，再根据共2000件产品，直接相乘得出答案即可．
【解答】解：∵随机抽取100件进行检测，检测出次品1件，
∴次品所占的百分比是：，
∴这一批产品中的次品件数是：2000×＝20（件），
故答案为：20．
14．（4分）已知扇形的圆心角为120°，面积为12π，则扇形的半径是　6　．
【分析】根据扇形的面积公式S＝，得R＝．
【解答】解：根据扇形的面积公式，得
R＝＝＝6，
故答案为6．
15．（4分）将二次函数y＝x2的图象先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，最终所得图象的函数表达式为 　y＝（x﹣2）2﹣2　．
【分析】根据函数图象向右平移减，向下平移减，可得答案．
【解答】解；将二次函数y＝x2的图象向右平移2个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数表达式是y＝（x﹣2）2﹣2，
故答案为：y＝（x﹣2）2﹣2．
16．（4分）如图，AB是半圆的直径，BC是半圆的弦，沿弦BC折叠交直径AB于点D．
（1）当AD＝BD＝5时，则BC的长为 　5　；
（2）当AD＝4，BD＝6时，则BC的长为 　4　．

【分析】（1）连接CA、CD，由圆周角定理得＝，则AC＝CD，∠ACB＝90°，再由直角三角形的性质得CD＝AB＝BD＝5，则AC＝CD＝5，然后由勾股定理求解即可；
（2）连接CA、CD，由圆周角定理得＝，则AC＝CD，过点C作CE⊥AB于E，则AE＝ED＝2，再证△ACE∽△CBE，求出CE2＝AE•BE＝16，然后由勾股定理即可得出答案．
【解答】解：（1）连接CA、CD，如图1所示：
根据折叠的性质，弧CD所对的圆周角是∠CBD，
∵∠CBA＝∠CBD，
∴＝，
∴AC＝CD，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AD＝BD＝5，
∴AB＝AD+BD＝10，CD＝AB＝BD＝5，
∴AC＝CD＝5，
∴BC＝＝＝5，
故答案为：5；
（2）连接CA、CD，如图2所示：
根据折叠的性质，弧CD所对的圆周角是∠CBD，
∵∠CBA＝∠CBD，
∴＝，
∴AC＝CD，
过点C作CE⊥AB于E，
则AE＝ED＝AD＝×4＝2，
∴BE＝BD+DE＝6+2＝8，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠ACB＝∠AEC＝90°，
∴∠A+∠ACE＝∠ACE+∠BCE＝90°，
∴∠A＝∠BCE，
∴△ACE∽△CBE，
∴＝，
即CE2＝AE•BE＝2×8＝16，
在Rt△BCE中，BC＝＝＝4，
故答案为：4．


三、解答题（本大题共有7小题，共66分）
17．（6分）一只不透明的箱子里共有5个球，其中3个白球，2个红球，它们除颜色外均相同．
（1）从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是多少？
（2）从箱子中随机摸出一个球，记录下颜色后不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，用列表法或画树状图的方式求两次摸出的球都是白球的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据不放回画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．
【解答】解：（1）∵不透明的箱子里共有5个球，其中3个白球，2个红球，
∴从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是；

（2）根据题意画出树状图如下：

一共有20种情况，两次摸出都是白球的情况有6种情况，
所以两次摸出的球都是白球的概率为＝．
18．（8分）已知二次函数y＝a（x+1）2﹣2的图象经过点（﹣5，6）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求二次函数的图象与y轴的交点坐标．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得结论；
（2）令x＝0，求得y的值即可得出结论．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝a（x+1）2﹣2的图象经过点（﹣5，6），
∴a（﹣5+1）2﹣2＝6．
解得：a＝．
∴二次函数的表达式为：y＝（x+1）2﹣2；
（2）令x＝0，则y＝×（0+1）2﹣2＝﹣，
∴二次函数的图象与y轴的交点坐标为（0，﹣）．
19．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，P是上一点，且∠BAC＝30°．
（1）求∠APC的度数；
（2）若⊙O的半径为6，求的长（结果保留π）．

【分析】（1）首先根据等腰三角形的性质计算出∠B＝75°，再根据圆内接四边形的对角互补可得答案；
（2）连接OA，OC，根据圆周角定理得到∠AOC＝2∠B＝150°，根据弧长公式即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B，
∵∠BAC＝30°，
∴∠B＝＝75°，
∴∠APB＝180°﹣75°＝105°，
（2）连接OA，OC，
∵∠B＝75°，
∴∠AOC＝2∠B＝150°，
∴的长＝＝5π．

20．（10分）如图（1）是某施工现场图，据此构造出了如图（2）所示的数学模型，已知B，C，D三点在同一水平线上，AD⊥CD，∠B＝30°，∠ACD＝60°，BC＝30米．

（1）求点C到AB的距离；
（2）求线段AD的长度．

【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E，在Rt△BCE中，根据含30度的直角三角形的性质即可求出CE的长度；
（2）由角平分线的性质可求出CD，在Rt△ACD中，由含30度的直角三角形的性质可求出AC，再根据勾股定理即可求出AD．
【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E，
∴∠CEB＝90°，
∵∠B＝30°，BC＝30米，
∴CE＝BC＝15（米）
∴点C到AB的距离是15米；
（2）∵AD⊥CD，
∴∠ADC＝90°，
∵∠ACD＝60°，∠B＝30°，
∴∠CAD＝90°﹣∠ACD＝30°，∠BAC＝∠ACD﹣∠B＝30°，
∴∠CAD＝∠BAC，
∵CE⊥AB，
∴CD＝CE＝15米，
在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，CD＝15米，
∴CD＝AC，
∴AC＝CD＝2×15＝30（米），
由勾股定理得：AD＝＝＝15（米），
答：线段AD的长度是15米．

21．（10分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，∠AED＝∠B，AD＝2，AC＝3，△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F．
（1）求证：△ADE∽△ACB；
（2）求的值．

【分析】（1）由相似三角形的判定方法可证△ADE∽△ACB；
（2）由相似三角形的性质可得∠AED＝∠B，由角平分线的性质可得∠DAG＝∠CAF，可证△ADG∽△ACF，可求解．
【解答】（1）证明：∵∠AED＝∠B，∠BAC＝∠DAE，
∴△ADE∽△ACB；
（2）解：∵△ADE∽△ACB，
∴∠AED＝∠B，
∵AF平分∠BAC，
∴∠DAG＝∠CAF，
∴△ADG∽△ACF，
∴，
∵AD＝2，AC＝3，
∴，
∴＝2．
22．（12分）已知函数y＝x2+bx+3b（b为常数）．
（1）若图象经过点（﹣2，4），判断图象经过点（2，4）吗？请说明理由；
（2）设该函数图象的顶点坐标为（m，n），当b的值变化时，求m与n的关系式；
（3）若该函数图象不经过第三象限，当﹣6≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值．
【分析】（1）把点（﹣2，4）代入y＝x2+bx+3b中，即可得到函数表达式，然后把点（2，4）代入判断即可；
（2）利用顶点坐标公式得到﹣＝m，＝n，然后消去b可得到n与m的关系式．
（3）由抛物线不经过第三象限可得b的取值范围，分别讨论x＝﹣6与x＝1时y为最大值求解．
【解答】解：（1）把点（﹣2，4）代入y＝x2+bx+3b中得：
4﹣2b+3b＝4，
解得b＝0，
∴此函数表达式为：y＝x2，
当x＝2时，y＝4，
∴图象经过点（2，4）；
（2）∵抛物线函数y＝x2+bx+3b（b为常数）的顶点坐标是 （m，n），
∴﹣＝m，＝n，
∴b＝﹣2m，
把b＝﹣2m代入＝n得n＝＝﹣m2﹣6m．
即n关于m的函数解析式为n＝﹣m2﹣6m．
（3）把x＝0代入y＝x2+bx+3b得y＝3b，
∵抛物线不经过第三象限，
∴3b≥0，即b≥0，
∵y＝x2+bx+3b＝（x+）2﹣+3b，
∴抛物线顶点（﹣，﹣+3b），
∵﹣≤0，
∴当﹣+3b≥0时，抛物线不经过第三象限，
解得b≤12，
∴0≤b≤12，﹣6≤﹣≤0，
∴当﹣6≤x≤1时，函数最小值为y＝﹣+3b，
把x＝﹣6代入y＝x2+bx+3b得y＝36﹣3b，
把x＝1代入y＝x2+bx+3b得y＝1+4b，
当36﹣3b﹣（﹣+3b）＝16时，
解得b＝20（不符合题意，舍去）或b＝4．π
当1+4b﹣（﹣+3b）＝16时，
解得b＝6或b＝﹣10（不符合题意，舍去）．
综上所述，b＝4或6．
23．（12分）如图，点A在y轴正半轴上，OA＝1，点B是第一象限内的一点，以AB为直径的圆交x轴于D，C两点，D，C两点的横坐标是方程x2﹣4x+3＝0的两个根，OC＞OD，连接BC．
（1）如图（1），连接BD．
①求∠ABD的正切值；
②求点B的坐标．
（2）如图（2），若点E是的中点，作EF⊥BC于点F，连接EB，ED，EC，求证：2CF＝BC+CD．


【分析】（1）①过点P作PH⊥DC于H，作AF⊥PH于F，连接PD、AD，利用因式分解法解出一元二次方程，求出OD、OC，根据垂径定理求出DH，根据勾股定理计算求出半径，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据正切的定义计算即可；
②过点B作BE⊥x轴于点E，作AG⊥BE于G，根据平行线分线段成比例定理定理分别求出OE、BE，得到点B的坐标；
（2）过点E作EH⊥x轴于H，证明△EHD≌△EFB，得到EH＝EF，DH＝BF，再证明Rt△EHC≌Rt△EFC，得到CH＝CF，结合图形计算，证明结论．
【解答】（1）解：①以AB为直径的圆的圆心为P，
过点P作PH⊥DC于H，作AF⊥PH于F，连接PD、AD，
则DH＝HC＝DC，四边形AOHF为矩形，
∴AF＝OH，FH＝OA＝1，
解方程x2﹣4x+3＝0，得x1＝1，x2＝3，
∵OC＞OD，
∴OD＝1，OC＝3，
∴DC＝2，
∴DH＝1，
∴AF＝OH＝2，
设圆的半径为r，则PH＝＝，
∴PF＝PH﹣FH＝﹣1，
在Rt△APF中，AP2＝AF2+PF2，即r2＝22+（﹣1）2，
解得：r＝，
∵∠AOD＝90°，OA＝OD＝1，
∴AD＝，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD＝＝3，
∴tan∠ABD＝＝＝；
②过点B作BE⊥x轴于点E，作AG⊥BE于G，
则OA∥PH∥BE，
∵P为AB的中点，
∴OE＝2OH＝4，BG＝2PF＝2，
∴BE＝BG+GE＝3，
∴点B的坐标为（4，3）；
（2）证明：过点E作EH⊥x轴于H，
∵点E是的中点，
∴＝，
∴ED＝EB，
∵四边形EDCB为圆P的内接四边形，
∴∠EDH＝∠EBF，
在△EHD和△EFB中，
，
∴△EHD≌△EFB（AAS），
∴EH＝EF，DH＝BF，
在Rt△EHC和Rt△EFC中，
，
∴Rt△EHC≌Rt△EFC（HL），
∴CH＝CF，
∴2CF＝CH+CF＝CD+DH+BC﹣BF＝BC+CD．