专题15平面向量的数量积及其应用（文理通用）常考点归纳与变式演练（解析版）学案

专题15  平面向量的数量积及其应用

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常考点归纳

常考点01 平面向量数量积的计算

【典例1】

1．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知，，，则(　　)

A． B． C． D．

2．（2020北京13）已知正方形的边长为，点满足，则 ________；__________．

【答案】1.C   2.，

【解析】1.∵，，∴,∴，解得，即，则．

2.分别以为轴，轴建立直角坐标系，则，，，．

∵，∴，∴，

∴，又∵，∴．

【考点总结与提高】

平面向量数量积的类型及求法：

(1)平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式；二是坐标公式.

(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.

【变式演练1】

1．设向量满足， ，则=

A．1 B．2 C．3 D．5

2．已知向量，满足，，则 (　　)

A．4 B．3 C．2 D．0

【答案】1.A  2.B

【解析】1.因为，，两式相加得：，所以，故选A.

2.，故选B．

常考点02 平面向量坐标运算及平面向量垂直的充要条件

【典例2】

1．(2021年高考全国甲卷理科)已知向量．若，则________．

2．(2021年高考全国乙卷理科)已知向量，若，则__________．

【答案】1.     2.

【解析】：,

，解得,故答案为：．

2.因为，所以由可得，

，解得．故答案为：．

【考点总结与提高】

（1）若

（2）利用两向量垂直求参数．如果已知两向量垂直，求某些参数的取值时，则利用“若，，则的充要条件是”解题比较方便．

【变式演练2】

1．已知向量，且，则 (　　)

A． B． C． D．

2．已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________．

【答案】1.D     2.

【解析】1.由可得：，所以，又

所以，所以，故选D．

2.由题意可得：，由向量垂直的充分必要条件可得：，

即：，解得：．故答案为：．

常考点03 平面向量的长度问题

【典例3】

1．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）若向量满足，则_________.

2．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)设为单位向量，且，则______________．

【答案】1.     2.

【解析】1.∵∴∴.故答案为：.

2.因为为单位向量，所以

所以解得：

所以

故答案为：

【考点总结与提高】

平面向量的模及其应用的类型与解题策略：

(1)求向量的模．解决此类问题应注意模的计算公式，或坐标公式的应用，另外也可以运用向量数量积的运算公式列方程求解．

(2)求模的最值或取值范围．解决此类问题通常有以下两种方法：

①几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则，结合模的几何意义求模的最值或取值范围；②代数法：利用向量的数量积及运算法则转化为不等式或函数求模的最值或取值范围．

(3)由向量的模求夹角．对于此类问题的求解，其实质是求向量模方法的逆运用.

【变式演练3】

1.知平面向量的夹角为，且，则（    ）

A．     B．      C．     D．

2．已知向量,的夹角为,,,则__________．

【答案】1B    2.

【解析】1.，所以.

2.法一: ,所以

法二(秒杀解法):利用如下图形,可以判断出的模长是以为边长的菱形对角线的长度,则为．

法三:坐标法

依题意,可设,,所以

所以．

常考点04 平面向量的夹角问题

【典例4】

1．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知向量a，b满足，，，则(　　)

A． B． C． D．

2．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知，为单位向量，且，若，则___________．

【答案】1.D   2.．

【解析】1.，，，．

，

因此，．故选：D．

2.因为，，所以，

，所以，所以．

【考点总结与提高】

(1)求夹角的大小：若a，b为非零向量，则由平面向量的数量积公式得(夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题．

（2)确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.

【变式演练4】

1．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知非零向量，满足，且，则与的夹角为 (　　)

A．     B．     C．     D．

2．已知向量,,则 (　　)

A． B． C． D．

【答案】1.B   2.A

【解析】1.，所以

，所以．

2.由题意,得,所以,故选A.

常考点05 等平面向量数量积的应用

【典例5】

1．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是 (　　)

A． B． C． D．

2．在等腰梯形中，已知，，，．动点和分别在线段和上，且，，则的最小值为      ．

【答案】1.B   2.

【解析】解法一：建系法

解法二：均值法

∵，∴

由上图可知：；两边平方可得

∵ ，∴

∴ ，∴最小值为

解法三：配凑法

∵

∴

∴最小值为

2.因为，，∴= =，∴，

，

当且仅当即时的最小值为．

【考点总结与提高】

平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式我解集，方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．

【变式演练5】

1．(2018上海)在平面直角坐标系中，已知点，，，是轴上的两个动点，且，则的最小值为______．

2．已知向量，，，若对任意单位向量，均有，则的最大值是        ．

【答案】1.-3    2.

【解析】1.设，，所以=

，当时，取得最小值．

2.由题意令，，，则由 可得 ①，令 ②，得对一切实数恒成立，所以．故 ≤，故最大值为．

【冲关突破训练】

1．（2019•新课标Ⅱ，理3）已知，，，则　　

A． B． C．2 D．3

【答案】C

【解析】，，，，即，则，故选．

2．向量，．若，则（    ）．

A． B． C． D．2

【答案】C

【解析】解法一：，，

因为，所以，即，解得．

解法二：因为，所以，所以，所以，所以．

故选：C.

3．设向量a,b满足，，则(　　)

A．1 B．2 C．3 D．5

【答案】A

解析：因为

两式相加得：所以，故选A．

4．已知，记与夹角为，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，所以，

因为，所以，所以．

故选:.

5．已知向量，，若，则实数的值为（    ）

A． B． C．6 D．

【答案】C

【解析】因为，所以，，解得.

故选：C.

6．向量，若，则（    ）

A．2 B． C．3 D．5

【答案】D

【解析】因为向量，，，所以，解得，

所以，所以，

故选：D.

7．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】依题意，所以，即，

由于，所以，解得，

由于，所以.

故选：C

8．已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　　

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点，则，，，

设，则，，，则，当，时，取得最小值，故选．

9．已知A,B,C是圆O上的三点,若,则与的夹角为______．

【答案】

【解析】∵,∴O为线段BC中点,故BC为的直径,

∴,∴与的夹角为．

10．已知向量，，若，则实数的值是________．

【答案】4

【解析】因为，故，展开得到，

因为，故，，

故答案为：4.

11．已知向量的夹角为120°，，若，则实数λ=___________.

【答案】

【解析】因为向量的夹角为120°，，且，

所以，即，

所以，解得，

故答案为：

12．已知向量，满足，，若存在单位向量，使得，则的最小值为_________.

【答案】

【解析】当与同号时，

所以，即，与共线时等号成立，

而，即，

又当向量，同向共线时，等号成立，所以

当与异号时，

所以，即，与共线时等号成立，

而，即，

又当向量，反向共线时，等号成立，所以

综上，，即最小值为.

故答案为：