高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质多媒体教学课件ppt

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1.理解增函数和减函数的定义.(数学抽象)2.理解函数单调性的含义,掌握利用定义证明函数的单调性的方法.(逻辑推理)3.能够利用定义或图象求函数的单调区间,能够利用函数的单调性解决有关问题.(数学运算)
[激趣诱思]德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯,对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试,得到了以下一些数据:
以上数据表明,记忆量y是时间间隔t的函数,艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”,如图.问题　(1)当时间间隔t逐渐增大时,你能看出对应的函数值y有什么变化趋势吗?通过这个试验,你打算以后如何对待刚学过的知识?(2)“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的,对此,我们如何用数学观点进行解释?
知识点:函数单调性的概念1.
2.如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.
名师点析 (1)函数的单调性是函数在某个区间上的性质,这个区间可以是整个定义域,也可以是定义域的一部分,也就是单调区间是定义域的某个子集.(2)对于单独一点,由于它的函数值是唯一确定的常数,没有增减变化,所以不存在单调性问题,因此在书写单调区间时,可以包括端点,也可以不包括端点,但在某些点无意义时,单调区间不能包括这些点.
微练习1已知四个函数的图象如图所示,其中在定义域内具有单调性的函数是(　　)
微练习2如果(a,b),(c,d)都是函数f(x)的单调递增区间,且x1∈(a,b),x2∈(c,d),x1f(x2)C.f(x1)=f(x2)D.不能确定答案 D解析 根据函数单调性的定义可知,所取的两个自变量的值必须在同一单调区间内才能由函数的单调性比较其函数值的大小,故选D.
例1(1)(2020天津高一期末)下列函数中,在(0,+∞)上单调递增的是(　　)A.f(x)=3-xB.f(x)=x2-3xC.f(x)=- D.f(x)=-|x|(2)函数y=x2-2|x|+1的单调递增区间是(　　)A.(-1,0)B.(-1,0)和(1,+∞)C.(-∞,-1)D.(-∞,-1)和(0,1)
答案 (1)C　(2)B
作出函数图象如图所示,
由图象可知,函数的单调递增区间为(-1,0)和(1,+∞).故选B.
反思感悟 (1)一次、二次函数及反比例函数的单调性.①一次函数y=kx+b(k≠0)的单调性由系数k决定:当k>0时,该函数在R上是增函数;当k<0时,该函数在R上是减函数.②二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的单调性以对称轴x=- 为分界线.
③反比例函数y= (k≠0)的单调性如下表所示.
(2)对于含绝对值的函数可以去掉绝对值号转化为分段函数或作出函数图象判断函数单调性.
延伸探究 已知x∈R,函数f(x)=x|x-2|,试画出y=f(x)的图象,并结合图象写出函数的单调区间.由图象可知,函数的单调递增区间为(-∞,1],[2,+∞);单调递减区间为[1,2].
反思感悟 利用定义法证明或判断函数的单调性的步骤
特别提醒 作差变形的常用技巧:(1)因式分解.当原函数是多项式函数时,作差后的变形通常进行因式分解.如f(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1).(2)通分.当原函数是分式函数时,作差后往往进行通分,然后对分子进行因式分解.如本例.(3)配方.当所得的差式是含有x1,x2的二次三项式时,可以考虑配方,便于判断符号.(4)分子有理化.当原函数是根式函数时,作差后往往考虑分子有理化.
(1)求函数f(x)的定义域;(2)判断这个函数在(-∞,-2)上的单调性并证明.
1.根据函数单调性比较大小例3已知函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,试比较f(a2-a+1)与f 的大小.分析要比较两个函数值的大小,需先比较自变量的大小.
反思感悟 函数单调性的应用问题的解题策略(1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在利用函数的单调性解决比较函数值大小的问题时,要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上.(2)利用函数的单调性解函数值的不等式就是利用函数在某个区间内的单调性,去掉对应关系“f”,转化为自变量的不等式,此时一定要注意自变量的限制条件,以防出错.
变式训练2已知g(x)是定义在区间[-2,2]上单调递增,且g(t)>g(1-3t),求t的取值范围.
2.根据函数单调区间或单调性求参数范围.例4函数f(x)=x2+(2a+1)x+1在区间[1,2]上是单调函数,则实数a的取值范围是(　　)
要点笔记 含参数的函数单调性问题,应明确若函数在某一区间I上是单调递增(或单调递减),则该区间是函数的原单调递增区间(或单调递减区间)D的子集,即I⊆D.
变式训练3(2021陕西西安一中高一月考)如果函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上单调递减,那么实数a的取值范围是(　　)A.(-∞,-3]B.[-3,+∞)C.(-∞,5]D.[5,+∞)答案 A解析 ∵二次函数f(x)=x2+2(a-1)x+2的对称轴为x=- =-(a-1)=1-a,抛物线开口向上,∴函数在(-∞,1-a]上单调递减,要使f(x)在区间(-∞,4]上单调递减,则对称轴1-a≥4,解得a≤-3.
3.含参数的分段函数的单调性问题例5(多选题)(2021广东四会中学高一期中)已知函数 是R上的函数,且满足对于任意的x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0成立,则a的可能取值是(　　)A.1B.-1C.-2D.-3
反思感悟 分段函数的单调性不要忽视分段函数定义域的分界点的大小,由于分段函数是一个函数,因此对于分段函数在实数集R上的单调递增(减)的问题,除了保证在定义域的每一个区间上单调性相同之外,还要考虑在分界点处的函数值的大小应满足函数的单调性的性质,否则求出的参数的范围会出现错误.
复合函数的单调性问题
【规范答题】解 由题意可知,g(x)的定义域为{x|x≠-2,且x≠4}.令u(x)=8+2x-x2,则u(x)在(-∞,-2),(-2,1]上单调递增,在[1,4),(4,+∞)上单调递减.函数g(u)= 在(-∞,0)和(0,+∞)上分别单调递减.根据复合函数“同增异减”的原则,可知g(x) 在区间(-∞,-2),(-2,1]上单调递减,在区间[1,4),(4,+∞)上单调递增.即函数g(x)的单调递增区间为[1,4),(4,+∞),单调递减区间为(-∞,-2),(-2,1].
方法点睛 复合函数单调性的判断法则:“同增异减”,即对于y=f(g(x))型的复合函数,令t=g(x),则可以把它看成是由y=f(t)和t=g(x)复合而成的,若它们的单调性相同,则复合后的函数为增函数;若它们的单调性相反,则复合后的函数为减函数.
1.(多选题)(2021山西大同一中高一期中)若函数y=f(x),x∈[-4,4]的图象如图所示,则下列区间是函数f(x)的单调递减区间的为(　　)A.[-4,-2]B.[-3,-1]C.[-4,0]D.[1,4]答案 AD解析 由图可得f(x)在[-4,-2]上单调递减,在[-2,1]上单调递增,在[1,4]上单调递减,∴f(x)的单调递减区间为[-4,-2],[1,4].故选AD.
2.已知函数y=ax和y=- 在(0,+∞)上都单调递减,则函数f(x)=bx+a在R上是(　　)A.减函数且f(0)<0B.增函数且f(0)<0C.减函数且f(0)>0D.增函数且f(0)>0答案 A解析 ∵y=ax和y=- 在(0,+∞)上都单调递减,∴a<0,b<0,则f(x)=bx+a在R上为减函数,且f(0)=a<0,故选A.
3.下列函数中,在区间(0,1)上单调递增的是(　　)A.y=|x+1|B.y=3-xC.y= D.y=-x2+4答案 A解析 由于x∈(0,1)时,y=|x+1|=x+1,∴该函数在(0,1)上单调递增,所以A选项正确;由于y=3-x是一次函数,在(0,1)上单调递减,所以B选项错误;由于y= 是反比例函数,在(0,1)上单调递减,所以C选项错误;由于y=-x2+4是二次函数,在(0,1)上单调递减,所以D选项错误.故选A.
4.若函数y=f(x)的图象如图所示,则函数f(x)的单调递增区间是　　　　　. 答案 (-∞,1],(1,+∞)解析 由题图可知函数f(x)的单调递增区间是(-∞,1],(1,+∞).
5.若函数f(x)在区间[-2,2]上单调递减,则f(-1)　　　f(2).(填“>”“<”或“=”) 答案 >解析 ∵f(x)在区间[-2,2]上单调递减,且-1<2,∴f(-1)>f(2).