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浙江省温州市鹿城区2021-2022学年八年级上学期期中数学试卷（word版 含答案）
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这是一份浙江省温州市鹿城区2021-2022学年八年级上学期期中数学试卷（word版 含答案），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年浙江省温州市鹿城区八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．下列在线学习平台的图标中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，则∠C为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
3．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3cm，5cm，7cm B．3cm，3cm，7cm
C．4cm，4cm，8cm D．4cm，5cm，9cm
4．下列选项中，可以用来证明命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题的反例是（ ）
A．a＝﹣2，b＝1 B．a＝2，b＝3 C．a＝3，b＝﹣2 D．a＝2，b＝﹣3
5．在数轴上表示不等式﹣1＜x⩽2，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．若a＜b，则下列式子正确的是（ ）
A．＞ B．﹣3a＜﹣3b C．3a＞3b D．a﹣3＜b﹣3
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB，BC，AC为边向外作三个正方形，已知其中两个正方形面积分别为25，169，则正方形M的面积为（ ）
A．100 B．144 C．154 D．194
8．一副三角板摆放如图所示，斜边FD与直角边AC相交于点E，点D在直角边BC上，且FD∥AB，∠B＝30°，则∠ADB的度数是（ ）
A．95° B．105° C．115° D．125°
9．如图，在△ABC中，点D在BC边上，点B关于直线AD的对称点B′落在AC的延长线上，若BC垂直平分AB′，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
10．如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的高线，E是边AC上一点，分别作EF⊥AD于点F，EG⊥BC于点G，几何原本中曾用该图证明了BG2+CG2＝2（BD2+DG2），若△ABD与△AEF的面积和为8.5，BG＝5，则CG的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）
11．命题：“如果|a|＝|b|，那么a＝b”的逆命题是： （填“真命题”或“假命题”）．
12．“x的2倍比y小”用不等式表示为 ．
13．如图，点E，F在AC上，AD＝BC，DF＝BE，要使△ADF≌△CBE，需添加一个条件是 ．（只需添加一个条件即可）
14．等腰三角形的一个外角度数为70°，则其顶角的度数是 ．
15．若x＜y，且（6﹣a）x＞（6﹣a）y，则a的取值范围是 ．
16．如图，点D在△ABC内，∠BDC＝90°，AB＝3，AC＝BD＝2，CD＝1，则图中阴影部分的面积为 ．
17．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，利用尺规在AC，AB上分别截取AD，AE，使AD＝AE，分别以D，E为圆心，以大于DE为长的半径作弧，两弧在∠BAC内交于点F，作射线AF交边BC于点G，点P为边AB上的一动点，则GP的最小值为 ．
18．如图，△ABC中，AB＝AC＝5，在BA延长线上取一点D，使AD＝7，连结CD，点E为AC边上一点，当∠AEB＝∠D时，△BCD的面积是△BCE的面积的6倍，则AE＝ ，△BCD的面积为 ．
三、解答题（本题有6小题，共46分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
19．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD为BC边上的高线，求AD的长．
20．如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AC＝EF，AD＝BE，BC＝DF，BC与DF交于点O．
（1）求证：△ABC≌△EDF．
（2）若∠CBE＝125°，求∠BOD的度数．
21．如图，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，分别按下列要求画三角形，使它的顶点在格点上．
（1）在图1中画一个等腰三角形，使它的底边长为有理数．
（2）在图2中画一个直角三角形，使它的三边长都为无理数．
22．某商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案可供选择．
方案一：每台按售价的九折销售；
方案二：若购买不超过5台，每台按售价销售；若超过5台，超过的部分每台按售价的八折销售．
已知A型号笔记本电脑的原售价是5000元/台，某公司一次性从该商店购买A型号笔记本电脑x台．
（1）若方案二比方案一更便宜，根据题意列出关于x的不等式．
（2）若公司买12台笔记本，你会选择哪个方案？请说明理由．
23．数学老师在课上呈现一个几何图形，如图，∠1＝∠2，AB⊥CD于点E，过点E作一条直线分别交线段BC，AD于点F，G．同学们根据图形进行大胆猜想．小方说：当∠3＝∠1＝50°时，可求得∠CFE的度数．小何说：当BF＝CF时，可证得EG⊥AD．
（1）依据小方说的条件，你求得∠CFE＝ ．（直接写出答案）
（2）依据小何说的条件，请你判断他的结论是否正确，并说明理由．
24．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，以AB为边在AB上方作等边△ABD，以BC为边在BC右侧作等边△CBE，连结DE．
（1）当AC＝5时，求BE的长．
（2）求证：BD⊥DE．
（3）如图2，点C′与点C关于直线AD对称，连结C′E．
①求C′E的长．
②连结C′D，当△C′DE是以C′E为腰的等腰三角形时，写出所有满足条件的AC长： ．（直接写出答案）
参考答案
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．下列在线学习平台的图标中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形定义进行分析即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
解：选项A，C，D都不能找到这样的一条直线，使这些图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项B能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，则∠C为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】根据三角形的面积和定理即可得到结论．
解：∵∠A＝30°，∠B＝90°，
∴∠C＝90°﹣30°＝60°，
故选：D．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
3．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3cm，5cm，7cm B．3cm，3cm，7cm
C．4cm，4cm，8cm D．4cm，5cm，9cm
【分析】直接利用三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，进而判断得出答案．
解：A．∵3+5＝8＞7，
∴能组成三角形，符合题意；
B．∵3+3＜7，
∴不能组成三角形，不符合题意；
C．∵4+4＝8，
∴不能组成三角形，不符合题意；
D．∵4+5＝9，
∴不能组成三角形，不符合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
4．下列选项中，可以用来证明命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题的反例是（ ）
A．a＝﹣2，b＝1 B．a＝2，b＝3 C．a＝3，b＝﹣2 D．a＝2，b＝﹣3
【分析】据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．
解：∵当a＝2，b＝﹣3时，（﹣3）2＞22，但是﹣3＜2，
∴a＝2，b＝﹣3是假命题的反例．
故选：D．
【点评】此题考查的是命题与定理，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可这是数学中常用的一种方法．
5．在数轴上表示不等式﹣1＜x⩽2，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】不等式﹣1＜x≤2在数轴上表示不等式x＞﹣1与x≤2两个不等式的公共部分．
解：“＞”空心圆圈向右画折线，“≤”实心圆点向左画折线．
故在数轴上表示不等式﹣1＜x⩽2如下：
故选：A．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
6．若a＜b，则下列式子正确的是（ ）
A．＞ B．﹣3a＜﹣3b C．3a＞3b D．a﹣3＜b﹣3
【分析】根据不等式的基本性质判断即可．
解：A选项，∵a＜b，
∴＜，故该选项不符合题意；
B选项，∵a＜b，
∴﹣3a＞﹣3b，故该选项不符合题意；
C选项，∵a＜b，
∴3a＜3b，故该选项不符合题意；
D选项，∵a＜b，
∴a﹣3＜b﹣3，故该选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，掌握①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或代数式，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB，BC，AC为边向外作三个正方形，已知其中两个正方形面积分别为25，169，则正方形M的面积为（ ）
A．100 B．144 C．154 D．194
【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式即可得到结论．
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AC2＝AB2﹣BC2＝169﹣25＝144，
∴正方形M的面积为144，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理，正方形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
8．一副三角板摆放如图所示，斜边FD与直角边AC相交于点E，点D在直角边BC上，且FD∥AB，∠B＝30°，则∠ADB的度数是（ ）
A．95° B．105° C．115° D．125°
【分析】由题意可知∠ADF＝45°，则由平行线的性质可得∠B+∠BDF＝180°，求得∠BDF＝150°，从而可求∠ADB的度数．
解：由题意得∠ADF＝45°，
∵FD∥AB，∠B＝30°，
∴∠B+∠BDF＝180°，
∴∠BDF＝180°﹣∠B＝150°，
∴∠ADB＝∠BDF﹣∠ADF＝105°．
故选：B．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．
9．如图，在△ABC中，点D在BC边上，点B关于直线AD的对称点B′落在AC的延长线上，若BC垂直平分AB′，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
【分析】证明∠ACB＝90°，∠B＝∠DAB＝∠DAC＝30°，可得结论．
解：∵点B关于直线AD的对称点B′落在AC的延长线上，
∴DB＝DB′，∠B＝∠B′，∠DAB＝∠DAC，
∵BC垂直平分AB′，
∴DA＝DB′，∠ACB＝90°，
∴∠B′＝∠DAC＝∠DAB＝∠B，
∵∠B+∠CAB＝90°，
∴∠B＝∠DAB＝∠DAC＝30°，
∴AD＝DB＝2CD，
∴＝2，
故选：D．
【点评】本题考查轴对称的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是证明∠ACB＝90°，∠B＝30°．
10．如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的高线，E是边AC上一点，分别作EF⊥AD于点F，EG⊥BC于点G，几何原本中曾用该图证明了BG2+CG2＝2（BD2+DG2），若△ABD与△AEF的面积和为8.5，BG＝5，则CG的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【分析】由S△AEF+S△ABD＝8.5，得BD2+DG2＝17，从而有BG2+CG2＝34，即可得出答案．
解：由题意知：△ABD，△AEF都是等腰直角三角形，
∴S△AEF＝，S，
∵S△AEF+S△ABD＝8.5，
∴BD2+DG2＝17，
∵BG2+CG2＝2（BD2+DG2），
∴BG2+CG2＝34，
∵BG＝5，
∴CG＝＝3，
故选：C．
【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，根据三角形的面积求出BD2+DG2＝17是解题的关键．
二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）
11．命题：“如果|a|＝|b|，那么a＝b”的逆命题是： 真命题 （填“真命题”或“假命题”）．
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，可得答案．
解：“如果|a|＝|b|，那么a＝b”的逆命题是“如果a＝b，那么|a|＝|b|”，为真命题，
故答案为：真命题．
【点评】本题考查了命题与定理，主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
12．“x的2倍比y小”用不等式表示为 2x＜y ．
【分析】x的2倍即为2x，小即“＜”，据此列不等式．
解：由题意得，2x＜y．
故答案为：2x＜y．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系是关键．
13．如图，点E，F在AC上，AD＝BC，DF＝BE，要使△ADF≌△CBE，需添加一个条件是 ∠D＝∠B ．（只需添加一个条件即可）
【分析】利用全等三角形的判定与性质进而得出当∠D＝∠B时，△ADF≌△CBE．
解：当∠D＝∠B时，
在△ADF和△CBE中
∵，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
故答案为：∠D＝∠B．（答案不唯一）
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
14．等腰三角形的一个外角度数为70°，则其顶角的度数是 110° ．
【分析】三角形内角与相邻的外角和为180°，三角形内角和为180°，等腰三角形两底角相等，110°只可能是顶角．
解：等腰三角形一个外角为70°，那相邻的内角为110°，
三角形内角和为180°，如果这个内角为底角，内角和将超过180°，
所以110°只可能是顶角．
故答案为：110°．
【点评】本题主要考查三角形外角性质、等腰三角形性质及三角形内角和定理；判断出70°的外角只能是顶角的外角是正确解答本题的关键．
15．若x＜y，且（6﹣a）x＞（6﹣a）y，则a的取值范围是 a＞6 ．
【分析】根据不等式的基本性质，发现不等式的两边都乘（6﹣a）后，不等号的方向改变了，说明（6﹣a）是负数，从而得出答案．
解：根据题意得：6﹣a＜0，
∴a＞6，
故答案为：a＞6．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，掌握①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或代数式，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
16．如图，点D在△ABC内，∠BDC＝90°，AB＝3，AC＝BD＝2，CD＝1，则图中阴影部分的面积为 ﹣1 ．
【分析】根据勾股定理和∠BDC＝90°，BD＝2，CD＝1，可以先求出BC的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断△ABC的形状，从而可以求出阴影部分的面积．
解：∵∠BDC＝90°，BD＝2，CD＝1，
∴BC＝＝＝，
∵AB＝3，AC＝2，
∴AC2+BC2＝22+（）2＝4+5＝9＝32＝AB2，
∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴S阴影＝S△ACB﹣S△BDC＝＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是求出BC的长．
17．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，利用尺规在AC，AB上分别截取AD，AE，使AD＝AE，分别以D，E为圆心，以大于DE为长的半径作弧，两弧在∠BAC内交于点F，作射线AF交边BC于点G，点P为边AB上的一动点，则GP的最小值为 ．
【分析】根据基本作图得到AG平分∠BAC，过G点作GH⊥AB于H，如图，则根据角平分线的性质得到GH＝GC，利用勾股定理计算出AB＝10，再利用面积法求出GH，然后根据垂线段最短解决问题．
解：由作法得AG平分∠BAC，
过G点作GH⊥AB于H，如图，则
而GC⊥AC，
∴GH＝GC，
∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝10，
∵GH•AB+GC•AC＝AC•BC，
∴5GH+4GH＝24，
∴GH＝，
∵点P为边AB上的一动点，
∴GP的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作已知角的角平分线）．也考查了角平分线的性质和垂线段最短．
18．如图，△ABC中，AB＝AC＝5，在BA延长线上取一点D，使AD＝7，连结CD，点E为AC边上一点，当∠AEB＝∠D时，△BCD的面积是△BCE的面积的6倍，则AE＝ 3 ，△BCD的面积为 6 ．
【分析】过点B作BH⊥CA交CA的延长线于点H，过点C作CG⊥AD于点G，在线段DG上截取GF＝GA，连接CF，则CG是AF的垂直平分线，证明△CFD≌△BAE，可得FD＝AE，根据△BCD的面积是△BCE的面积的6倍，可得CG＝S△BCE，AE＝CE，进而可得AE的长；再利用勾股定理求出CG，进而可得△BCD的面积．
解：如图，过点B作BH⊥CA交CA的延长线于点H，过点C作CG⊥AD于点G，在线段DG上截取GF＝GA，连接CF，
则CG是AF的垂直平分线，
∴CA＝CF，
∴∠CAF＝∠CFA，
∴180°﹣∠CAF＝180°﹣∠CFA，
∴∠CAB＝∠CFD，
∵AB＝AC＝5，
∴CF＝AB＝AC＝5，
在△CFD和△BAE中，
，
∴△CFD≌△BAE（AAS），
∴FD＝AE，
∵AB＝5，AD＝7，
∴BD＝AB+AD＝12，
∴S△BCD＝BD•CG＝12CG＝6CG，
∵S△BCD＝6S△BCE，
∴6CG＝6S△BCE，
∴CG＝S△BCE，
∵S△ABC＝BA•CG＝5CG＝CG，
∴S△ABC＝S△BCE，
∴S△ABE＝S△ABC﹣S△BCE＝S△BCE﹣S△BCE＝S△BCE，
∵S△ABE＝AE•BH，S△BCE＝CE•BH，
∴AE•BH＝×CE•BH，
∴AE＝CE，
∴＝，
∴AE＝AC＝×5＝3，
∴FD＝AE＝3，
∴AF＝AD﹣FD＝7﹣3＝4，
∴AG＝FG＝AF＝2，
∵CG⊥AG，
∴∠AGC＝90°，
在Rt△ACG中，∠AGC＝90°，AC＝5，AG＝2，
∴CG＝＝＝，
∵BD＝12，
∴S△BCD＝BD•CG＝12×＝6．
综上所述：AE＝3，△BCD的面积为6．
故答案为：3；6．
【点评】本题属于三角形的综合题，是中考填空题的压轴题，考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形面积公式，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
三、解答题（本题有6小题，共46分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
19．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD为BC边上的高线，求AD的长．
【分析】根据等腰三角形的三线合一求出BD，根据勾股定理计算，得到答案．
解：∵AB＝AC，BC＝6，AD⊥BC，
∴BD＝DC＝BC＝3，∠ADB＝90°，
由勾股定理得：AD＝＝＝4．
【点评】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
20．如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AC＝EF，AD＝BE，BC＝DF，BC与DF交于点O．
（1）求证：△ABC≌△EDF．
（2）若∠CBE＝125°，求∠BOD的度数．
【分析】（1）由AD＝BE可求得AB＝ED，利用SSS可证得：△ABC≌△EDF；
（2）由邻补角可求得∠ABC＝55°，结合（1）可求∠EDF＝55°，利用三角形的内角和可求解．
【解答】（1）证明：∵AD＝BE，
∴AD+BD＝BE+BD，
即AB＝ED，
在△ABC与△EDF中，
，
∴△ABC≌△EDF（SSS）；
（2）解：∵∠CBE＝125°，
∴∠ABC＝180°﹣∠CBE＝55°，
∵△ABC≌△EDF，
∴∠EDF＝∠ABC＝55°，
∴∠BOD＝180°﹣∠EDF﹣∠ABC＝70°．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是对全等三角形的判定条件的掌握与应用．
21．如图，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，分别按下列要求画三角形，使它的顶点在格点上．
（1）在图1中画一个等腰三角形，使它的底边长为有理数．
（2）在图2中画一个直角三角形，使它的三边长都为无理数．
【分析】（1）利用数形结合的思想根据要求作出三角形即可；
（2）利用数形结合的思想根据要求作出三角形即可．
解：（1）如图1中，△ABC即为所求（答案不唯一）；
（2）如图2中，△DEF即为所求（答案不唯一）．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，无理数，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
22．某商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案可供选择．
方案一：每台按售价的九折销售；
方案二：若购买不超过5台，每台按售价销售；若超过5台，超过的部分每台按售价的八折销售．
已知A型号笔记本电脑的原售价是5000元/台，某公司一次性从该商店购买A型号笔记本电脑x台．
（1）若方案二比方案一更便宜，根据题意列出关于x的不等式．
（2）若公司买12台笔记本，你会选择哪个方案？请说明理由．
【分析】（1）根据方案二比方案一更便宜，根据题意列出关于x的不等式即可；
（2）根据公司买12台笔记本，列式计算即可得到结论．
解：（1）根据题意得，5000×5+5000×80%（x﹣5）＜5000×90%x；
（2）选择方案二，
理由：方案一：5000×12×90%＝54000（元），
方案二：5000×5+5000×80%×（12﹣5）＝53000（元），
∵54000＞53000，
∴选择方案二．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，解题的关键是：（1）找准不等量关系，正确列出一元一次不等式；（2）根据优惠方案，列式计算．
23．数学老师在课上呈现一个几何图形，如图，∠1＝∠2，AB⊥CD于点E，过点E作一条直线分别交线段BC，AD于点F，G．同学们根据图形进行大胆猜想．小方说：当∠3＝∠1＝50°时，可求得∠CFE的度数．小何说：当BF＝CF时，可证得EG⊥AD．
（1）依据小方说的条件，你求得∠CFE＝ 100° ．（直接写出答案）
（2）依据小何说的条件，请你判断他的结论是否正确，并说明理由．
【分析】（1）由已知得∠2＝50°，再由对顶角相等得∠BEF＝∠3＝50°，然后由三角形的外角性质即可求得∠CFE的度数；
（2）由直角三角形斜边上的中线性质得EF＝BC＝BF，则∠BEF＝∠2，再证∠1＝∠3，然后证∠1+∠DEG＝90°，则∠DGE＝90°，即可得出结论．
解：（1）∵AB⊥CD，
∴∠BEC＝90°，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠1＝50°，
∴∠2＝50°，∠BEF＝∠3＝50°，
∴∠CFE＝∠2+∠BEF＝50°+50°＝100°，
故答案为：100°；
（2）小何的判断正确，理由如下：
∵AB⊥CD，
∴∠AED＝∠BEC＝90°，BF＝CF，
∴EF＝BC＝BF，
∴∠BEF＝∠2，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠BEF，
∴∠1＝∠3，
∵∠3+∠DEG＝90°，
∴∠1+∠DEG＝90°，
∴∠DGE＝90°，
∴EG⊥AD．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
24．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，以AB为边在AB上方作等边△ABD，以BC为边在BC右侧作等边△CBE，连结DE．
（1）当AC＝5时，求BE的长．
（2）求证：BD⊥DE．
（3）如图2，点C′与点C关于直线AD对称，连结C′E．
①求C′E的长．
②连结C′D，当△C′DE是以C′E为腰的等腰三角形时，写出所有满足条件的AC长： 4或4 ．（直接写出答案）
【分析】（1）证明△BAC≌△BDE（SAS），利用全等三角形的性质求解即可；
（2）证明△BAC≌△BDE（SAS），利用全等三角形的性质可得∠BAC＝∠BDE＝90°，即可得出结论；
（3）①连接AC′，由（2）知△BAC≌△BDE（SAS），可得AC＝DE，∠BAC＝∠BDE＝90°，则∠ADE＝60°+90°＝150°，求出∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°，根据对称的性质得∠DAC′＝∠DAC＝30°，AC＝DE＝AC′，得出∠ADE+∠DAC′＝180°，可得DE∥AC′，可得四边形AC′ED是平行四边形，即可得C′E＝AD＝AB＝4；
②分两种情况：C′E＝DE时，C′E＝C′D时，根据等腰三角形的性质即可求解．
解：（1）∵△ABD，△CBE都是等边三角形，
∴∠ABD＝∠CBE＝60°，AB＝DB，BC＝BE，
∴∠ABC+∠CBD＝∠DBE+∠CBD，
∴∠ABC＝∠DBE，
∴△BAC≌△BDE（SAS），
∴∠BAC＝∠BDE＝90°，BE＝BC．
在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝5，
∴BC＝＝＝，
∴BE＝；
（2）证明：∵△ABD，△CBE都是等边三角形，
∴∠ABD＝∠CBE＝60°，AB＝DB，BC＝BE，
∴∠ABC+∠CBD＝∠DBE+∠CBD，
∴∠ABC＝∠DBE，
∴△BAC≌△BDE（SAS），
∴∠BAC＝∠BDE＝90°，
∴BD⊥DE；
（3）①连接AC′，
由（2）知△BAC≌△BDE（SAS），
∴AC＝DE，∠BAC＝∠BDE＝90°，
∴∠ADE＝60°+90°＝150°，
∵∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°，
由对称的性质得∠DAC′＝∠DAC＝30°，AC＝DE＝AC′，
∴∠ADE+∠DAC′＝180°，
∴DE∥AC′，
∴四边形AC′ED是平行四边形，
∴C′E＝AD＝AB＝4；
②分两种情况：
C′E＝DE时，
∵C′E＝4，四边形AC′ED是平行四边形，
∴C′E＝DE＝AC′＝4，
由对称的性质得AC＝AC′＝4，
C′E＝C′D时，作C′F⊥DE于F，
∵C′E＝C′D，C′F⊥DE，
∴DF＝EF，∠C′FE＝90°，
∵四边形AC′ED是平行四边形，
∴∠C′EF＝∠DAC′＝30°，
∴C′F＝C′E＝2，EF＝DF＝2，
∴DE＝AC′＝AC＝4，
综上，AC长为4或4．
故答案为：4或4．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，对称的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，注意分类讨论思想的运用．
2021-2022学年浙江省温州市鹿城区八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．下列在线学习平台的图标中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，则∠C为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
3．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3cm，5cm，7cm B．3cm，3cm，7cm
C．4cm，4cm，8cm D．4cm，5cm，9cm
4．下列选项中，可以用来证明命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题的反例是（ ）
A．a＝﹣2，b＝1 B．a＝2，b＝3 C．a＝3，b＝﹣2 D．a＝2，b＝﹣3
5．在数轴上表示不等式﹣1＜x⩽2，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．若a＜b，则下列式子正确的是（ ）
A．＞ B．﹣3a＜﹣3b C．3a＞3b D．a﹣3＜b﹣3
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB，BC，AC为边向外作三个正方形，已知其中两个正方形面积分别为25，169，则正方形M的面积为（ ）
A．100 B．144 C．154 D．194
8．一副三角板摆放如图所示，斜边FD与直角边AC相交于点E，点D在直角边BC上，且FD∥AB，∠B＝30°，则∠ADB的度数是（ ）
A．95° B．105° C．115° D．125°
9．如图，在△ABC中，点D在BC边上，点B关于直线AD的对称点B′落在AC的延长线上，若BC垂直平分AB′，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
10．如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的高线，E是边AC上一点，分别作EF⊥AD于点F，EG⊥BC于点G，几何原本中曾用该图证明了BG2+CG2＝2（BD2+DG2），若△ABD与△AEF的面积和为8.5，BG＝5，则CG的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）
11．命题：“如果|a|＝|b|，那么a＝b”的逆命题是： （填“真命题”或“假命题”）．
12．“x的2倍比y小”用不等式表示为 ．
13．如图，点E，F在AC上，AD＝BC，DF＝BE，要使△ADF≌△CBE，需添加一个条件是 ．（只需添加一个条件即可）
14．等腰三角形的一个外角度数为70°，则其顶角的度数是 ．
15．若x＜y，且（6﹣a）x＞（6﹣a）y，则a的取值范围是 ．
16．如图，点D在△ABC内，∠BDC＝90°，AB＝3，AC＝BD＝2，CD＝1，则图中阴影部分的面积为 ．
17．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，利用尺规在AC，AB上分别截取AD，AE，使AD＝AE，分别以D，E为圆心，以大于DE为长的半径作弧，两弧在∠BAC内交于点F，作射线AF交边BC于点G，点P为边AB上的一动点，则GP的最小值为 ．
18．如图，△ABC中，AB＝AC＝5，在BA延长线上取一点D，使AD＝7，连结CD，点E为AC边上一点，当∠AEB＝∠D时，△BCD的面积是△BCE的面积的6倍，则AE＝ ，△BCD的面积为 ．
三、解答题（本题有6小题，共46分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
19．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD为BC边上的高线，求AD的长．
20．如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AC＝EF，AD＝BE，BC＝DF，BC与DF交于点O．
（1）求证：△ABC≌△EDF．
（2）若∠CBE＝125°，求∠BOD的度数．
21．如图，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，分别按下列要求画三角形，使它的顶点在格点上．
（1）在图1中画一个等腰三角形，使它的底边长为有理数．
（2）在图2中画一个直角三角形，使它的三边长都为无理数．
22．某商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案可供选择．
方案一：每台按售价的九折销售；
方案二：若购买不超过5台，每台按售价销售；若超过5台，超过的部分每台按售价的八折销售．
已知A型号笔记本电脑的原售价是5000元/台，某公司一次性从该商店购买A型号笔记本电脑x台．
（1）若方案二比方案一更便宜，根据题意列出关于x的不等式．
（2）若公司买12台笔记本，你会选择哪个方案？请说明理由．
23．数学老师在课上呈现一个几何图形，如图，∠1＝∠2，AB⊥CD于点E，过点E作一条直线分别交线段BC，AD于点F，G．同学们根据图形进行大胆猜想．小方说：当∠3＝∠1＝50°时，可求得∠CFE的度数．小何说：当BF＝CF时，可证得EG⊥AD．
（1）依据小方说的条件，你求得∠CFE＝ ．（直接写出答案）
（2）依据小何说的条件，请你判断他的结论是否正确，并说明理由．
24．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，以AB为边在AB上方作等边△ABD，以BC为边在BC右侧作等边△CBE，连结DE．
（1）当AC＝5时，求BE的长．
（2）求证：BD⊥DE．
（3）如图2，点C′与点C关于直线AD对称，连结C′E．
①求C′E的长．
②连结C′D，当△C′DE是以C′E为腰的等腰三角形时，写出所有满足条件的AC长： ．（直接写出答案）
参考答案
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．下列在线学习平台的图标中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形定义进行分析即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
解：选项A，C，D都不能找到这样的一条直线，使这些图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项B能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，则∠C为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】根据三角形的面积和定理即可得到结论．
解：∵∠A＝30°，∠B＝90°，
∴∠C＝90°﹣30°＝60°，
故选：D．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
3．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3cm，5cm，7cm B．3cm，3cm，7cm
C．4cm，4cm，8cm D．4cm，5cm，9cm
【分析】直接利用三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，进而判断得出答案．
解：A．∵3+5＝8＞7，
∴能组成三角形，符合题意；
B．∵3+3＜7，
∴不能组成三角形，不符合题意；
C．∵4+4＝8，
∴不能组成三角形，不符合题意；
D．∵4+5＝9，
∴不能组成三角形，不符合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
4．下列选项中，可以用来证明命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题的反例是（ ）
A．a＝﹣2，b＝1 B．a＝2，b＝3 C．a＝3，b＝﹣2 D．a＝2，b＝﹣3
【分析】据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．
解：∵当a＝2，b＝﹣3时，（﹣3）2＞22，但是﹣3＜2，
∴a＝2，b＝﹣3是假命题的反例．
故选：D．
【点评】此题考查的是命题与定理，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可这是数学中常用的一种方法．
5．在数轴上表示不等式﹣1＜x⩽2，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】不等式﹣1＜x≤2在数轴上表示不等式x＞﹣1与x≤2两个不等式的公共部分．
解：“＞”空心圆圈向右画折线，“≤”实心圆点向左画折线．
故在数轴上表示不等式﹣1＜x⩽2如下：
故选：A．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
6．若a＜b，则下列式子正确的是（ ）
A．＞ B．﹣3a＜﹣3b C．3a＞3b D．a﹣3＜b﹣3
【分析】根据不等式的基本性质判断即可．
解：A选项，∵a＜b，
∴＜，故该选项不符合题意；
B选项，∵a＜b，
∴﹣3a＞﹣3b，故该选项不符合题意；
C选项，∵a＜b，
∴3a＜3b，故该选项不符合题意；
D选项，∵a＜b，
∴a﹣3＜b﹣3，故该选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，掌握①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或代数式，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB，BC，AC为边向外作三个正方形，已知其中两个正方形面积分别为25，169，则正方形M的面积为（ ）
A．100 B．144 C．154 D．194
【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式即可得到结论．
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AC2＝AB2﹣BC2＝169﹣25＝144，
∴正方形M的面积为144，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理，正方形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
8．一副三角板摆放如图所示，斜边FD与直角边AC相交于点E，点D在直角边BC上，且FD∥AB，∠B＝30°，则∠ADB的度数是（ ）
A．95° B．105° C．115° D．125°
【分析】由题意可知∠ADF＝45°，则由平行线的性质可得∠B+∠BDF＝180°，求得∠BDF＝150°，从而可求∠ADB的度数．
解：由题意得∠ADF＝45°，
∵FD∥AB，∠B＝30°，
∴∠B+∠BDF＝180°，
∴∠BDF＝180°﹣∠B＝150°，
∴∠ADB＝∠BDF﹣∠ADF＝105°．
故选：B．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．
9．如图，在△ABC中，点D在BC边上，点B关于直线AD的对称点B′落在AC的延长线上，若BC垂直平分AB′，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
【分析】证明∠ACB＝90°，∠B＝∠DAB＝∠DAC＝30°，可得结论．
解：∵点B关于直线AD的对称点B′落在AC的延长线上，
∴DB＝DB′，∠B＝∠B′，∠DAB＝∠DAC，
∵BC垂直平分AB′，
∴DA＝DB′，∠ACB＝90°，
∴∠B′＝∠DAC＝∠DAB＝∠B，
∵∠B+∠CAB＝90°，
∴∠B＝∠DAB＝∠DAC＝30°，
∴AD＝DB＝2CD，
∴＝2，
故选：D．
【点评】本题考查轴对称的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是证明∠ACB＝90°，∠B＝30°．
10．如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的高线，E是边AC上一点，分别作EF⊥AD于点F，EG⊥BC于点G，几何原本中曾用该图证明了BG2+CG2＝2（BD2+DG2），若△ABD与△AEF的面积和为8.5，BG＝5，则CG的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【分析】由S△AEF+S△ABD＝8.5，得BD2+DG2＝17，从而有BG2+CG2＝34，即可得出答案．
解：由题意知：△ABD，△AEF都是等腰直角三角形，
∴S△AEF＝，S，
∵S△AEF+S△ABD＝8.5，
∴BD2+DG2＝17，
∵BG2+CG2＝2（BD2+DG2），
∴BG2+CG2＝34，
∵BG＝5，
∴CG＝＝3，
故选：C．
【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，根据三角形的面积求出BD2+DG2＝17是解题的关键．
二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）
11．命题：“如果|a|＝|b|，那么a＝b”的逆命题是： 真命题 （填“真命题”或“假命题”）．
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，可得答案．
解：“如果|a|＝|b|，那么a＝b”的逆命题是“如果a＝b，那么|a|＝|b|”，为真命题，
故答案为：真命题．
【点评】本题考查了命题与定理，主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
12．“x的2倍比y小”用不等式表示为 2x＜y ．
【分析】x的2倍即为2x，小即“＜”，据此列不等式．
解：由题意得，2x＜y．
故答案为：2x＜y．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系是关键．
13．如图，点E，F在AC上，AD＝BC，DF＝BE，要使△ADF≌△CBE，需添加一个条件是 ∠D＝∠B ．（只需添加一个条件即可）
【分析】利用全等三角形的判定与性质进而得出当∠D＝∠B时，△ADF≌△CBE．
解：当∠D＝∠B时，
在△ADF和△CBE中
∵，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
故答案为：∠D＝∠B．（答案不唯一）
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
14．等腰三角形的一个外角度数为70°，则其顶角的度数是 110° ．
【分析】三角形内角与相邻的外角和为180°，三角形内角和为180°，等腰三角形两底角相等，110°只可能是顶角．
解：等腰三角形一个外角为70°，那相邻的内角为110°，
三角形内角和为180°，如果这个内角为底角，内角和将超过180°，
所以110°只可能是顶角．
故答案为：110°．
【点评】本题主要考查三角形外角性质、等腰三角形性质及三角形内角和定理；判断出70°的外角只能是顶角的外角是正确解答本题的关键．
15．若x＜y，且（6﹣a）x＞（6﹣a）y，则a的取值范围是 a＞6 ．
【分析】根据不等式的基本性质，发现不等式的两边都乘（6﹣a）后，不等号的方向改变了，说明（6﹣a）是负数，从而得出答案．
解：根据题意得：6﹣a＜0，
∴a＞6，
故答案为：a＞6．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，掌握①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或代数式，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
16．如图，点D在△ABC内，∠BDC＝90°，AB＝3，AC＝BD＝2，CD＝1，则图中阴影部分的面积为 ﹣1 ．
【分析】根据勾股定理和∠BDC＝90°，BD＝2，CD＝1，可以先求出BC的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断△ABC的形状，从而可以求出阴影部分的面积．
解：∵∠BDC＝90°，BD＝2，CD＝1，
∴BC＝＝＝，
∵AB＝3，AC＝2，
∴AC2+BC2＝22+（）2＝4+5＝9＝32＝AB2，
∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴S阴影＝S△ACB﹣S△BDC＝＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是求出BC的长．
17．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，利用尺规在AC，AB上分别截取AD，AE，使AD＝AE，分别以D，E为圆心，以大于DE为长的半径作弧，两弧在∠BAC内交于点F，作射线AF交边BC于点G，点P为边AB上的一动点，则GP的最小值为 ．
【分析】根据基本作图得到AG平分∠BAC，过G点作GH⊥AB于H，如图，则根据角平分线的性质得到GH＝GC，利用勾股定理计算出AB＝10，再利用面积法求出GH，然后根据垂线段最短解决问题．
解：由作法得AG平分∠BAC，
过G点作GH⊥AB于H，如图，则
而GC⊥AC，
∴GH＝GC，
∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝10，
∵GH•AB+GC•AC＝AC•BC，
∴5GH+4GH＝24，
∴GH＝，
∵点P为边AB上的一动点，
∴GP的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作已知角的角平分线）．也考查了角平分线的性质和垂线段最短．
18．如图，△ABC中，AB＝AC＝5，在BA延长线上取一点D，使AD＝7，连结CD，点E为AC边上一点，当∠AEB＝∠D时，△BCD的面积是△BCE的面积的6倍，则AE＝ 3 ，△BCD的面积为 6 ．
【分析】过点B作BH⊥CA交CA的延长线于点H，过点C作CG⊥AD于点G，在线段DG上截取GF＝GA，连接CF，则CG是AF的垂直平分线，证明△CFD≌△BAE，可得FD＝AE，根据△BCD的面积是△BCE的面积的6倍，可得CG＝S△BCE，AE＝CE，进而可得AE的长；再利用勾股定理求出CG，进而可得△BCD的面积．
解：如图，过点B作BH⊥CA交CA的延长线于点H，过点C作CG⊥AD于点G，在线段DG上截取GF＝GA，连接CF，
则CG是AF的垂直平分线，
∴CA＝CF，
∴∠CAF＝∠CFA，
∴180°﹣∠CAF＝180°﹣∠CFA，
∴∠CAB＝∠CFD，
∵AB＝AC＝5，
∴CF＝AB＝AC＝5，
在△CFD和△BAE中，
，
∴△CFD≌△BAE（AAS），
∴FD＝AE，
∵AB＝5，AD＝7，
∴BD＝AB+AD＝12，
∴S△BCD＝BD•CG＝12CG＝6CG，
∵S△BCD＝6S△BCE，
∴6CG＝6S△BCE，
∴CG＝S△BCE，
∵S△ABC＝BA•CG＝5CG＝CG，
∴S△ABC＝S△BCE，
∴S△ABE＝S△ABC﹣S△BCE＝S△BCE﹣S△BCE＝S△BCE，
∵S△ABE＝AE•BH，S△BCE＝CE•BH，
∴AE•BH＝×CE•BH，
∴AE＝CE，
∴＝，
∴AE＝AC＝×5＝3，
∴FD＝AE＝3，
∴AF＝AD﹣FD＝7﹣3＝4，
∴AG＝FG＝AF＝2，
∵CG⊥AG，
∴∠AGC＝90°，
在Rt△ACG中，∠AGC＝90°，AC＝5，AG＝2，
∴CG＝＝＝，
∵BD＝12，
∴S△BCD＝BD•CG＝12×＝6．
综上所述：AE＝3，△BCD的面积为6．
故答案为：3；6．
【点评】本题属于三角形的综合题，是中考填空题的压轴题，考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形面积公式，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
三、解答题（本题有6小题，共46分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
19．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD为BC边上的高线，求AD的长．
【分析】根据等腰三角形的三线合一求出BD，根据勾股定理计算，得到答案．
解：∵AB＝AC，BC＝6，AD⊥BC，
∴BD＝DC＝BC＝3，∠ADB＝90°，
由勾股定理得：AD＝＝＝4．
【点评】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
20．如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AC＝EF，AD＝BE，BC＝DF，BC与DF交于点O．
（1）求证：△ABC≌△EDF．
（2）若∠CBE＝125°，求∠BOD的度数．
【分析】（1）由AD＝BE可求得AB＝ED，利用SSS可证得：△ABC≌△EDF；
（2）由邻补角可求得∠ABC＝55°，结合（1）可求∠EDF＝55°，利用三角形的内角和可求解．
【解答】（1）证明：∵AD＝BE，
∴AD+BD＝BE+BD，
即AB＝ED，
在△ABC与△EDF中，
，
∴△ABC≌△EDF（SSS）；
（2）解：∵∠CBE＝125°，
∴∠ABC＝180°﹣∠CBE＝55°，
∵△ABC≌△EDF，
∴∠EDF＝∠ABC＝55°，
∴∠BOD＝180°﹣∠EDF﹣∠ABC＝70°．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是对全等三角形的判定条件的掌握与应用．
21．如图，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，分别按下列要求画三角形，使它的顶点在格点上．
（1）在图1中画一个等腰三角形，使它的底边长为有理数．
（2）在图2中画一个直角三角形，使它的三边长都为无理数．
【分析】（1）利用数形结合的思想根据要求作出三角形即可；
（2）利用数形结合的思想根据要求作出三角形即可．
解：（1）如图1中，△ABC即为所求（答案不唯一）；
（2）如图2中，△DEF即为所求（答案不唯一）．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，无理数，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
22．某商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案可供选择．
方案一：每台按售价的九折销售；
方案二：若购买不超过5台，每台按售价销售；若超过5台，超过的部分每台按售价的八折销售．
已知A型号笔记本电脑的原售价是5000元/台，某公司一次性从该商店购买A型号笔记本电脑x台．
（1）若方案二比方案一更便宜，根据题意列出关于x的不等式．
（2）若公司买12台笔记本，你会选择哪个方案？请说明理由．
【分析】（1）根据方案二比方案一更便宜，根据题意列出关于x的不等式即可；
（2）根据公司买12台笔记本，列式计算即可得到结论．
解：（1）根据题意得，5000×5+5000×80%（x﹣5）＜5000×90%x；
（2）选择方案二，
理由：方案一：5000×12×90%＝54000（元），
方案二：5000×5+5000×80%×（12﹣5）＝53000（元），
∵54000＞53000，
∴选择方案二．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，解题的关键是：（1）找准不等量关系，正确列出一元一次不等式；（2）根据优惠方案，列式计算．
23．数学老师在课上呈现一个几何图形，如图，∠1＝∠2，AB⊥CD于点E，过点E作一条直线分别交线段BC，AD于点F，G．同学们根据图形进行大胆猜想．小方说：当∠3＝∠1＝50°时，可求得∠CFE的度数．小何说：当BF＝CF时，可证得EG⊥AD．
（1）依据小方说的条件，你求得∠CFE＝ 100° ．（直接写出答案）
（2）依据小何说的条件，请你判断他的结论是否正确，并说明理由．
【分析】（1）由已知得∠2＝50°，再由对顶角相等得∠BEF＝∠3＝50°，然后由三角形的外角性质即可求得∠CFE的度数；
（2）由直角三角形斜边上的中线性质得EF＝BC＝BF，则∠BEF＝∠2，再证∠1＝∠3，然后证∠1+∠DEG＝90°，则∠DGE＝90°，即可得出结论．
解：（1）∵AB⊥CD，
∴∠BEC＝90°，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠1＝50°，
∴∠2＝50°，∠BEF＝∠3＝50°，
∴∠CFE＝∠2+∠BEF＝50°+50°＝100°，
故答案为：100°；
（2）小何的判断正确，理由如下：
∵AB⊥CD，
∴∠AED＝∠BEC＝90°，BF＝CF，
∴EF＝BC＝BF，
∴∠BEF＝∠2，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠BEF，
∴∠1＝∠3，
∵∠3+∠DEG＝90°，
∴∠1+∠DEG＝90°，
∴∠DGE＝90°，
∴EG⊥AD．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
24．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，以AB为边在AB上方作等边△ABD，以BC为边在BC右侧作等边△CBE，连结DE．
（1）当AC＝5时，求BE的长．
（2）求证：BD⊥DE．
（3）如图2，点C′与点C关于直线AD对称，连结C′E．
①求C′E的长．
②连结C′D，当△C′DE是以C′E为腰的等腰三角形时，写出所有满足条件的AC长： 4或4 ．（直接写出答案）
【分析】（1）证明△BAC≌△BDE（SAS），利用全等三角形的性质求解即可；
（2）证明△BAC≌△BDE（SAS），利用全等三角形的性质可得∠BAC＝∠BDE＝90°，即可得出结论；
（3）①连接AC′，由（2）知△BAC≌△BDE（SAS），可得AC＝DE，∠BAC＝∠BDE＝90°，则∠ADE＝60°+90°＝150°，求出∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°，根据对称的性质得∠DAC′＝∠DAC＝30°，AC＝DE＝AC′，得出∠ADE+∠DAC′＝180°，可得DE∥AC′，可得四边形AC′ED是平行四边形，即可得C′E＝AD＝AB＝4；
②分两种情况：C′E＝DE时，C′E＝C′D时，根据等腰三角形的性质即可求解．
解：（1）∵△ABD，△CBE都是等边三角形，
∴∠ABD＝∠CBE＝60°，AB＝DB，BC＝BE，
∴∠ABC+∠CBD＝∠DBE+∠CBD，
∴∠ABC＝∠DBE，
∴△BAC≌△BDE（SAS），
∴∠BAC＝∠BDE＝90°，BE＝BC．
在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝5，
∴BC＝＝＝，
∴BE＝；
（2）证明：∵△ABD，△CBE都是等边三角形，
∴∠ABD＝∠CBE＝60°，AB＝DB，BC＝BE，
∴∠ABC+∠CBD＝∠DBE+∠CBD，
∴∠ABC＝∠DBE，
∴△BAC≌△BDE（SAS），
∴∠BAC＝∠BDE＝90°，
∴BD⊥DE；
（3）①连接AC′，
由（2）知△BAC≌△BDE（SAS），
∴AC＝DE，∠BAC＝∠BDE＝90°，
∴∠ADE＝60°+90°＝150°，
∵∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°，
由对称的性质得∠DAC′＝∠DAC＝30°，AC＝DE＝AC′，
∴∠ADE+∠DAC′＝180°，
∴DE∥AC′，
∴四边形AC′ED是平行四边形，
∴C′E＝AD＝AB＝4；
②分两种情况：
C′E＝DE时，
∵C′E＝4，四边形AC′ED是平行四边形，
∴C′E＝DE＝AC′＝4，
由对称的性质得AC＝AC′＝4，
C′E＝C′D时，作C′F⊥DE于F，
∵C′E＝C′D，C′F⊥DE，
∴DF＝EF，∠C′FE＝90°，
∵四边形AC′ED是平行四边形，
∴∠C′EF＝∠DAC′＝30°，
∴C′F＝C′E＝2，EF＝DF＝2，
∴DE＝AC′＝AC＝4，
综上，AC长为4或4．
故答案为：4或4．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，对称的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，注意分类讨论思想的运用．
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