2019-2020学年浙江省温州市鹿城区第三中学九上期中数学试卷

这是一份2019-2020学年浙江省温州市鹿城区第三中学九上期中数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列事件中，属于必然事件的是
A. 2020 年的元旦是晴天
B. 太阳从东边升起
C. 打开电视正在播放新闻联播
D. 在一个没有红球的盒子里，摸到红球

2. 抛物线 y=3x−42+2 的顶点是
A. 2,4B. 2,−4C. 4,2D. −4,2

3. 若 ⊙O 的半径是 4 cm，点 A 在 ⊙O 内，则 OA 的长可能是
A. 4 cmB. 6 cmC. 3 cmD. 10 cm

4. 如图，点 A，B，C 在 ⊙O 上，∠AOB=40∘，则 ∠ACB 的度数是
A. 10∘B. 20∘C. 30∘D. 40∘

5. 如果将抛物线 y=x2 向左平移 1 个单位，那么所得新抛物线的表达式是
A. y=x2+1B. y=x2−1C. y=x+12D. y=x−12

6. 圆心角为 120∘，弧长为 12π 的扇形半径为
A. 6B. 9C. 18D. 36

7. 若一个正多边形的每个内角为 150∘，则这个正多边形的边数是
A. 12B. 11C. 10D. 9

8. 教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现某次铅球行进高度 ym 与水平距离 xm 之间的关系为 y=−112x−42+3，由此可知小明这次的推铅球成绩是
A. 3 cmB. 4 cmC. 8 cmD. 10 cm

9. 在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象如图所示，
① abc<0；
② b−2a=0；
③ a+b+c<0；
④ 4a+c<2b；
⑤ am2+bm+c≥a−b+c，
上述给出的五个结论中，正确的结论有
A. 5 个B. 4 个C. 3 个D. 2 个

10. 如图，△ABC 内接于 ⊙O，BC=6，AC=2，∠A−∠B=90∘，则 ⊙O 的面积为
A. 9.6πB. 10πC. 10.8πD. 12π

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 有 5 个杯子，其中 2 个是一等品，2 个是二等品，其余是三等品，任意取一个杯子是一等品的概率是 ．

12. 如图，四边形 ABCD 为 ⊙O 的内接四边形，已知 ∠BCD=110∘，则 ∠BAD= 度．

13. 如图，已知直线 y=−2x+1 与抛物线 y=x2−2x+c 的一个交点为点 A，作点 A 关于抛物线对称轴的对称点 Aʹ，当 Aʹ 刚好落在 y 轴上时，c 的值为 ．

14. 在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图，油面宽 AB 为 4 分米，如果再注入一些油后，油面 AB 上升 1 分米，油面宽变为 6 分米，圈柱形油槽的直径 MN 为 ．

15. 如图，AB 是半圆 O 的直径，弦 AC=4，∠CAB=60∘，点 D 是弧 BC 上的一个动点，作 CG⊥AD，连接 BG，在点 D 移动的过程中，BG 的最小值是 ．

16. 如图，抛物线 y1 的顶点在 y 轴上，y2 由 y1 平移得到，它们与 x 轴的交点为 A，B，C，且 2BC=3AB=4OD=6，若过原点的直线被抛物线 y1，y2 所截得的线段长相等，则这条直线的解析式为 ．

三、解答题（共8小题；共104分）
17. 如图，在边长为 1 的正方形组成的网格中，△AOB 的顶点均在格点上，其中点 A5,4，B1,3，将 △AOB 绕点 O 逆时针旋转 90∘ 后得到 △A1OB1．
（1）画出 △A1OB1；
（2）在旋转过程中线段 OB 扫过的图形的面积为 ．

18. 一个不透明的袋子中有 1 个红球，1 个绿球和 n 个白球，这些球除颜色外无其他差别．
（1）从袋中随机摸出一个球，记录其颜色，然后放回．大量重复该实验，发现摸到绿球的频率稳定于 0.25，求 n 的值；
（2）在该不透明袋子中同时摸出两个球，求摸出的两个球颜色不同的概率．（要求列表或画树状图）

19. 已知二次函数 y=x2−2m−1x+m2−m（m 是常数）．
（1）当 m=2 时，求二次函数图象与 x 轴的交点；
（2）若 An−3,n2+2，B−n+1,n2+2 是该二次函数图象上的两个不同点，求 m 的值和二次函数解析式．

20. 如图所示，已知 AB 为 ⊙O 的直径，CD 是弦，且 AB⊥CD 于点 E，连接 AC，OC，BC．
（1）求证：∠ACO=∠BCD；
（2）若 EB=8 cm，CD=24 cm，求 ⊙O 的直径．

21. 如图，已知直线 y=−2x+3 与抛物线 y=x2 相交于 A，B 两点，O 为坐标原点．
（1）求点 A 和 B 的坐标；
（2）连接 OA，OB，求 △OAB 的面积．

22. 已知在 △ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的 ⊙O 分别交 AC 于 D，BC 于 E，连接 ED．
（1）求证：ED=EC；
（2）若 CD=3，EC=23，求 AB 的长．

23. 国庆期间某旅游点一家商铺销售一批成本为每件 50 元的商品，规定销售单价不低于成本价，又不高于每件 70 元，销售量 y（件）与销售单价 x（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）．
（1）请直接写出 y 关于 x 之间的关系式 ；
（2）设该商铺销售这批商品获得的总利润（总利润 = 总销售额 − 总成本）为 P 元，求 P 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；根据题意判断：当 x 取何值时，P 的值最大?最大值是多少?
（3）若该商铺要保证销售这批商品的利润不能低于 400 元，求销售单价 x（元）的取值范围是 ．（可借助二次函数的图象直接写出答案）

24. 如图，二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，B 点坐标为 4,0，与 y 轴交于点 C0,4．点 D 为抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式及 A 点坐标；
（2）若 △BCD 是以 BC 为直角边的直角三角形时，求点 D 的坐标；
（3）若 △BCD 是锐角三角形，请直接写出点 D 的横坐标 m 的取值范围 ．
答案
第一部分
1. B【解析】A．2020 年的元旦是晴天，是随机事件；
B．太阳从东边升起，一定会发生，是必然事件；
C．打开电视正在播放新闻联播，是随机事件；
D．在一个没有红球的盒子里，摸到红球，是不可能事件．
2. C【解析】抛物线 y=3x−42+2 为顶点式，顶点坐标为 4,2．
3. C【解析】当点 A 是 ⊙O 内一点时，OA<4 cm，A，B，D均不符．故选C．
4. B【解析】∵∠AOB 是 AB 所对的圆心角，∠ACB 是 AB 所对的圆周角，
∴∠ACB=12∠AOB=20∘．
5. C
【解析】∵ 抛物线 y=x2 向左平移 1 个单位后，所得新抛物线的表达式为 y=x+12．
6. C【解析】设该扇形的半径是 r，
∵n=120∘，l=12π，
∴12π=120πr180⇒r=18．
7. A【解析】∵ 一个正多边形的每个内角为 150∘，
∴ 这个正多边形的每个外角 =180∘−150∘=30∘，
∴ 这个正多边形的边数 =360∘30∘=12．
8. D【解析】由题意得，当 y=0 时，−112x−42+3=0，
解得：x1=10，x2=−2（舍去）．
9. B【解析】①抛物线开口向上，a>0，对称轴在 y 轴左侧，
根据“左同右异”可知 b>0，抛物线与 y 轴交于负半轴，
∴c<0，
∴abc<0，故①正确；
②由图象可知，x=−b2a=−1，
所以 b=2a，即 b−2a=0，故②正确；
③由图象可得当 x=1 时，y=a+b+c>0，故③错误；
④ ∵ 抛物线对称轴 x=−1，当 x=0 时，y<0，
∴ 当 x=−2 时，y=4a−2b+c<0，
∴4a+c<2b，故④正确；
⑤由图象可知，当 x=−1 时，y=a−b+c 为最小值，当 x=m 时，y=am2+bm+c，
∴am2+bm+c≥a−b+c，故⑤正确；
∴ ①②④⑤正确，故选B．
10. B
【解析】如图所示，过点 B 作圆的直径 BE 交圆于点 E，
则 ∠ECB=90∘，
∴∠E+∠EBC=90∘，
∵ 圆的内接四边形对角互补，
∴∠E+∠A=180∘, ⋯⋯①
∵∠A−∠ABC=90∘, ⋯⋯②
①−② 可得：∠E+∠ABC=90∘，
∴∠ABC=∠EBC，
∴AC=CE，
∴CE=AC=2，
在 Rt△BCE 中，由勾股定理得，BE=BC2+CE2=62+22=210，
∴⊙O 的半径为 r=12BE=10，
∴ 圆的面积 =πr2=π⋅102=10π．
第二部分
11. 25
【解析】∵ 有 5 个杯子，其中 2 个是一等品，2 个是二等品，其余是三等品，
∴ 任意取一个杯子是一等品的概率是 2÷5=25．
12. 70
【解析】∵ 四边形 ABCD 为 ⊙O 的内接四边形，
∴∠BCD+∠BAD=180∘（圆内接四边形的对角互补）；
又 ∵∠BCD=110∘，
∴∠BAD=70∘．
13. −3
【解析】抛物线 y=x2−2x+c 的对称轴为 x=−b2a=−−22×1=1，
∵A 关于抛物线对称轴的对称点 Aʹ 在 y 轴上，
∴A 的横坐标为 2，
∵A 点在直线上，
∴ 将 x=2 代入 y=−2x+1 得，y=−2×2+1=−3，
∴A 点坐标为 2,−3，
∵A 点在抛物线上，
∴ 将 A2,−3 代入 y=x2−2x+c 得，−3=22−2×2+c，
解得 c=−3．
14. 213
【解析】如图，CD=6，AB=4，过圆心 O 作 OE⊥AB 于 E，交 CD 于 F，
则 OF⊥CD，
∴AE=12AB=2，CF=12CD=3，EF=1，
设 OE=x 分米，则 OF=x−1 分米，
由勾股定理得，OA2=AE2+OE2=22+x2，OC2=CF2+OF2=32+x−12，
∵OA=OC，
∴OA2=OC2，
∴22+x2=32+x−12，
解得 x=3，
∴OA2=22+32=13，
∴OA=13，
∴ 圆柱形油槽的直径 MN 为 213 分米．
15. 213−2
【解析】以 AC 为直径作圆 Oʹ，连接 BOʹ，BC，如下图所示，
∵CG⊥AD，
∴∠AGC=90∘，
∴ 在点 D 移动的过程中，点 G 在以 AC 为直径的圆上运动，
∵AB 是圆 O 的直径，
∴∠ACB=90∘，
在 Rt△ABC 中，AC=4，∠CAB=60∘，
∴BC=AC⋅tan60∘=43，
在 Rt△BCOʹ 中，COʹ=GOʹ=12AC=2，
∴BOʹ=OCʹ2+BC2=22+432=213，
∵BG+GOʹ≥BOʹ，
∴ 当 Oʹ，G，B 三点共线时 BG 的值最小，最小值 BG=BOʹ−GOʹ=213−2．
16. y=34x
【解析】∵2BC=3AB=4OD=6，
∴BC=3，AB=2，OD=32，
∴A−1,0，B1,0，C4,0，D0,32，
将 A−1,0，B1,0，D0,32 代入 y1=ax2+bx+c 得 a−b+c=0,a+b+c=0,c=32,
解得 a=−32,b=0,c=32,
∴y1=−32x2+32, ⋯⋯①
∵y2 是由 y1 平移得到，
∴ 设 y2=−32x2+bx+c，
将 B1,0，C4,0 代入 y2=−32x2+bx+c 得 −32+b+c=0,−32×42+4b+c=0,
解得 b=152,c=−6,
∴y2=−32x2+152x−6, ⋯⋯②
设过原点的直线解析式为 y=kx, ⋯⋯③
与 y1 交于 F，G，与 y2 交于 H，K，如下图所示，
联立 ①，③ 得：−32x2+32=kx，
整理得 3x2+2kx−3=0，
∴x1+x2=−2k3，x1⋅x2=−1，
∴F，G 两点横坐标之差为 x1−x2=x1+x22−4x1⋅x2=49k2+4，
联立 ①，② 得：−32x2+152x−6=kx，
整理得 3x2+2k−15x+12=0，
∴x1+x2=−2k−153，x1⋅x2=4，
∴H，K 两点横坐标之差为 x1−x2=x1+x22−4x1⋅x2=−2k−1532−16，
∵FG=HK，
∴49k2+4=−2k−1532−16，
解得 k=34，故直线解析式为 y=34x．
第三部分
17. （1） 如图所示，△A1OB1 即为所求．
（2） 2.5π．
【解析】由勾股定理得 OB=12+32=10，
线段 OB 扫过的图形为扇形 BOB1，圆心角为 90∘，半径为 10，
∴ 扇形 BOB1 的面积 =90×π×102360=2.5π．
18. （1） ∵ 摸到绿球的概率为 0.25，
∴11+1+n=0.25，解得 n=2，
故 n 的值为 2．
（2） 画树状图如下：
共有 12 种可能的结果数，其中摸出两个球的颜色不同的结果共有 10 种，
∴ 摸出的两个球颜色不同的概率 1012=56．
19. （1） 当 m=2 时，y=x2−3x+2，
令 y=0，得 x2−3x+2=0，
解得：x1=1，x2=2，
∴ 交点是 1,0 和 2,0．
（2） ∵An−3,n2+2，B−n+1,n2+2 是该二次函数图象上的两个不同点，
∴ 抛物线的对称轴是：x=n−3−n+12=−1，
∴−−2m−12×1=−1，m=−12，
将 m=−12 代入 y=x2−2m−1x+m2−m，得 y=x2−2×−12−1x+−122−−12=x2+2x+34，
∴ 二次函数解析式为：y=x2+2x+34．
20. （1） ∵AB 为 ⊙O 的直径，AB⊥CD，CD 是弦，
由垂径定理可知 BC=BD，
∴ 两弧所对的圆周角也相等，即 ∠CAB=∠BCD，
∵△OCA 中，OC=OA（半径相等），
∠CAB=∠ACO（等边对等角），
∴∠ACO=∠BCD．
（2） 由垂径定理，直径 AB 平分弦 CD，
故 CE=ED=12 cm，
在 Rt△OCE 中，OE2+EC2=OC2，
又 ∵OE=R−EB=R−8，CE=12，OC=R，
∴R−82+122=R2，
解得：R=13cm，直径为 26 cm，
答：直径为 26 cm．
21. （1） ∵ 直线 y=−2x+3 与抛物线 y=x2 相交，
∴ 将直线与抛物线联立得 y=−2x+3,y=x2,
解得 x=1,y=1 或 x=−3,y=9,
∴A1,1，B−3,9．
（2） 过点 A 与点 B 分别作 AA1，BB1 垂直于 x 轴，如图所示，
由 A，B 的坐标可知 AA1=1，BB1=9，OB1=3，OA1=1，A1B1=4，
梯形 AA1B1B 的面积 =12AA1+BB1⋅A1B1=12×1+9×4=20，
△OBB1 的面积 =12OB1⋅BB1=12×3×9=13.5，
△OAA1 的面积 =12OA1⋅AA1=12×1×1=0.5，
∴△OAB 的面积 =20−13.5−0.5=6．
22. （1） 因为 ∠EDC+∠EDA=180∘，∠B+∠EDA=180∘．
所以 ∠B=∠EDC，
又因为 AB=AC，
所以 ∠B=∠C，
所以 ∠EDC=∠C，
所以 ED=EC．
（2） 连接 AE，
因为 AB 是直径，
所以 AE⊥BC，
又因为 AB=AC，
所以 BC=2EC=43，
因为 ∠B=∠EDC，∠C=∠C．
所以 △ABC∽△EDC，
所以 AB:EC=BC:CD，
又因为 EC=23，BC=43，CD=3，
所以 AB=8．
23. （1） y=−x+100
【解析】设 y 与 x 的函数关系式为：y=kx+b，
函数图象经过点 60,40 和 70,30，
代入 y=kx+b 得 40=60k+b,30=70k+b,
解得 k=−1,b=100,
∴y 关于 x 之间的关系式为 y=−x+100．
（2） 由题意得：P=x−50−x+100=−x2+150x−5000，
∵ 销售单价不低于成本价，又不高于每件 70 元，
∴x 的取值范围为 50≤x≤70，
故 P 与 x 之间的函数关系式为 P=−x2+150x−500050≤x≤70．
∵−b2a=−1502×−1=75，a=−1<0，
∴ 函数 P=−x2+150x−5000 图象开口向下，对称轴为 x=75，
∴ 当 50≤x≤70 时，P 随 x 的增大而增大，
∴ 当 x=70 时，P最大=−702+150×70−5000=600．
（3） 60≤x≤70
【解析】当 P=400 时，−x2+150x−5000=400，
解得：x1=60，x2=90，
∵a=−1<0，抛物线开口向下，
∴ 当 P≥400 时，60≤x≤90，
又 ∵x 取值范围为 50≤x≤70，
∴ 利润低于 400 元时，求销售单价 x 的取值范围为 60≤x≤70．
24. （1） 将 B4,0，C0,4 代入 y=x2+bx+c 得，
16+4b+c=0,c=4,
解得 b=−5,c=4,
∴ 抛物线的解析式为 y=x2−5x+4，
令 y=0，得 x2−5x+4=0，解得 x1=1，x2=4，
∴ A 点的坐标为 1,0．
（2） 设 D 点横坐标为 a，则纵坐标为 a2−5a+4，
①当 ∠BCD=90∘ 时，如下图所示，连接 BC，过 C 点作 CD⊥BC 与抛物线交于点 D，过 D 作 DE⊥y轴 与点 E，
由 B，C 坐标可知，OB=OC=4，
∴△OBC 为等腰直角三角形，
∴∠OCB=∠OBC=45∘，
又 ∵∠BCD=90∘，
∴∠ECD+∠OCB=90∘，
∴∠ECD=45∘，
∴△CDE 为等腰直角三角形，
∴DE=CE=a，
∴OE=OC+CE=a+4，
由 D，E 纵坐标相等，可得 a2−5a+4=a+4，
解得 a1=6，a2=0，
当 a=0 时，D 点坐标为 0,4，与 C 重合，不符合题意，舍去．
当 a=6 时，D 点坐标为 6,10；
②当 ∠CBD=90∘ 时，如下图所示，连接 BC，过 B 点作 BD⊥BC 与抛物线交于点 D，过 B 作 FG⊥x轴，再过 C 作 CF⊥FG 于 F，过 D 作 DG⊥FG 于 G，
∵∠COB=∠OBF=∠BFC=90∘，
∴ 四边形 OBFC 为矩形，
又 ∵OC=OB，
∴ 四边形 OBFC 为正方形，
∴∠CBF=45∘，
∵∠CBD=90∘，
∴∠CBF+∠DBG=90∘，
∴∠DBG=45∘，
∴△DBG 为等腰直角三角形，
∴DG=BG，
∵ D 点横坐标为 a，
∴DG=4−a，
而 BG=−a2−5a+4，
∴−a2−5a+4=4−a，
解得 a1=2，a2=4，
当 a=4 时，D 点坐标为 4,0，与 B 重合，不符合题意，舍去．
当 a=2 时，D 点坐标为 2,−2；
综上所述，D 点坐标为 6,10 或 2,−2．
（3） 3+3【解析】当 BC 为斜边构成 Rt△BCD 时，如图所示，以 BC 中点 Oʹ 为圆心，以 BC 为直径画圆，与抛物线交于 D 和 Dʹ，
∵BC 为圆 Oʹ 的直径，
∴∠BDC=∠BDʹC=90∘，
∵ BC=OB2+OC2=42，
∴D 到 Oʹ 的距离为圆 Oʹ 的半径 r=12BC=22，
∵D 点横坐标为 m，纵坐标为 m2−5m+4，Oʹ 点坐标为 2,2，
∴DOʹ=m−22+m2−5m+4−22，
即 m−22+m2−5m+4−22=222，
化简得：m4−10m3+30m2−24m=0，
由图象易得 m=0或4 为方程的解，则方程左边必有因式 mm−4，
∴ 采用因式分解法进行降次解方程 mm−4m2−6m+6=0，
m=0 或 m−4=0 或 m2−6m+6=0，
解得 m1=0，m2=4，m3=3+3，m4=3−3，
当 m=0 时，D 点坐标为 0,4，与 C 点重合，舍去；
当 m=4 时，D 点坐标为 4,0，与 B 点重合，舍去；
当 m=3+3 时，D 点横坐标 3+3；
当 m=3−3 时，D 点横坐标为 3−3；
结合（2）中 △BCD 形成直角三角形的情况，
可得 △BCD 为锐角三角形时，D 点横坐标 m 的取值范围为 3+3