浙江省绍兴市2021-2022学年八年级上学期期中考试数学试卷（word版 含答案）

这是一份浙江省绍兴市2021-2022学年八年级上学期期中考试数学试卷（word版 含答案），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年浙江省绍兴市八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.请选出一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．如图所示，图中不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（　　）
A．1，2，1 B．1，2，3 C．1，2，2 D．1，2，4
3．如果a＞b，下列各式中不正确的是（　　）
A．a﹣4＞b﹣4 B．﹣＜﹣ C．﹣2a＜﹣2b D．﹣5+a＜﹣5+b
4．下列语句中不是命题的是（　　）
A．作直线AB垂直于直线CD
B．两直线平行，同位角相等
C．若|a|＝|b|，则a2＝b2
D．同角的补角相等
5．对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（　　）
A．∠1＝50°，∠2＝40° B．∠1＝50°，∠2＝50°
C．∠1＝∠2＝45° D．∠1＝40°，∠2＝40°
6．如图，在下列条件中，不能直接证明△ABD≌△ACD的是（　　）

A．BD＝DC，AB＝AC B．∠ADB＝∠ADC，BD＝DC
C．∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD D．∠B＝∠C，BD＝DC
7．等边△ABC中，AB＝7，DE绕点D逆时针转过60°E点落在BC边的F处，已知AE＝2，则BF＝（　　）

A．2 B．3 C．3.5 D．5
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝3，点D在AB上且AB＝3AD，那么CD的长是（　　）

A．2 B． C．2 D．4
9．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝5，BC＝3，则BD的长为（　　）

A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
10．如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM、MC．下列结论：①DF＝DN；②△ABE≌△MBN；③AD＝CD；④AE＝CN；，其中正确的结论个数是（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°，则∠C＝　 　°．
12．如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40cm，24cm，则AB＝　 　cm．

13．如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC＝4，则PD＝　 　．

14．如图，图中的所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，正方形A的面积为40，另外四个正方形中的数字8，x，10，y分别表示该正方形面积，则x+y＝　 　．

15．如图，Rt△ABC纸片中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边BC上，以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D，AB′与边BC交于点E．若△DEB′为直角三角形，则BD的长是　 　．

16．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为　 　．

三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20～21题8分，第22～.23题每题10分，第24题12分，共66分）
17．解下列不等式
（1）2x＞3﹣x；
（2）2（x+4）＞3（x﹣1）．
18．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′；
（2）线段CC′被直线l　 　；
（3）在直线l上找一点P，使PB+PC的长最短，并算出这个最短长度．

19．如图（1），△ABC中，AB＝AC，∠B＝2∠A．
（1）求∠A和∠B的度数；
（2）如图（2），BD是△ABC中∠ABC的平分线，写出图中与BD相等的线段，并说明理由．

20．如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF
（1）求证：△ABE≌△CBF；
（2）若∠CAE＝25°，求∠ACF的度数．

21．郴州市正在创建“全国文明城市”，某校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买A、B两种奖品以鼓励抢答者．如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元．
（1）A、B两种奖品每件各多少元？
（2）现要购买A、B两种奖品共100件，总费用不超过900元，那么A种奖品最多购买多少件？
22．已知△ABC，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α，∠CDE＝β．
（1）如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．
①如果∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，那么α＝　 　°，β＝　 　°，②求α，β之间的关系式．
（2）请直接写出不同于以上②中的α，β之间的关系式可以是　 　．（写出一个即可．）

23．【问题情境】
在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．

【特例探究】
如图1，当DM＝DN时，
（1）∠MDB＝　 　度；
（2）MN与BM，NC之间的数量关系为　 　；
【归纳证明】
如图2，当DM≠DN时，在NC的延长线上取点E，使CE＝BM，连接DE，猜想MN与BM，NC之间的数量关系，并加以证明．
【拓展应用】
△AMN的周长与△ABC的周长的比为　 　．
24．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）当t为几秒时，BP平分∠ABC；
（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？



参考答案
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.请选出一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．如图所示，图中不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此对图中的图形进行判断．
解：A、有四条对称轴，是轴对称图形，故本选项错误；
B、有三条对称轴，是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义，故本选项正确；
D、有二条对称轴，是轴对称图形，故本选项错误．
故选：C．
2．下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（　　）
A．1，2，1 B．1，2，3 C．1，2，2 D．1，2，4
【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可．
解：A、1+1＝2，不能组成三角形，故A选项错误；
B、1+2＝3，不能组成三角形，故B选项错误；
C、1+2＞2，能组成三角形，故C选项正确；
D、1+2＜4，不能组成三角形，故D选项错误；
故选：C．
3．如果a＞b，下列各式中不正确的是（　　）
A．a﹣4＞b﹣4 B．﹣＜﹣ C．﹣2a＜﹣2b D．﹣5+a＜﹣5+b
【分析】根据不等式的基本性质对四个选项进行逐一解答即可．
解：A、∵a＞b，∴a﹣4＞b﹣4，正确，不合题意；
B、∵a＞b，∴﹣＜﹣，正确，不合题意；
C、∵a＞b，∴﹣2a＜﹣2b，正确，不合题意；
D、∵a＞b，∴﹣5+a＞﹣5+b，不正确，符合题意；
故选：D．
4．下列语句中不是命题的是（　　）
A．作直线AB垂直于直线CD
B．两直线平行，同位角相等
C．若|a|＝|b|，则a2＝b2
D．同角的补角相等
【分析】利用命题的定义进行判断即可确定正确的选项．
解：A、没有对事情作出判断，不是命题，符合题意；
B、是命题，不符合题意；
C、是命题，不符合题意；
D、是命题，不符合题意；
故选：A．
5．对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（　　）
A．∠1＝50°，∠2＝40° B．∠1＝50°，∠2＝50°
C．∠1＝∠2＝45° D．∠1＝40°，∠2＝40°
【分析】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子．
解：A、满足条件∠1+∠2＝90°，也满足结论∠1≠∠2，故A选项错误；
B、不满足条件，故B选项错误；
C、满足条件，不满足结论，故C选项正确；
D、不满足条件，也不满足结论，故D选项错误．
故选：C．
6．如图，在下列条件中，不能直接证明△ABD≌△ACD的是（　　）

A．BD＝DC，AB＝AC B．∠ADB＝∠ADC，BD＝DC
C．∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD D．∠B＝∠C，BD＝DC
【分析】两个三角形有公共边AD，可利用SSS，SAS，ASA，AAS的方法判断全等三角形．
解：∵AD＝AD，
A、当BD＝DC，AB＝AC时，利用SSS证明△ABD≌△ACD，故正确；
B、当∠ADB＝∠ADC，BD＝DC时，利用SAS证明△ABD≌△ACD，故正确；
C、当∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD时，利用AAS证明△ABD≌△ACD，故正确；
D、当∠B＝∠C，BD＝DC时，符合SSA的位置关系，不能证明△ABD≌△ACD，故错误．
故选：D．
7．等边△ABC中，AB＝7，DE绕点D逆时针转过60°E点落在BC边的F处，已知AE＝2，则BF＝（　　）

A．2 B．3 C．3.5 D．5
【分析】连接EF，由△△ABC为等边三角形可得∠A＝∠B＝60°，继而得∠1+∠3＝120°，根据旋转的性质得DE＝DF、∠EDF＝60°，即△DEF为等边三角形，从而知∠1+∠2＝120°，故可得∠2＝∠3，再证△ADE≌△BEF可得BF＝AE＝2．
解：如图，连接EF，

∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，
∴∠1+∠3＝120°，
又∵DE绕点D逆时针转过60°E点落在BC边的F处，
∴DE＝DF，∠EDF＝60°，
∴△DEF为等边三角形，
∴∠DEF＝60°，
∴∠1+∠2＝120°，
∴∠2＝∠3，
在△ADE和△BEF中，
∵，
∴△ADE≌△BEF（AAS），
∴BF＝AE＝2，
故选：A．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝3，点D在AB上且AB＝3AD，那么CD的长是（　　）

A．2 B． C．2 D．4
【分析】作DE⊥AC于点E，则∠AED＝∠CED＝90°，在△ABC和△ADE中，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理可求出CD的长．
解：如图，作DE⊥AC于点E，则∠AED＝∠CED＝90°，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝3，
∴AB＝2BC＝2×3＝6，
∴AC＝＝3，
∵AB＝3AD，
∴AD＝AB＝×6＝2，
∴DE＝AD＝×2＝1，
∴AE＝＝，
∴CE＝3﹣＝2，
CD＝＝，
故选：B．

9．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝5，BC＝3，则BD的长为（　　）

A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【分析】延长BD与AC交于点E，由题意可推出BE＝AE，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE，可推出BC＝CE，AE＝BE＝2BD，根据AC＝5，BC＝3，即可推出BD的长度．
解：延长BD与AC交于点E，
∵∠A＝∠ABD，
∴BE＝AE，
∵BD⊥CD，
∴BE⊥CD，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ECD，
∴∠EBC＝∠BEC，
∴△BEC为等腰三角形，
∴BC＝CE，
∵BE⊥CD，
∴2BD＝BE，
∵AC＝5，BC＝3，
∴CE＝3，
∴AE＝AC﹣EC＝5﹣3＝2，
∴BE＝2，
∴BD＝1．
故选：A．

10．如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM、MC．下列结论：①DF＝DN；②△ABE≌△MBN；③AD＝CD；④AE＝CN；，其中正确的结论个数是（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】①正确．证明△FBD≌△NAD（ASA）即可判断．
②错误，根据AB＞BM，对应边不相等，即可判断．
③正确．根据等腰三角形的性质得BD＝CD，由直角三角形斜边上的中线即可判断．
④正确，证明AF＝CN，AE＝AF即可判断．
解：∵∠BAC＝90°，AC＝AB，AD⊥BC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∠ADN＝∠ADB＝90°，AD＝BD＝CD，③正确；
∴∠BAD＝45°＝∠CAD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC＝22.5°，
∴∠BFD＝∠AEB＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴AFE＝∠BFD＝∠AEB＝67.5°，
∴AF＝AE，
∵M为EF的中点，
∴AM⊥BE，
∴∠AMF＝∠AME＝90°，
∴∠DAN＝90°﹣67.5°＝22.5°＝∠MBN，
在△FBD和△NAD中，
，
∴△FBD≌△NAD（ASA），
∴DF＝DN，故①正确；
∵AM⊥BE，
∴AB＞BM，
∴△ABE与△MBN显然不全等，故②错误，
∵AD⊥BC，AD＝CD，
∴∠CAD＝45°，
∵AF＝AE，
∴∠CAN＝22.5°，
∴∠ABF＝∠CAN，
在△AFB和△△CNA中，
，
∴△AFB≌△CAN（SAS），
∴AF＝CN，
∵AF＝AE，
∴AE＝CN，故④正确．
故选：B．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°，则∠C＝　80°　°．
【分析】根据三角形内角和是180度来求∠C的度数即可．
解：在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°，
则由三角形内角和定理知，
∠C＝180°﹣∠B﹣∠A＝180°﹣40°﹣60°＝80°．
故答案是：80°．
12．如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40cm，24cm，则AB＝　16　cm．

【分析】首先根据DE是AB的垂直平分线，可得AE＝BE；然后根据△ABC的周长＝AB+AC+BC，△EBC的周长＝BE+EC+BC＝AE+EC+BC＝AC+BC，可得△ABC的周长﹣△EBC的周长＝AB，据此求出AB的长度是多少即可．
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE；
∵△ABC的周长＝AB+AC+BC，△EBC的周长＝BE+EC+BC＝AE+EC+BC＝AC+BC，
∴△ABC的周长﹣△EBC的周长＝AB，
∴AB＝40﹣24＝16（cm）．
故答案为：16．
13．如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC＝4，则PD＝　2　．

【分析】作PE⊥OB于E，根据角平分线的性质可得PE＝PD，根据平行线的性质可得∠BCP＝∠AOB＝30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD．
解：作PE⊥OB于E，
∵∠BOP＝∠AOP，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PE＝PD（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵∠BOP＝∠AOP＝15°，
∴∠AOB＝30°，
∵PC∥OA，
∴∠BCP＝∠AOB＝30°，
∴在Rt△PCE中，PE＝PC＝×4＝2（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∴PD＝PE＝2，
故答案是：2．

14．如图，图中的所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，正方形A的面积为40，另外四个正方形中的数字8，x，10，y分别表示该正方形面积，则x+y＝　22　．

【分析】先由SA＝40，再根据勾股定理的几何意义，得到x+10+（8+y）＝SA，由此得出x与y的数量关系．
解：∵SA＝40，
根据勾股定理的几何意义，得x+10+（8+y）＝SA＝40，
∴x+y＝40﹣18＝22，即x+y＝22．
故答案为：22．
15．如图，Rt△ABC纸片中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边BC上，以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D，AB′与边BC交于点E．若△DEB′为直角三角形，则BD的长是　2或5　．

【分析】先依据勾股定理求得AB的长，然后由翻折的性质可知：AB′＝10，DB＝DB′，接下来分为∠B′DE＝90°和∠B′ED＝90°，两种情况画出图形，设DB＝DB′＝x，然后依据勾股定理列出关于x的方程求解即可．
解：∵Rt△ABC纸片中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10，
∵以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D，
∴BD＝DB′，AB′＝AB＝10．
如图1所示：当∠B′DE＝90°时，过点B′作B′F⊥AF，垂足为F．

设BD＝DB′＝x，则AF＝6+x，FB′＝8﹣x．
在Rt△AFB′中，由勾股定理得：AB′2＝AF2+FB′2，即（6+x）2+（8﹣x）2＝102．
解得：x1＝2，x2＝0（舍去）．
∴BD＝2．
如图2所示：当∠B′ED＝90°时，C与点E重合．

∵AB′＝10，AC＝6，
∴B′E＝4．
设BD＝DB′＝x，则CD＝8﹣x．
在Rt△′BDE中，DB′2＝DE2+B′E2，即x2＝（8﹣x）2+42．
解得：x＝5．
∴BD＝5．
综上所述，BD的长为2或5．
故答案为：2或5．
16．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为　+3　．

【分析】根据阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，得出阴影部分的面积为6，空白部分的面积为3，进而依据△BCG的面积以及勾股定理，得出BG+CG的长，进而得出其周长．
解：∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，
∴阴影部分的面积为×9＝6，
∴空白部分的面积为9﹣6＝3，
由CE＝DF，BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°，可得△BCE≌△CDF，
∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为×3＝，
∠CBE＝∠DCF，
∵∠DCF+∠BCG＝90°，
∴∠CBG+∠BCG＝90°，即∠BGC＝90°，
设BG＝a，CG＝b，则ab＝，
又∵a2+b2＝32，
∴a2+2ab+b2＝9+6＝15，
即（a+b）2＝15，
∴a+b＝，即BG+CG＝，
∴△BCG的周长＝+3，
故答案为：+3．

三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20～21题8分，第22～.23题每题10分，第24题12分，共66分）
17．解下列不等式
（1）2x＞3﹣x；
（2）2（x+4）＞3（x﹣1）．
【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：、移项、合并同类项、系数化为1可得；
（2）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
解：（1）移项，得：2x+x＞3，
合并同类项，得：3x＞3，
系数化为1，得：x＞1；
（2）去括号，得：2x+8＞3x﹣3，
移项，得：2x﹣3x＞﹣3﹣8，
合并同类项，得：﹣x＞﹣11，
系数化为1，得：x＜11．
18．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′；
（2）线段CC′被直线l　垂直平分　；
（3）在直线l上找一点P，使PB+PC的长最短，并算出这个最短长度．

【分析】（1）根据网格结构找出点B、C关于直线l的对称点B′、C′的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据轴对称的性质，对称轴垂直平分对称点的连线；
（3）根据轴对称确定最短路线，连接B′C，与对称轴l的交点即为所求点P，再利用勾股定理求出即可．
解：
（1）如图所示：

（2）∵△ABC与△AB′C′关于直线l成轴对称，
∴线段CC′被直线l垂直平分；
故答案为：垂直平分；

（3）连接B′C，交直线l与点P，此时PB+PC的长最短，
可得BP＝B′P，
则B′C＝BP+CP＝＝＝．
19．如图（1），△ABC中，AB＝AC，∠B＝2∠A．
（1）求∠A和∠B的度数；
（2）如图（2），BD是△ABC中∠ABC的平分线，写出图中与BD相等的线段，并说明理由．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行计算；
（2）结合（1）中的角的度数，又可以发现两个等腰三角形，即△ABD和△BCD．
解：（1）∵AB＝AC，∠B＝2∠A，
∴AB＝AC，∠C＝∠B＝2∠A，
又∵∠C+∠B+∠A＝180°，
∴5∠A＝180°，∠A＝36°，
∴∠B＝72°；
（2）∵BD是△ABC中∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD＝36°，
∴∠BDC＝72°，
∴BD＝AD＝BC．
20．如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF
（1）求证：△ABE≌△CBF；
（2）若∠CAE＝25°，求∠ACF的度数．

【分析】（1）运用HL定理直接证明△ABE≌△CBF，即可解决问题．
（2）证明∠BAE＝∠BCF＝25°；求出∠ACB＝45°，即可解决问题．
【解答】证明：（1）在Rt△ABE与Rt△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（HL）．
（2）∵△ABE≌△CBF，
∴∠BAE＝∠BCF＝20°；
∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝45°，
∴∠ACF＝65°．
21．郴州市正在创建“全国文明城市”，某校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买A、B两种奖品以鼓励抢答者．如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元．
（1）A、B两种奖品每件各多少元？
（2）现要购买A、B两种奖品共100件，总费用不超过900元，那么A种奖品最多购买多少件？
【分析】（1）设A种奖品每件x元，B种奖品每件y元，根据“如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设A种奖品购买a件，则B种奖品购买（100﹣a）件，根据总价＝单价×购买数量结合总费用不超过900元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中最大的整数即可得出结论．
解：（1）设A种奖品每件x元，B种奖品每件y元，
根据题意得：，
解得：．
答：A种奖品每件16元，B种奖品每件4元．
（2）设A种奖品购买a件，则B种奖品购买（100﹣a）件，
根据题意得：16a+4（100﹣a）≤900，
解得：a≤．
∵a为整数，
∴a≤41．
答：A种奖品最多购买41件．
22．已知△ABC，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α，∠CDE＝β．
（1）如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．
①如果∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，那么α＝　20　°，β＝　10　°，②求α，β之间的关系式．
（2）请直接写出不同于以上②中的α，β之间的关系式可以是　α＝2β﹣180°或α＝180°﹣2β　．（写出一个即可．）

【分析】（1）①先利用等腰三角形的性质求出∠DAE，进而求出∠BAD，即可得出结论；
②利用等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得出结论；
（2）①当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，同（1）的方法即可得出结论；
②当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，同（1）的方法即可得出结论．
解：（1）①∵AB＝AC，∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝60°，
∵AD＝AE，∠ADE＝70°，
∴∠DAE＝180°﹣2∠ADE＝40°，
∴α＝∠BAD＝60°﹣40°＝20°，
∴∠ADC＝∠BAD+∠ABD＝60°+20°＝80°，
∴β＝∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝10°，
故答案为：20，10；

②设∠ABC＝x，∠AED＝y，
∴∠ACB＝x，∠AED＝y，
在△DEC中，y＝β+x，
在△ABD中，α+x＝y+β＝β+x+β，
∴α＝2β；

（2）①当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，
如图1
设∠ABC＝x，∠ADE＝y，
∴∠ACB＝x，∠AED＝y，
在△ABD中，x﹣α＝β﹣y，
在△DEC中，x+y+β＝180°，
∴α＝2β﹣180°，

②当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，
如图2，同①的方法可得α＝180°﹣2β．
故答案为：α＝2β﹣180°或α＝180°﹣2β．



23．【问题情境】
在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．

【特例探究】
如图1，当DM＝DN时，
（1）∠MDB＝　30　度；
（2）MN与BM，NC之间的数量关系为　MN＝BM+NC　；
【归纳证明】
如图2，当DM≠DN时，在NC的延长线上取点E，使CE＝BM，连接DE，猜想MN与BM，NC之间的数量关系，并加以证明．
【拓展应用】
△AMN的周长与△ABC的周长的比为　　．
【分析】【特例探究】（1）先证明△MDN是等边三角形，则MN＝DM＝DN，再证明Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），得∠BDM＝∠CDN＝30°；
（2）由（1）得DM＝2BM，inert可得结论MN＝2BM＝BM+NC；
【归纳证明】先证△DBM≌△DCE（HL），得DM＝DE，∠BDM＝∠CDE，再证△MDN≌△EDN（SAS），得MN＝NE，可得结论MN＝BM+CN；
【拓展应用】由（1）（2）得：MN＝BM+NC，则△AMN的周长＝2AB，△ABC的周长＝3AB，即可得出结论．
【解答】【特例探究】
解：（1）∵DM＝DN，∠MDN＝60°，
∴△MDN是等边三角形，
∴MN＝DM＝DN，
∵∠BDC＝120°，BD＝DC，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠DBM＝∠DCN＝90°，
∵BD＝CD，DM＝DN，
∴Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），
∴∠MDB＝∠NDC＝30°，
故答案为：30；
（2）由（1）得：DM＝2BM，DM＝MN，Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），
∴BM＝CN，
∴DM＝MN＝2BM＝BM+NC，
即MN＝BM+NC；
【归纳证明】
解：猜想：MN＝BM+NC，证明如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BD＝CD，∠BDC＝120°，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°，
∴∠MBD＝∠NCD＝90°．
∴∠MBD＝∠ECD＝90°，
又∵BD＝CD，BM＝CE，
∴△DBM≌△DCE（SAS），
∴DM＝DE，∠MDB＝∠EDC，
∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，
∴∠MDB+∠NDC＝60°，
∴∠EDN＝∠NDC+∠EDC＝∠MDB+∠NDC＝60°，
∴∠EDN＝∠MDN，
又∵DN＝DN，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN＝EN＝EC+NC＝BM+NC；
【拓展应用】
解：由（1）（2）得：MN＝BM+NC，
∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AM+BM+NC+AN＝AB+AC＝2AB，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC的周长＝3AB，
∴△AMN的周长与△ABC的周长的比为＝，
故答案为：．
24．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）当t为几秒时，BP平分∠ABC；
（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？

【分析】（1）先由勾股定理求出AC＝8cm，再证△PBD≌△PBC（AAS），得BD＝BC＝6cm，则AD＝4（cm），设PC＝PD＝xcm，则AP＝（8﹣x）（cm），在Rt△ADP中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（2）分两种情况：①若P在边AC上时，BC＝CP＝6（cm），此时用的时间为6秒；②若P在AB边上时，有三种可能，分别求出点P运动的路程，即可得出结果；
（3）分两种情况：①当P、Q没相遇前；②当P、Q相遇后；分别由题意列出方程，解方程即可．
解：（1）作PD⊥AB于D，如图1所示：

则∠ADP＝∠BDP＝90°，
∵∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，
∴AC＝＝＝8（cm），
∵BP平分∠ABC，
∴∠PBD＝∠PBC，
在△PBD和△PBC中，，
∴△PBD≌△PBC（AAS），
∴BD＝BC＝6cm，
∴AD＝AB﹣BD＝4cm，
设PC＝PD＝xcm，则AP＝（8﹣x）cm，
在Rt△ADP中，由勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
∴t＝3，
即当t为3秒时，BP平分∠ABC；
（2）①若P在边AC上时，BC＝CP＝6（cm），如图2所示：

此时用的时间为6秒，△BCP为等腰三角形；
②若P在AB边上时，有三种情况：
a、若BP＝BC＝6cm，如图3所示：

此时AP＝4cm，AC+AP＝12（cm），
即P运动的路程为12cm，
所以用的时间为12秒，
∴t＝12秒时，△BCP为等腰三角形；
b、若CP＝BC＝6cm，过C作斜边AB的高CD，如图4所示：

则BD＝PD，
由面积法得：CD＝＝＝4.8（cm），
∴BD＝＝＝3.6（cm），
∴BP＝2BD＝7.2cm，
∴P运动的路程为：AC+AB﹣BP＝8+10﹣7.2＝10.8（cm），
∴t＝10.8秒，△BCP为等腰三角形；
c、若BP＝CP时，如图5所示：

则∠PCB＝∠PBC，
∵∠ACP+∠BCP＝90°，∠PBC+∠CAP＝90°，
∴∠ACP＝∠CAP，
∴PA＝PC，
∴PA＝PB＝AB＝5（cm）．
∴P运动的路程为：AC+AP＝8+5＝13（cm），
∴时间t为13秒时，△BCP为等腰三角形；
∴t为6秒或13秒或12秒或 10.8秒时△BCP为等腰三角形；
（3）分两种情况：
①P、Q没相遇前，当P点在AC上，Q在AB上，如图6所示：

则AP＝8﹣t，AQ＝16﹣2t，
∴8﹣t+16﹣2t＝12，
∴t＝4；
②当P、Q相遇后，当P点在AB上，Q在AC上，如图7所示：

则AP＝t﹣8，AQ＝2t﹣16，
∴t﹣8+2t﹣16＝12，
∴t＝12；
∴t为4秒或12秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．