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_浙江省温州市苍南县2022-2023学年八年级上学期 期中数学试卷(含答案)
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这是一份_浙江省温州市苍南县2022-2023学年八年级上学期 期中数学试卷(含答案)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省温州市苍南县八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分）
1．下面图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列长度的三条线段（单位：cm），能组成三角形的是（ ）
A．1，2，4 B．2，4，6 C．2，6，7 D．5，7，13
3．△ABC中，∠A＝40°，∠B＝80°，则∠C为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
4．如图，AD是△ABC的中线，则下列结论正确的是（ ）
A．AB＝AC B．BD＝CD C．BD＝AD D．AC＝AD
5．在数轴上表示不等式﹣1≤x＜2，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，要测量中心湖两岸相对两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD＝BC，再在BF的垂线DG上取点E，使点A，C，E在一条直线上，可得△ABC≌△EDC．判定全等的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
7．下列选项中，可以用来证明命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题的反例是（ ）
A．a＝﹣2，b＝1 B．a＝2，b＝3 C．a＝3，b＝﹣2 D．a＝2，b＝﹣3
8．小李用7块长为8cm，宽为3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AB＝BC，∠ABC＝90°），点B在DE上，点A和C分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为（ ）
A．36 B．32 C．28 D．21
9．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（ ）
A．60° B．45° C．30° D．25°
10．如图，边长为5的大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，连结AF并延长交CD于点M．若AH＝GH，则CM的长为（ ）
A． B． C．1 D．
二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）
11．等腰三角形的顶角为80°，则底角等于 ．
12．“x的2倍与1的差比y小”用不等式表示为 ．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AC＝5，BC＝12，则CD＝ ．
14．命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是： ．
15．如图，在△ABC中，D是AC延长线上一点，∠A＝50°，∠B＝70°，则∠BCD＝ ．
16．若a＞b，且（6﹣x）a＜（6﹣x）b，则x的取值范围是 ．
17．如图，以直角三角形ABC的三条边为边长，向形外分别作正方形，连结CG，其中正方形ACDE和正方形ABGF的面积分别为1和5，则CG长为 ．
18．如图．已知在长方形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E，F分别在边AD，BC上，连结BD，BE，DF．将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻折后，点A，C分别落在BD上的G，H处，连结CG，则四边形CGHF的周长为 ．
三、解答题（本题有6小题，共46分，解答需写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程）
19．在3×3的方格图中，有三个小正方形格子被涂成阴影，请在剩下的7个白色格子中选择2个格子，将它涂上阴影，使得整个图形是一个轴对称图形，要求画出三种不同形状的图形．
20．如图，在△ABC中，AC＝BC，CD平分△ABC的外角∠ACE，试说明CD∥AB的理由．
解：∵AC＝BC（已知），
∴∠A＝∠ （ ）
∵CD平分∠ACE（已知）
∴∠ACD＝∠ECD（ ）
∵∠ACE＝∠A+∠B（ ）
∴∠ACE＝2∠A，∠ACE＝2∠ACD．
∴∠A＝∠ （等量的传递性）．
∴AB∥FE（ ）
21．已知x＜y，请比较与的大小，并说明理由．
22．如图，点B，D，C在一条直线上，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE．
（1）求证：BC＝DE．
（2）若∠B＝65°，求∠CDE的度数．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，AD是边BC上的高线，过点D作DE∥AC交AB于点E．
（1）求证：△ADE是等腰三角形；
（2）连结CE交AD于点H，若∠DCE＝45°，求EH的长．
24．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝AC，E是AC边上的中点，D是射线AB上的一点，连结DE，过B点作BF⊥DE于F．
（1）求AC的长度．
（2）若点D在线段AB上．
①若BD＝CE时，求证：DF＝EF．
②若△ADE是等腰三角形，求AD的长．
（3）点A关于直线BF的对称点为A′，当A′、B、E三点共线时，求AA′＝ （请直接写出答案）．
参考答案
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分）
1．下面图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．下列长度的三条线段（单位：cm），能组成三角形的是（ ）
A．1，2，4 B．2，4，6 C．2，6，7 D．5，7，13
【分析】根据三角形三边关系定理判断即可．
解：A．∵1+2＜4，∴不能组成三角形，故A不符合题意；
B．∵2+4＝6，∴不能组成三角形，故B不符合题意；
C．∵2+6＞7，∴能组成三角形，故C符合题意
D．∵5+7＝13，∴不能组成三角形，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边是解题的关键．
3．△ABC中，∠A＝40°，∠B＝80°，则∠C为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【分析】利用三角形的内角和定理即可求解．
解：∵∠A＝40°，∠B＝80°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝60°．
故选：A．
【点评】本题主要考查三角形内角和定理，解答的关键是熟记三角形的内角和为180°．
4．如图，AD是△ABC的中线，则下列结论正确的是（ ）
A．AB＝AC B．BD＝CD C．BD＝AD D．AC＝AD
【分析】根据三角形的中线的定义即可判断．
解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
故选：B．
【点评】本题考查三角形的中线的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
5．在数轴上表示不等式﹣1≤x＜2，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】不等式﹣1≤x＜2在数轴上表示不等式x≥﹣1与x＜2两个不等式的公共部分．
解：“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆圈向左画折线．
故在数轴上表示不等式﹣1≤x＜2如下：
故选：B．
【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”的法则是解答此题的关键．
6．如图，要测量中心湖两岸相对两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD＝BC，再在BF的垂线DG上取点E，使点A，C，E在一条直线上，可得△ABC≌△EDC．判定全等的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．
解：在△ABC和△EDC中
，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
依据是两角及这两角的夹边对应相等．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形全等的判定方法，熟记判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL是解决问题的关键．
7．下列选项中，可以用来证明命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题的反例是（ ）
A．a＝﹣2，b＝1 B．a＝2，b＝3 C．a＝3，b＝﹣2 D．a＝2，b＝﹣3
【分析】据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．
解：∵当a＝2，b＝﹣3时，（﹣3）2＞22，但是﹣3＜2，
∴a＝2，b＝﹣3是假命题的反例．
故选：D．
【点评】此题考查的是命题与定理，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可这是数学中常用的一种方法．
8．小李用7块长为8cm，宽为3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AB＝BC，∠ABC＝90°），点B在DE上，点A和C分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为（ ）
A．36 B．32 C．28 D．21
【分析】根据题意可得AB＝BC，∠ABC＝90°，AD⊥DE，CE⊥DE，进而得到∠ADB＝∠BEC＝90°，再根据等角的余角相等可得∠ABD＝∠BCE，再证明△ABD≌△BCE，利用全等三角形的性质进行解答．
解：由题意得AB＝BC，∠ABC＝90°，AD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB＝∠BEC＝90°，
∴∠ABD+∠CBE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ABD＝∠BCE，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（AAS）；
由题意得AD＝BE＝24cm，DB＝EC＝12cm，
∴DE＝DB+BE＝36cm，
答：两堵木墙之间的距离为36cm．
故选：A．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，解题的关键是正确找出证明三角形全等的条件．
9．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（ ）
A．60° B．45° C．30° D．25°
【分析】先根据图形折叠的性质得出BC＝CE，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出CE＝AE＝BE，进而可判断出△BEC是等边三角形，由等边三角形的性质及直角三角形两锐角互余的性质即可得出结论．
解：∵△BCD沿CD折叠，
∴BC＝CE，
∵E为AB中点，∠ACB＝90°，
∴CE＝BE＝AE，
∴△BEC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴∠A＝90°﹣60°＝30°，
故选：C．
【点评】此题考查了翻折的性质，熟记翻折的性质是解题的关键．
10．如图，边长为5的大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，连结AF并延长交CD于点M．若AH＝GH，则CM的长为（ ）
A． B． C．1 D．
【分析】过点M作MN⊥FC于点N，设FA与GH交与点K，L利用已知条件和正方形的性质得到△ABF为等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一性质，平行线的性质，对顶角相等和等量代换得到△MCF为等腰三角形，再利用等腰三角形的三线合一的性质和平行线分线段成比例定理解答即可得出结论．
解：过点M作MN⊥FC于点N，设FA与GH交与点K，如图，
∵四边形EFGH是正方形，
∴HE＝HG＝GF＝EF，AH∥GF，
∵AH＝GH，
∴AH＝HE＝GF＝EF．
由题意得：Rt△ABE≌Rt△BCF≌Rt△ADH≌Rt△CDG，
∴BE＝CF＝AH＝DG，∠BAE＝∠DCG．
∴BE＝EF＝GF＝FC．
∵AE⊥BF，
∴AB＝AF，
∴∠BAE＝∠FAE，
∴∠DCG＝∠FAE，
∵AH∥GF，
∴∠FAE＝∠GFK．
∵∠GFK＝∠CFM，
∴∠CFM＝∠DCG，
∴MF＝MC，
∵MN⊥FC，
∴CN＝NF＝CF，
∴CN＝CG．
∵MN⊥CG，DG⊥CG，
∴MN∥DG，
∴，
∵CD＝5，
∴CM＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，依据题意恰当的添加辅助线是解题的关键．
二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）
11．等腰三角形的顶角为80°，则底角等于 50° ．
【分析】因为等腰三角形的两个底角的度数相等，再依据三角形的内角和是180度，即可分别求出三角形的底角的度数．
解：（180°﹣80°）÷2
＝100°÷2
＝50°．
故答案为：50°．
【点评】考查了等腰三角形的性质，解答此题的主要依据是：等腰三角形的特点以及三角形的内角和定理．
12．“x的2倍与1的差比y小”用不等式表示为 2x﹣1＜y ．
【分析】根据“x的2倍与1的差比y小”，即可列出不等式，此题得解．
解：依题意得2x﹣1＜y，
故答案为：2x﹣1＜y．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出不等式是解题的关键．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AC＝5，BC＝12，则CD＝ 6.5 ．
【分析】利用勾股定理求出AB，再利用直角三角形斜边上的中线的性质解决问题即可．
解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝，
∵D为AB的中点，
∴AD＝BD，
∴CD＝AB＝6.5．
故答案为：6.5．
【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14．命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是： 两直线平行，同位角相等 ．
【分析】把一个命题的题设和结论互换就得到它的逆命题．
解：命题：“同位角相等，两直线平行．”的题设是“同位角相等”，结论是“两直线平行”．
所以它的逆命题是“两直线平行，同位角相等．”
故答案为：“两直线平行，同位角相等”．
【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
15．如图，在△ABC中，D是AC延长线上一点，∠A＝50°，∠B＝70°，则∠BCD＝ 120° ．
【分析】利用三角形外角的性质解答即可．
解：∵∠A＝50°，∠B＝70°，∠BCD是△ABC的外角，
∴∠BCD＝∠A+∠B＝50°+70°＝120°．
故答案为：120°．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解题的关键是熟记三角形外角与内角的关系，即三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和．
16．若a＞b，且（6﹣x）a＜（6﹣x）b，则x的取值范围是 x＞6 ．
【分析】根据不等式的基本性质解答即可．
解：∵a＞b，且（6﹣x）a＜（6﹣x）b，
∴6﹣x＜0，
解得x＞6．
故答案为：x＞6．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，掌握不等式的基本性质是解答本题的关键．
17．如图，以直角三角形ABC的三条边为边长，向形外分别作正方形，连结CG，其中正方形ACDE和正方形ABGF的面积分别为1和5，则CG长为 ．
【分析】连结AH，由正方形ACDE和正方形ABGF的面积分别为1和5，得AC2＝1，AB2＝5，则AC＝1，而∠ACB＝90°，由勾股定理得BC2＝AB2﹣AC2＝4，则BC＝2，所以CI＝HI＝BC＝2，再证明A、C、I三点在同一条直线上，则AI＝AC+CI＝3，根据勾股定理求得HA＝＝，再证明△GBC≌△ABH，得CG＝HA＝．
解：连结AH，
∵正方形ACDE和正方形ABGF的面积分别为1和5，
∴AC2＝1，AB2＝5，GB＝AB，
∴AC＝1，
∵∠ACB＝90°，
∴BC2＝AB2﹣AC2＝5﹣1＝4，
∴BC＝2，
∵四边形BDIH是正方形，
∴CI＝HI＝BC＝2，∠ICB＝90°，CB＝HB，
∴∠ACB+∠ICB＝180°，
∴A、C、I三点在同一条直线上，
∴AI＝AC+CI＝1+2＝3，
∴HA＝＝＝，
∵∠ABG＝∠CBH＝90°，
∴∠GBC＝∠ABH＝90°+∠ABC，
在△GBC和△ABH中，
，
∴△GBC≌△ABH（SAS），
∴CG＝HA＝，
∴CG的长为，
故答案为：．
【点评】此题重点考查正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线并且证明△GBC≌△ABH是解题的关键．
18．如图．已知在长方形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E，F分别在边AD，BC上，连结BD，BE，DF．将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻折后，点A，C分别落在BD上的G，H处，连结CG，则四边形CGHF的周长为 ．
【分析】由四边形ABCD是矩形，得∠A＝∠DCB＝90°，AB＝DC＝6，AD＝BC＝8，根据勾股定理求得BD＝10，再由翻折得GB＝AB＝6，DH＝DC＝6，∠DHF＝∠DCF＝90°，HF＝CF，则GD＝BD﹣GB＝4，BH＝BD﹣DH＝4，再根据勾股定理列方程42+HF2＝（8﹣HF）2，求得HF＝CF＝3；由＝＝，求得S△GCD＝，则×6GL＝，得GL＝，由勾股定理求得DL＝，则CL＝DC﹣DL＝，即可由勾股定理求得CG＝，而GH＝GB﹣BH＝2，即可求得四边形CGHF的周长为．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠DCB＝90°，AB＝DC＝6，AD＝BC＝8，
∴BD＝＝＝10，
由翻折得GB＝AB＝6，DH＝DC＝6，∠DHF＝∠DCF＝90°，HF＝CF，
∴GD＝BD﹣GB＝4，BH＝BD﹣DH＝4，∠BHF＝180°﹣∠DHF＝90°，
∵BH2+HF2＝BF2，且BF＝8﹣CF＝8﹣HF，
∴42+HF2＝（8﹣HF）2，
∴HF＝CF＝3，
∵S△BCD＝×6×8＝24，且＝＝＝，
∴S△GCD＝×24＝，
作GL⊥CD于点L，则CD•GL＝S△GCD＝，
∴×6GL＝，
∴GL＝，
∴DL＝＝＝，
∵CL＝DC﹣DL＝6﹣＝，
∴CG＝＝＝，
∵GH＝GB﹣BH＝2，
∴GH+HF+CF+CG＝2+3+3+＝，
∴四边形CGHF的周长为，
故答案为：．
【点评】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
三、解答题（本题有6小题，共46分，解答需写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程）
19．在3×3的方格图中，有三个小正方形格子被涂成阴影，请在剩下的7个白色格子中选择2个格子，将它涂上阴影，使得整个图形是一个轴对称图形，要求画出三种不同形状的图形．
【分析】根据轴对称图形的概念作图即可．
解：如图所示：
【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，关键是掌握轴对称图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合．
20．如图，在△ABC中，AC＝BC，CD平分△ABC的外角∠ACE，试说明CD∥AB的理由．
解：∵AC＝BC（已知），
∴∠A＝∠ B （ 等边对等角 ）
∵CD平分∠ACE（已知）
∴∠ACD＝∠ECD（ 角平分线的定义 ）
∵∠ACE＝∠A+∠B（ 三角形外角的性质 ）
∴∠ACE＝2∠A，∠ACE＝2∠ACD．
∴∠A＝∠ ACD （等量的传递性）．
∴AB∥FE（ 内错角相等，两直线平行 ）
【分析】由已知条件∠A＝∠B，由角平分线的定义得出∠ABD＝∠DBC，再根据三角形外角的性质和等量的传递性得出∠A＝∠ACD，由平行线的判定方法即可得出AB∥FE．
解：∵AC＝BC（已知），
∴∠A＝∠B（等边对等角），
∵CD平分∠ACE（已知），
∴∠ACD＝∠ECD（角平分线的定义），
∵∠ACE＝∠A+∠B（三角形外角的性质），
∴∠ACE＝2∠A，∠ACE＝2∠ACD．
∴∠A＝∠ACD（等量的传递性）．
∴AB∥FE（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：B，等边对等角，角平分线的定义，三角形外角的性质，ACD，内错角相等，两直线平行．
【点评】本题考查了平行线的判定、角平分线的定义；熟练掌握平行线的判定，并能进行推理论证是解决问题的关键．
21．已知x＜y，请比较与的大小，并说明理由．
【分析】根据不等式性质1和不等式性质2进行变形即可证明．
解：＞，理由如下：
∵x＜y，
∴﹣3x＞﹣3y（不等式性质2），
∴＞（不等式性质1）．
【点评】本题考查了不等式的性质，解题关键是熟知不等式的性质，并能根据性质对不等式进行变形．
22．如图，点B，D，C在一条直线上，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE．
（1）求证：BC＝DE．
（2）若∠B＝65°，求∠CDE的度数．
【分析】（1）根据SAS证明△BAC≌△DAE，即可得出结论；
（2）根据△BAC≌△DAE，∠B＝65°，得出∠ADB＝∠ADE＝∠B＝65°，再根据平角等于180°即可求解．
【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAC＝∠DAE，
在△BAC与△DAE中，
，
∴△BAC≌△DAE（SAS），
∴BC＝DE；
（2）解：∵AB＝AD，∠B＝65°，
∴∠ADB＝∠B＝65°，
∵△BAC≌△DAE，
∴∠ADE＝∠B＝65°，
∴∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB
＝180°﹣2×65°
＝50°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，AD是边BC上的高线，过点D作DE∥AC交AB于点E．
（1）求证：△ADE是等腰三角形；
（2）连结CE交AD于点H，若∠DCE＝45°，求EH的长．
【分析】（1）利用等腰三角形三线合一的性质得出BD＝CD，进而证得DE是三角形中位线，根据直角三角形斜边上中线的性质得到结论；
（2）作EG∥BC，交AD于G，根据三角形中位线的性质定理、平行线分线段成比例定理以及等腰直角三角形的性质，得出EH＝CH，AD＝3DC，利用勾股定理求得CD，进一步求得CH，进而求得EH．
【解答】（1）证明：在△ABC中，AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵DE∥AC，
∴AE＝BE，
∴DE＝AB＝AE，
∴△ADE是等腰三角形；
（2）解：作EG∥BC，交AD于G，
∵AE＝BE，
∴AG＝DG，
∴EG＝BD＝CD，
∵EG∥BC，
∴＝＝＝，
∴GH＝DH，EH＝CH，
∵AD⊥BC，∠DCE＝45°，
∴△CDH是等腰直角三角形，
∴DH＝DC，
∴AD＝3DC，
∵AB＝AC＝2，AC2＝AD2+DC2，
∴40＝9DC2+DC2，
∴DC＝2，
∴DH＝DC＝2，
∴CH＝＝2，
∴EH＝CH＝，
∴EH的长为．
【点评】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，平行线的性质，三角形中位线的判定和性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键．
24．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝AC，E是AC边上的中点，D是射线AB上的一点，连结DE，过B点作BF⊥DE于F．
（1）求AC的长度．
（2）若点D在线段AB上．
①若BD＝CE时，求证：DF＝EF．
②若△ADE是等腰三角形，求AD的长．
（3）点A关于直线BF的对称点为A′，当A′、B、E三点共线时，求AA′＝ 或 （请直接写出答案）．
【分析】（1）设AC＝5k，BC＝3k，利用勾股定理构建方程求解即可；
（2）①利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可；
②分三种情形：DA＝DE，AE＝AD，EA＝ED，分别求解即可；
（3）分两种情形：如图3﹣1中，当点A′落在BE的延长线上时，取AB的中点K，连接EK，过点A作AR⊥BA′于点R．利用面积法求出AR，再利用勾股定理求解．当点A′落在EB的延长线上时，同法可求．
【解答】（1）解：∵BC＝AC，
∴可以假设AC＝5k，BC＝3k，
∵∠ABC＝90°，AB＝8，
∴（5k）2﹣（3k）2＝82，
∴k2＝4，
∵k＞0，
∴k＝2，
∴BC＝6，AC＝10；
（2）①证明：如图1中，连接BE．
∵∠ABC＝90°，AE＝EC，
∴BE＝AC＝AE＝EC，
∵BD＝EC，
∴BD＝BE，
∵BF⊥DE，
∴DF＝EF；
②解：如图2中，当DA＝DE时，取AB的中点K，连接EK．
∵AE＝EC，AK＝KB，
∴EK∥BC，EK＝BC＝3，
设AD＝ED＝x，
在Rt△DEK中，x2＝（4﹣x）2+32，
∴x＝．
当AD＝AE＝5时，△ADE是等腰三角形．
当EA＝ED时，点D与B重合，此时AD＝AB＝8．
综上所述，满足条件的AD的值为或5或8；
（3）解：如图3﹣1中，当点A′落在BE的延长线上时，取AB的中点K，连接EK，过点A作AR⊥BA′于点R．
∵•AB•EK＝•EB•AR，
∴AR＝，
∴ER＝＝＝，
∴A′R＝BA′﹣BE﹣ER＝8﹣5﹣＝，
∴AA′＝＝＝；
当点A′落在EB的延长线上时，同法可得AR＝，A′R＝，
∴AA′＝＝＝．
综上所述，满足条件的AA′的值为或．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，轴对称变换等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．
2022-2023学年浙江省温州市苍南县八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分）
1．下面图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列长度的三条线段（单位：cm），能组成三角形的是（ ）
A．1，2，4 B．2，4，6 C．2，6，7 D．5，7，13
3．△ABC中，∠A＝40°，∠B＝80°，则∠C为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
4．如图，AD是△ABC的中线，则下列结论正确的是（ ）
A．AB＝AC B．BD＝CD C．BD＝AD D．AC＝AD
5．在数轴上表示不等式﹣1≤x＜2，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，要测量中心湖两岸相对两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD＝BC，再在BF的垂线DG上取点E，使点A，C，E在一条直线上，可得△ABC≌△EDC．判定全等的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
7．下列选项中，可以用来证明命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题的反例是（ ）
A．a＝﹣2，b＝1 B．a＝2，b＝3 C．a＝3，b＝﹣2 D．a＝2，b＝﹣3
8．小李用7块长为8cm，宽为3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AB＝BC，∠ABC＝90°），点B在DE上，点A和C分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为（ ）
A．36 B．32 C．28 D．21
9．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（ ）
A．60° B．45° C．30° D．25°
10．如图，边长为5的大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，连结AF并延长交CD于点M．若AH＝GH，则CM的长为（ ）
A． B． C．1 D．
二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）
11．等腰三角形的顶角为80°，则底角等于 ．
12．“x的2倍与1的差比y小”用不等式表示为 ．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AC＝5，BC＝12，则CD＝ ．
14．命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是： ．
15．如图，在△ABC中，D是AC延长线上一点，∠A＝50°，∠B＝70°，则∠BCD＝ ．
16．若a＞b，且（6﹣x）a＜（6﹣x）b，则x的取值范围是 ．
17．如图，以直角三角形ABC的三条边为边长，向形外分别作正方形，连结CG，其中正方形ACDE和正方形ABGF的面积分别为1和5，则CG长为 ．
18．如图．已知在长方形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E，F分别在边AD，BC上，连结BD，BE，DF．将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻折后，点A，C分别落在BD上的G，H处，连结CG，则四边形CGHF的周长为 ．
三、解答题（本题有6小题，共46分，解答需写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程）
19．在3×3的方格图中，有三个小正方形格子被涂成阴影，请在剩下的7个白色格子中选择2个格子，将它涂上阴影，使得整个图形是一个轴对称图形，要求画出三种不同形状的图形．
20．如图，在△ABC中，AC＝BC，CD平分△ABC的外角∠ACE，试说明CD∥AB的理由．
解：∵AC＝BC（已知），
∴∠A＝∠ （ ）
∵CD平分∠ACE（已知）
∴∠ACD＝∠ECD（ ）
∵∠ACE＝∠A+∠B（ ）
∴∠ACE＝2∠A，∠ACE＝2∠ACD．
∴∠A＝∠ （等量的传递性）．
∴AB∥FE（ ）
21．已知x＜y，请比较与的大小，并说明理由．
22．如图，点B，D，C在一条直线上，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE．
（1）求证：BC＝DE．
（2）若∠B＝65°，求∠CDE的度数．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，AD是边BC上的高线，过点D作DE∥AC交AB于点E．
（1）求证：△ADE是等腰三角形；
（2）连结CE交AD于点H，若∠DCE＝45°，求EH的长．
24．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝AC，E是AC边上的中点，D是射线AB上的一点，连结DE，过B点作BF⊥DE于F．
（1）求AC的长度．
（2）若点D在线段AB上．
①若BD＝CE时，求证：DF＝EF．
②若△ADE是等腰三角形，求AD的长．
（3）点A关于直线BF的对称点为A′，当A′、B、E三点共线时，求AA′＝ （请直接写出答案）．
参考答案
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分）
1．下面图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．下列长度的三条线段（单位：cm），能组成三角形的是（ ）
A．1，2，4 B．2，4，6 C．2，6，7 D．5，7，13
【分析】根据三角形三边关系定理判断即可．
解：A．∵1+2＜4，∴不能组成三角形，故A不符合题意；
B．∵2+4＝6，∴不能组成三角形，故B不符合题意；
C．∵2+6＞7，∴能组成三角形，故C符合题意
D．∵5+7＝13，∴不能组成三角形，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边是解题的关键．
3．△ABC中，∠A＝40°，∠B＝80°，则∠C为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【分析】利用三角形的内角和定理即可求解．
解：∵∠A＝40°，∠B＝80°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝60°．
故选：A．
【点评】本题主要考查三角形内角和定理，解答的关键是熟记三角形的内角和为180°．
4．如图，AD是△ABC的中线，则下列结论正确的是（ ）
A．AB＝AC B．BD＝CD C．BD＝AD D．AC＝AD
【分析】根据三角形的中线的定义即可判断．
解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
故选：B．
【点评】本题考查三角形的中线的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
5．在数轴上表示不等式﹣1≤x＜2，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】不等式﹣1≤x＜2在数轴上表示不等式x≥﹣1与x＜2两个不等式的公共部分．
解：“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆圈向左画折线．
故在数轴上表示不等式﹣1≤x＜2如下：
故选：B．
【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”的法则是解答此题的关键．
6．如图，要测量中心湖两岸相对两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD＝BC，再在BF的垂线DG上取点E，使点A，C，E在一条直线上，可得△ABC≌△EDC．判定全等的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．
解：在△ABC和△EDC中
，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
依据是两角及这两角的夹边对应相等．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形全等的判定方法，熟记判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL是解决问题的关键．
7．下列选项中，可以用来证明命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题的反例是（ ）
A．a＝﹣2，b＝1 B．a＝2，b＝3 C．a＝3，b＝﹣2 D．a＝2，b＝﹣3
【分析】据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．
解：∵当a＝2，b＝﹣3时，（﹣3）2＞22，但是﹣3＜2，
∴a＝2，b＝﹣3是假命题的反例．
故选：D．
【点评】此题考查的是命题与定理，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可这是数学中常用的一种方法．
8．小李用7块长为8cm，宽为3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AB＝BC，∠ABC＝90°），点B在DE上，点A和C分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为（ ）
A．36 B．32 C．28 D．21
【分析】根据题意可得AB＝BC，∠ABC＝90°，AD⊥DE，CE⊥DE，进而得到∠ADB＝∠BEC＝90°，再根据等角的余角相等可得∠ABD＝∠BCE，再证明△ABD≌△BCE，利用全等三角形的性质进行解答．
解：由题意得AB＝BC，∠ABC＝90°，AD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB＝∠BEC＝90°，
∴∠ABD+∠CBE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ABD＝∠BCE，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（AAS）；
由题意得AD＝BE＝24cm，DB＝EC＝12cm，
∴DE＝DB+BE＝36cm，
答：两堵木墙之间的距离为36cm．
故选：A．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，解题的关键是正确找出证明三角形全等的条件．
9．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（ ）
A．60° B．45° C．30° D．25°
【分析】先根据图形折叠的性质得出BC＝CE，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出CE＝AE＝BE，进而可判断出△BEC是等边三角形，由等边三角形的性质及直角三角形两锐角互余的性质即可得出结论．
解：∵△BCD沿CD折叠，
∴BC＝CE，
∵E为AB中点，∠ACB＝90°，
∴CE＝BE＝AE，
∴△BEC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴∠A＝90°﹣60°＝30°，
故选：C．
【点评】此题考查了翻折的性质，熟记翻折的性质是解题的关键．
10．如图，边长为5的大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，连结AF并延长交CD于点M．若AH＝GH，则CM的长为（ ）
A． B． C．1 D．
【分析】过点M作MN⊥FC于点N，设FA与GH交与点K，L利用已知条件和正方形的性质得到△ABF为等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一性质，平行线的性质，对顶角相等和等量代换得到△MCF为等腰三角形，再利用等腰三角形的三线合一的性质和平行线分线段成比例定理解答即可得出结论．
解：过点M作MN⊥FC于点N，设FA与GH交与点K，如图，
∵四边形EFGH是正方形，
∴HE＝HG＝GF＝EF，AH∥GF，
∵AH＝GH，
∴AH＝HE＝GF＝EF．
由题意得：Rt△ABE≌Rt△BCF≌Rt△ADH≌Rt△CDG，
∴BE＝CF＝AH＝DG，∠BAE＝∠DCG．
∴BE＝EF＝GF＝FC．
∵AE⊥BF，
∴AB＝AF，
∴∠BAE＝∠FAE，
∴∠DCG＝∠FAE，
∵AH∥GF，
∴∠FAE＝∠GFK．
∵∠GFK＝∠CFM，
∴∠CFM＝∠DCG，
∴MF＝MC，
∵MN⊥FC，
∴CN＝NF＝CF，
∴CN＝CG．
∵MN⊥CG，DG⊥CG，
∴MN∥DG，
∴，
∵CD＝5，
∴CM＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，依据题意恰当的添加辅助线是解题的关键．
二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）
11．等腰三角形的顶角为80°，则底角等于 50° ．
【分析】因为等腰三角形的两个底角的度数相等，再依据三角形的内角和是180度，即可分别求出三角形的底角的度数．
解：（180°﹣80°）÷2
＝100°÷2
＝50°．
故答案为：50°．
【点评】考查了等腰三角形的性质，解答此题的主要依据是：等腰三角形的特点以及三角形的内角和定理．
12．“x的2倍与1的差比y小”用不等式表示为 2x﹣1＜y ．
【分析】根据“x的2倍与1的差比y小”，即可列出不等式，此题得解．
解：依题意得2x﹣1＜y，
故答案为：2x﹣1＜y．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出不等式是解题的关键．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AC＝5，BC＝12，则CD＝ 6.5 ．
【分析】利用勾股定理求出AB，再利用直角三角形斜边上的中线的性质解决问题即可．
解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝，
∵D为AB的中点，
∴AD＝BD，
∴CD＝AB＝6.5．
故答案为：6.5．
【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14．命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是： 两直线平行，同位角相等 ．
【分析】把一个命题的题设和结论互换就得到它的逆命题．
解：命题：“同位角相等，两直线平行．”的题设是“同位角相等”，结论是“两直线平行”．
所以它的逆命题是“两直线平行，同位角相等．”
故答案为：“两直线平行，同位角相等”．
【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
15．如图，在△ABC中，D是AC延长线上一点，∠A＝50°，∠B＝70°，则∠BCD＝ 120° ．
【分析】利用三角形外角的性质解答即可．
解：∵∠A＝50°，∠B＝70°，∠BCD是△ABC的外角，
∴∠BCD＝∠A+∠B＝50°+70°＝120°．
故答案为：120°．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解题的关键是熟记三角形外角与内角的关系，即三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和．
16．若a＞b，且（6﹣x）a＜（6﹣x）b，则x的取值范围是 x＞6 ．
【分析】根据不等式的基本性质解答即可．
解：∵a＞b，且（6﹣x）a＜（6﹣x）b，
∴6﹣x＜0，
解得x＞6．
故答案为：x＞6．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，掌握不等式的基本性质是解答本题的关键．
17．如图，以直角三角形ABC的三条边为边长，向形外分别作正方形，连结CG，其中正方形ACDE和正方形ABGF的面积分别为1和5，则CG长为 ．
【分析】连结AH，由正方形ACDE和正方形ABGF的面积分别为1和5，得AC2＝1，AB2＝5，则AC＝1，而∠ACB＝90°，由勾股定理得BC2＝AB2﹣AC2＝4，则BC＝2，所以CI＝HI＝BC＝2，再证明A、C、I三点在同一条直线上，则AI＝AC+CI＝3，根据勾股定理求得HA＝＝，再证明△GBC≌△ABH，得CG＝HA＝．
解：连结AH，
∵正方形ACDE和正方形ABGF的面积分别为1和5，
∴AC2＝1，AB2＝5，GB＝AB，
∴AC＝1，
∵∠ACB＝90°，
∴BC2＝AB2﹣AC2＝5﹣1＝4，
∴BC＝2，
∵四边形BDIH是正方形，
∴CI＝HI＝BC＝2，∠ICB＝90°，CB＝HB，
∴∠ACB+∠ICB＝180°，
∴A、C、I三点在同一条直线上，
∴AI＝AC+CI＝1+2＝3，
∴HA＝＝＝，
∵∠ABG＝∠CBH＝90°，
∴∠GBC＝∠ABH＝90°+∠ABC，
在△GBC和△ABH中，
，
∴△GBC≌△ABH（SAS），
∴CG＝HA＝，
∴CG的长为，
故答案为：．
【点评】此题重点考查正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线并且证明△GBC≌△ABH是解题的关键．
18．如图．已知在长方形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E，F分别在边AD，BC上，连结BD，BE，DF．将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻折后，点A，C分别落在BD上的G，H处，连结CG，则四边形CGHF的周长为 ．
【分析】由四边形ABCD是矩形，得∠A＝∠DCB＝90°，AB＝DC＝6，AD＝BC＝8，根据勾股定理求得BD＝10，再由翻折得GB＝AB＝6，DH＝DC＝6，∠DHF＝∠DCF＝90°，HF＝CF，则GD＝BD﹣GB＝4，BH＝BD﹣DH＝4，再根据勾股定理列方程42+HF2＝（8﹣HF）2，求得HF＝CF＝3；由＝＝，求得S△GCD＝，则×6GL＝，得GL＝，由勾股定理求得DL＝，则CL＝DC﹣DL＝，即可由勾股定理求得CG＝，而GH＝GB﹣BH＝2，即可求得四边形CGHF的周长为．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠DCB＝90°，AB＝DC＝6，AD＝BC＝8，
∴BD＝＝＝10，
由翻折得GB＝AB＝6，DH＝DC＝6，∠DHF＝∠DCF＝90°，HF＝CF，
∴GD＝BD﹣GB＝4，BH＝BD﹣DH＝4，∠BHF＝180°﹣∠DHF＝90°，
∵BH2+HF2＝BF2，且BF＝8﹣CF＝8﹣HF，
∴42+HF2＝（8﹣HF）2，
∴HF＝CF＝3，
∵S△BCD＝×6×8＝24，且＝＝＝，
∴S△GCD＝×24＝，
作GL⊥CD于点L，则CD•GL＝S△GCD＝，
∴×6GL＝，
∴GL＝，
∴DL＝＝＝，
∵CL＝DC﹣DL＝6﹣＝，
∴CG＝＝＝，
∵GH＝GB﹣BH＝2，
∴GH+HF+CF+CG＝2+3+3+＝，
∴四边形CGHF的周长为，
故答案为：．
【点评】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
三、解答题（本题有6小题，共46分，解答需写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程）
19．在3×3的方格图中，有三个小正方形格子被涂成阴影，请在剩下的7个白色格子中选择2个格子，将它涂上阴影，使得整个图形是一个轴对称图形，要求画出三种不同形状的图形．
【分析】根据轴对称图形的概念作图即可．
解：如图所示：
【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，关键是掌握轴对称图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合．
20．如图，在△ABC中，AC＝BC，CD平分△ABC的外角∠ACE，试说明CD∥AB的理由．
解：∵AC＝BC（已知），
∴∠A＝∠ B （ 等边对等角 ）
∵CD平分∠ACE（已知）
∴∠ACD＝∠ECD（ 角平分线的定义 ）
∵∠ACE＝∠A+∠B（ 三角形外角的性质 ）
∴∠ACE＝2∠A，∠ACE＝2∠ACD．
∴∠A＝∠ ACD （等量的传递性）．
∴AB∥FE（ 内错角相等，两直线平行 ）
【分析】由已知条件∠A＝∠B，由角平分线的定义得出∠ABD＝∠DBC，再根据三角形外角的性质和等量的传递性得出∠A＝∠ACD，由平行线的判定方法即可得出AB∥FE．
解：∵AC＝BC（已知），
∴∠A＝∠B（等边对等角），
∵CD平分∠ACE（已知），
∴∠ACD＝∠ECD（角平分线的定义），
∵∠ACE＝∠A+∠B（三角形外角的性质），
∴∠ACE＝2∠A，∠ACE＝2∠ACD．
∴∠A＝∠ACD（等量的传递性）．
∴AB∥FE（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：B，等边对等角，角平分线的定义，三角形外角的性质，ACD，内错角相等，两直线平行．
【点评】本题考查了平行线的判定、角平分线的定义；熟练掌握平行线的判定，并能进行推理论证是解决问题的关键．
21．已知x＜y，请比较与的大小，并说明理由．
【分析】根据不等式性质1和不等式性质2进行变形即可证明．
解：＞，理由如下：
∵x＜y，
∴﹣3x＞﹣3y（不等式性质2），
∴＞（不等式性质1）．
【点评】本题考查了不等式的性质，解题关键是熟知不等式的性质，并能根据性质对不等式进行变形．
22．如图，点B，D，C在一条直线上，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE．
（1）求证：BC＝DE．
（2）若∠B＝65°，求∠CDE的度数．
【分析】（1）根据SAS证明△BAC≌△DAE，即可得出结论；
（2）根据△BAC≌△DAE，∠B＝65°，得出∠ADB＝∠ADE＝∠B＝65°，再根据平角等于180°即可求解．
【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAC＝∠DAE，
在△BAC与△DAE中，
，
∴△BAC≌△DAE（SAS），
∴BC＝DE；
（2）解：∵AB＝AD，∠B＝65°，
∴∠ADB＝∠B＝65°，
∵△BAC≌△DAE，
∴∠ADE＝∠B＝65°，
∴∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB
＝180°﹣2×65°
＝50°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，AD是边BC上的高线，过点D作DE∥AC交AB于点E．
（1）求证：△ADE是等腰三角形；
（2）连结CE交AD于点H，若∠DCE＝45°，求EH的长．
【分析】（1）利用等腰三角形三线合一的性质得出BD＝CD，进而证得DE是三角形中位线，根据直角三角形斜边上中线的性质得到结论；
（2）作EG∥BC，交AD于G，根据三角形中位线的性质定理、平行线分线段成比例定理以及等腰直角三角形的性质，得出EH＝CH，AD＝3DC，利用勾股定理求得CD，进一步求得CH，进而求得EH．
【解答】（1）证明：在△ABC中，AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵DE∥AC，
∴AE＝BE，
∴DE＝AB＝AE，
∴△ADE是等腰三角形；
（2）解：作EG∥BC，交AD于G，
∵AE＝BE，
∴AG＝DG，
∴EG＝BD＝CD，
∵EG∥BC，
∴＝＝＝，
∴GH＝DH，EH＝CH，
∵AD⊥BC，∠DCE＝45°，
∴△CDH是等腰直角三角形，
∴DH＝DC，
∴AD＝3DC，
∵AB＝AC＝2，AC2＝AD2+DC2，
∴40＝9DC2+DC2，
∴DC＝2，
∴DH＝DC＝2，
∴CH＝＝2，
∴EH＝CH＝，
∴EH的长为．
【点评】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，平行线的性质，三角形中位线的判定和性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键．
24．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝AC，E是AC边上的中点，D是射线AB上的一点，连结DE，过B点作BF⊥DE于F．
（1）求AC的长度．
（2）若点D在线段AB上．
①若BD＝CE时，求证：DF＝EF．
②若△ADE是等腰三角形，求AD的长．
（3）点A关于直线BF的对称点为A′，当A′、B、E三点共线时，求AA′＝ 或 （请直接写出答案）．
【分析】（1）设AC＝5k，BC＝3k，利用勾股定理构建方程求解即可；
（2）①利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可；
②分三种情形：DA＝DE，AE＝AD，EA＝ED，分别求解即可；
（3）分两种情形：如图3﹣1中，当点A′落在BE的延长线上时，取AB的中点K，连接EK，过点A作AR⊥BA′于点R．利用面积法求出AR，再利用勾股定理求解．当点A′落在EB的延长线上时，同法可求．
【解答】（1）解：∵BC＝AC，
∴可以假设AC＝5k，BC＝3k，
∵∠ABC＝90°，AB＝8，
∴（5k）2﹣（3k）2＝82，
∴k2＝4，
∵k＞0，
∴k＝2，
∴BC＝6，AC＝10；
（2）①证明：如图1中，连接BE．
∵∠ABC＝90°，AE＝EC，
∴BE＝AC＝AE＝EC，
∵BD＝EC，
∴BD＝BE，
∵BF⊥DE，
∴DF＝EF；
②解：如图2中，当DA＝DE时，取AB的中点K，连接EK．
∵AE＝EC，AK＝KB，
∴EK∥BC，EK＝BC＝3，
设AD＝ED＝x，
在Rt△DEK中，x2＝（4﹣x）2+32，
∴x＝．
当AD＝AE＝5时，△ADE是等腰三角形．
当EA＝ED时，点D与B重合，此时AD＝AB＝8．
综上所述，满足条件的AD的值为或5或8；
（3）解：如图3﹣1中，当点A′落在BE的延长线上时，取AB的中点K，连接EK，过点A作AR⊥BA′于点R．
∵•AB•EK＝•EB•AR，
∴AR＝，
∴ER＝＝＝，
∴A′R＝BA′﹣BE﹣ER＝8﹣5﹣＝，
∴AA′＝＝＝；
当点A′落在EB的延长线上时，同法可得AR＝，A′R＝，
∴AA′＝＝＝．
综上所述，满足条件的AA′的值为或．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，轴对称变换等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．
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