高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册5.2 导数的运算课时作业

这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册5.2 导数的运算课时作业，共10页。试卷主要包含了函数y=x2cs x的导数为，下列求导运算错误的是，求下列函数的导数，故选B等内容，欢迎下载使用。

题组一 函数的和、差、积、商的导数
1.(2020江苏苏州高二下期中)导数公式“f(x)g(x)'=g2(x)”中分子应为( )
A.f(x)g'(x)-f'(x)g(x) B.f'(x)g(x)-f(x)g'(x)
C.f(x)g(x)-f'(x)g'(x) D.f'(x)g'(x)-f(x)g(x)
2.函数y=x2cs x的导数为( )
A.y'=2xcs x-x2sin x B.y'=2xcs x+x2sin x
C.y'=x2cs x-2xsin x D.y'=xcs x-x2sin x
3.(2020江苏南京中华中学高二上阶段性考试)已知函数f(x)=2sin x+cs x,则f'(π)=( )
A.2 B.-2 C.1 D.-1
4.(2021江苏淮安马坝高级中学高三上期中)f(x)=ax3+x2+2,若f'(1)=5,则a的值为( )
A.1 B.2 C.115 D.3
5.(多选)(2020江苏徐州高二下期中改编)下列求导运算错误的是( )
A.(2x2)'=2x B.(ex)'=ex
C.(ln x)'=-1x D.x+1x'=1+1x2
6.(2020江苏南京师范大学附属中学高二下期中)已知函数f(x)=xx2+3,则f'(0)= .
7.已知函数f(x),g(x)满足f(5)=5,f'(5)=3,g(5)=4,g'(5)=1,若h(x)=f(x)+2g(x),则h'(5)= .
8.求下列函数的导数.
(1)f(x)=(x+2)(x-3);
(2)f(x)=lg x-3x;
(3)f(x)=11-x+11+x;
(4)f(x)=sinx1+sinx.
题组二 求导法则的综合应用
9.(2020江苏徐州高二下期中)已知函数f(x)=x2+2xf'(1),则f'(0)=( )
A.-4 B.4 C.-2 D.2
10.(2020江苏连云港海头高级中学高二下四检)曲线y=ex-ln x在点(1,e)处的切线方程为( )
A.(1-e)x-y+1=0 B.(1-e)x-y-1=0
C.(e-1)x-y+1=0 D.(e-1)x-y-1=0
11.(2020广东清远高二下期末)将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品,需要对原油进行冷却和加热.已知在第x h时,原油温度(单位:℃)为y=f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8),则第4 h时,原油温度的瞬时变化率为( )
A.-1 B.1 C.3 D.5
12.(2020江苏宿迁高二下期中)设曲线y=x+1x-2在点(1,-2)处的切线与直线ax-by+c=0垂直,则ab的值为( )
A.13 B.-13 C.3 D.-3
13.曲线y=x3+3x2+6x-10的所有切线中,斜率最小的切线方程为 .
14.(2019江苏扬州中学高二上期中)设函数f(x)=ax-bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.
(1)求y=f(x)的解析式;
(2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,并求此定值.
能力提升练
题组 导数的四则运算法则及其应用
1.(2020江苏宿迁宿豫中学高二下月考,)设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处切线的倾斜角的取值范围为0,π4,则点P横坐标的取值范围为 ( )
A.-1,-12 B.[-1,0]
C.[0,1] D.12,1
2.(2020湖南长沙长郡中学高二上期末,)下面四个图象中,有一个是函数f(x)=13x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R)的导函数y=f'(x)的图象,则f(-1)=( )
A.13 B.-23
C.73 D.-13或53
3.(2020山东平邑、沂水高二下期中联考,)一个质量m=5 kg的物体作直线运动,设位移s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s(t)=t+12t2表示,并且物体的动能Ek=12mv2(v为物体运动速度,单位:J),则物体开始运动后第7 s时的动能是( )
A.160 J B.165 J C.170 J D.175 J
4.(多选)(2020江苏镇江丹阳吕叔湘中学高二下期中,)过点A(a,0)作曲线C:y=xex的切线有且仅有两条,则实数a可能的值是( )
A.0 B.2 C.-ln e5 D.e
5.(多选)(2020江苏宿迁高二下期中,)已知f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-20),下列结论正确的是( )
(注:n!=n·(n-1)·(n-2)·…·3·2·1)
A.f'(0)=20! B.f'(1)=19!
C.f'(1)=-19! D.f'(20)=-20!
6.(2020江苏徐州丰县中学高二下期末,)已知f(x)=ln x,g(x)=12x2+mx+72(m<0),直线l与函数y=f(x),y=g(x)的图象都相切,且与函数y=f(x)的图象的切点为(1,f(1)),则m的值为 .
7.(2020湖南长沙长郡中学高二上期末,)已知函数f(x)=13x3-2x2+3x(x∈R)的图象为曲线C.
(1)求曲线C上任意一点的切线的斜率的取值范围;
(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线,求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围.
8.()如图,直线x+2y-4=0与抛物线y2=4x相交于A,B两点,O是坐标原点,试在抛物线的AOB上求一点P,使△ABP的面积最大.
9.()已知函数f(x)(x∈(0,+∞))的导函数为f'(x),且满足xf'(x)-2f(x)=x3ex,f(1)=e-1,求f(x)的图象在点(2, f(2))处的切线方程.
答案全解全析
5.2.2 函数的和、差、积、商的导数
基础过关练
1.B 由公式f(x)g(x)'=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)g2(x)
知分子为f'(x)g(x)-f(x)g'(x).故选B.
2.A 对函数y=x2cs x求导,得y'=2xcs x+x2·(-sin x)=2xcs x-x2sin x.故选A.
3.B 由已知得f'(x)=2cs x-sin x,所以f'(π)=2cs π-sin π=-2.故选B.
4.A 由题意得f'(x)=3ax2+2x,则f'(1)=3a+2=5,解得a=1.故选A.
5.ACD (2x2)'=4x,(ex)'=ex,(ln x)'=1x,x+1x'=1-1x2,只有B中运算正确.故选ACD.
6.答案 13
解析 ∵f(x)=xx2+3,
∴f'(x)=(x2+3)-2x2(x2+3)2=3-x2(x2+3)2,
∴f'(0)=13.
7.答案 516
解析 由题意得,
h'(x)=f'(x)g(x)-[f(x)+2]g'(x)[g(x)]2,
由f(5)=5,f'(5)=3,g(5)=4,g'(5)=1,
得h'(5)=f'(5)g(5)-[f(5)+2]g'(5)[g(5)]2
=3×4-(5+2)×142=516.
8.解析 (1)∵f(x)=(x+2)(x-3)=x2-x-6,
∴f'(x)=(x2-x-6)'=2x-1.
(2)f'(x)=(lg x)'-(3x)'=1xln10-3xln 3.
(3)∵f(x)=11-x+11+x=1+x+1-x1-x=21-x,
∴f'(x)=21-x'=-2(1-x)'(1-x)2=2(1-x)2.
(4)∵f(x)=sinx1+sinx=1-11+sinx,
∴f'(x)=0-11+sinx'
=--(1+sinx)'(1+sinx)2=csx(1+sinx)2.
9.A 由f(x)=x2+2xf'(1),得f'(x)=2x+2f'(1),令x=1,则f'(1)=2×1+2f'(1),
解得f'(1)=-2,令x=0,所以f'(0)=2×0+2f'(1)=-4.故选A.
10.C 记f(x)=ex-ln x,则f'(x)=e-1x,所以曲线y=ex-ln x在点(1,e)处的切线斜率为f'(1)=e-11=e-1,所以曲线y=ex-ln x在点(1,e)处的切线方程为y-e=(e-1)(x-1),整理得(e-1)x-y+1=0,故选C.
11.答案 B
信息提取 (1)原油的温度y与时间x的关系式为y=f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8);(2)求f'(4).
数学建模 本题以化工生产中的原油提炼为背景构建函数模型,利用导数知识解决原油温度的瞬时变化率问题,求x=4时原油温度的瞬时变化率,实质就是求x=4时,f(x)的导数值.
解析 第4 h时,原油温度的瞬时变化率为f'(4),因为f(x)=x2-7x+15,所以f'(x)=2x-7,则f'(4)=1.故选B.
12.A 由y=x+1x-2,可得y'=x-2-x-1(x-2)2=-3(x-2)2,
所以当x=1时,y'=-3,即曲线y=x+1x-2在点(1,-2)处的切线的斜率为-3,
因为曲线y=x+1x-2在点(1,-2)处的切线与直线ax-by+c=0垂直,
所以ab×(-3)=-1,解得ab=13.故选A.
思想方法
已知曲线在某点处的切线方程求参数的取值时常利用方程思想求解,即利用切点为曲线与切线的公共点以及导数的几何意义列出关于参数的方程(组),解方程(组)即得所求.
13.答案 3x-y-11=0
解析 ∵y=x3+3x2+6x-10,
∴y'=3x2+6x+6=3(x2+2x+2)
=3(x+1)2+3≥3,
∴当x=-1时,y'最小,即切线的斜率最小,此时切点为(-1,-14),
∴切线方程为y+14=3(x+1),
即3x-y-11=0.
14.解析 (1)方程7x-4y-12=0可化为y=74x-3,当x=2时,y=12.
因为f(x)=ax-bx,所以f'(x)=a+bx2,
所以2a-b2=12,a+b4=74,解得a=1,b=3,
故f(x)=x-3x.
(2)由(1)知f'(x)=1+3x2.设P(x0,y0)为曲线y=f(x)上任一点,由f'(x)=1+3x2知,曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=1+3x02(x-x0),即y-x0-3x0=1+3x02(x-x0).
令x=0得,y=-6x0,所以切线与直线x=0的交点坐标为0,-6x0.
令y=x,得y=x=2x0,所以切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).
所以曲线在点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为12×-6x0×|2x0|=6.
所以曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,此定值为6.
能力提升练
1.A 因为y=x2+2x+3,所以y'=2x+2,所以曲线C在点P处切线的斜率为2x+2,又因为曲线C在点P处切线的倾斜角的取值范围为0,π4,所以0≤2x+2≤1,解得-1≤x≤-12,故选A.
2.D 因为f'(x)=x2+2ax+a2-1,所以y=f'(x)的图象开口向上,排除②④.若y=f'(x)的图象为①,则a=0,f(-1)=53;若y=f'(x)的图象为③,则a2-1=0,得a=±1.又对称轴为直线x=-a,则-a>0,所以a=-1,所以f(-1)=-13.故选D.
3.答案 A
信息提取 (1)某物体质量m=5 kg;(2)位移s与时间t的关系式为s(t)=t+12t2;(3)Ek=12mv2;
(4)求t=7时的动能.
数学建模 本题以物理中的动能问题为背景构建函数模型,利用导数知识解决物理问题.对s(t)求导得到v(t),计算出t=7时的速度,由公式求出动能.
解析 由题意得s'(t)=1+t,即v(t)=1+t,所以v(7)=8,所以Ek=12×5×82=160(J).
4.BCD 设切点坐标为(x0,x0ex0),易得y'=(x+1)ex,所以当x=x0时,y'=(x0+1)ex0,
所以切线方程为y-x0ex0=(x0+1)ex0(x-x0),将点A(a,0)代入可得-x0ex0=(x0+1)·ex0(a-x0),化简得x02-ax0-a=0,因为过点A(a,0)作曲线C的切线有且仅有两条,所以方程x02-ax0-a=0有两个不同的实数解,则Δ=a2+4a>0,解得a>0或a<-4,故实数a的取值范围是(-∞,-4)∪(0,+∞).
结合选项可知B、C、D正确.故选BCD.
方法点拨
已知过定点的直线与曲线有两条切线,求参数的取值范围,可转化为关于切点的方程有两个实数根,利用判别式大于0构建关于参数的不等式(组),进而求得该参数的取值范围.
5.AC ∵f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-20),
∴f'(x)=(x-1)(x-2)…(x-20)+x(x-2)·…·(x-20)+x(x-1)(x-3)…(x-20)+…+x(x-1)…(x-19),∴f'(0)=(-1)×(-2)×…×(-20)=20!,故A正确;f'(1)=1×(-1)×(-2)×…×(-19)=-19!,故B错误,C正确;f'(20)=20×19×…×1=20!,故D错误.故选AC.
6.答案 -2
解析 由题意得f'(x)=1x, 故直线l的斜率为f'(1)=1,易求得切点为(1,0),故直线l的方程为y=x-1,
由y=12x2+mx+72,y=x-1消去y得,x2+2(m-1)x+9=0,故Δ=4(m-1)2-4×9=0,解得m=-2(m=4舍去).
7.解析 (1)由题意得f'(x)=x2-4x+3,
则f'(x)=(x-2)2-1≥-1,
即曲线C上任意一点的切线的斜率的取值范围是[-1,+∞).
(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k,则由条件和(1)中结论可知,
k≥-1,-1k≥-1,解得-1≤k<0或k≥1,即-1≤x2-4x+3<0或x2-4x+3≥1,解得x∈(-∞,2-2]∪(1,3)∪[2+2,+∞).
8.解析 因为|AB|为定值,所以要使△ABP的面积最大,只要点P到AB的距离最大即可,即点P是抛物线的切线中平行于AB的切线的切点,所以易得点P在x轴下方的图象上,设P(x,y).
所以y=-2x,所以y'=-1x.
因为kAB=-12,所以-1x=-12,解得x=4.由y=-2x,得y=-4,
所以点P的坐标为(4,-4).
9.解析 ∵xf'(x)-2f(x)=x3ex,x∈(0,+∞),∴xf'(x)-2f(x)x3=ex.
令g(x)=f(x)x2,
则g'(x)=xf'(x)-2f(x)x3=ex,
∴g(x)=f(x)x2=ex+c(c为常数),
∴f(x)=x2(ex+c)(c为常数).
又f(1)=e+c=e-1,∴c=-1,∴f(x)=x2(ex-1),
∴f'(x)=2x(ex-1)+x2ex=(x2+2x)ex-2x,∴f'(2)=8e2-4.
又f(2)=4(e2-1),∴所求切线方程为y-4(e2-1)=(8e2-4)(x-2),即y=(8e2-4)x-12e2+4.