高中第5章 导数及其应用5.1 导数的概念学案设计

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下面是我国北方某地某日气温日变化曲线图．
[问题] (1)从图中可以看出，从6时到10时为“气温陡增”的时段，它的数学意义是什么？
(2)如何比较不同时间段内的气温变化的大小？例如：假设6时的气温是25 ℃，10时的气温是29 ℃，12时的气温是30 ℃，那么如何比较从6时到10时与从10时到12时气温变化的大小？



知识点 函数的平均变化率
函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为eq \f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)．
eq \a\vs4\al()
1．平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．
2．平均变化率可正可负，也可为零．但是，若函数在某区间上的平均变化率为0，不能说明该函数在此区间上的函数值都相等．
1．函数f(x)＝x2在[1，3]上的平均变化率为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
答案：A
2．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上两点A，B，且xA＝1，xB＝1.1，则直线AB的斜率为( )
A．4 B．4x
C．4.2 D．4.02
答案：C
[例1] (链接教科书第174页例1)某病人吃完退烧药，他的体温变化如图所示．
(1)试分别求当x从0 min变化到20 min及x从20 min变化到30 min体温y相对于时间x的平均变化率；
(2)利用(1)的结果说明哪段时间体温变化较快？
[解] (1)当时间x从0 min变到20 min时，体温y相对于时间x的平均变化率为eq \f(38.5－39,20－0)＝－0.025(℃/min)．
当时间x从20 min变到30 min体温y相对于时间x的平均变化率为eq \f(38－38.5,30－20)＝－0.05(℃/min)．
(2)由(1)知|－0.05|>|－0.025|，
故体温从20 min到30 min这段时间下降得比0 min到20 min这段时间要快．
eq \a\vs4\al()
由函数图象求函数平均变化率的步骤
第一步：求自变量的增量Δx＝x2－x1；
第二步：借助图象求函数值的增量Δy＝y2－y1；
第三步：求平均变化率eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(y2－y1,x2－x1).
[跟踪训练]
地高辛是用来治疗心脏病的一种药物，若某病人血液中地高辛的初始剂量为0.5 mg，且x天后血液中剩余的剂量为y mg，y与x的部分数据如下表所示：
将y看成x的函数，分别求函数在[0，2]和[3，5]上的平均变化率．
解：f(x)在[0，2]上的平均变化率为eq \f(0.238－0.5,2－0)＝－0.131，
f(x)在[3，5]上的平均变化率为eq \f(0.078－0.164,5－3)＝－0.043.
[例2] (链接教科书第175页例3)已知函数f(x)＝3x2＋5，求f(x)：
(1)在区间[0.1，0.2]上的平均变化率；
(2)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率．
[解] (1)因为f(x)＝3x2＋5，
所以函数f(x)在区间[0.1，0.2]上的平均变化率为
eq \f(f（0.2）－f（0.1）,0.2－0.1)＝eq \f(3×0.22＋5－3×0.12－5,0.2－0.1)＝0.9.
(2)f(x0＋Δx)－f(x0)
＝3(x0＋Δx)2＋5－(3xeq \\al(2,0)＋5)
＝3xeq \\al(2,0)＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3xeq \\al(2,0)－5
＝6x0Δx＋3(Δx)2.
函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为
eq \f(6x0Δx＋3（Δx）2,Δx)＝6x0＋3Δx.
eq \a\vs4\al()
1．求函数平均变化率的三个步骤
第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1；
第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)；
第三步，求平均变化率eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f（x2）－f（x1）,x2－x1).
2．求平均变化率的一个关注点
求点x0附近的平均变化率，可用eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)的形式．
[跟踪训练]
已知函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．
解：自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为
eq \f(f（2）－f（1）,2－1)＝eq \f(2＋\f(1,2)－（1＋1）,1)＝eq \f(1,2)；
自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为eq \f(f（5）－f（3）,5－3)＝eq \f(5＋\f(1,5)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3＋\f(1,3))),2)＝eq \f(14,15).
因为eq \f(1,2)所以函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)在自变量x从3变到5时函数值变化得较快．
[例3] 某物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)＝sin t，t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
(1)分别求s(t)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))和eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上的平均速度；
(2)比较(1)中两个平均速度的大小，说明其几何意义．
[解] (1)物体在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))上的平均速度为
eq \x\t(v)1＝eq \f(s（t2）－s（t1）,t2－t1)＝eq \f(s\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))－s（0）,\f(π,4)－0)＝eq \f(\f(\r(2),2)－0,\f(π,4))＝eq \f(2\r(2),π).
物体在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上的平均速度为
eq \x\t(v)2＝eq \f(s\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))－s\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4))),\f(π,2)－\f(π,4))＝eq \f(1－\f(\r(2),2),\f(π,4))＝eq \f(4－2\r(2),π).
(2)由(1)可知eq \x\t(v)1－eq \x\t(v)2＝eq \f(4\r(2)－4,π)>0，所以eq \x\t(v)2eq \a\vs4\al()
求物体运动的平均速度的主要步骤
(1)先计算位移的改变量s(t2)－s(t1)；
(2)再计算时间的改变量t2－t1；
(3)得平均速度v＝eq \f(s（t2）－s（t1）,t2－t1).
[跟踪训练]
一物体按运动方程s(t)＝eq \f(1,t)运动，则其从t1＝1到t2＝2的平均速度为( )
A．－1 B．－eq \f(1,2)
C．－2 D．2
解析：选B eq \x\t(v)＝eq \f(s（2）－s（1）,2－1)＝eq \f(1,2)－1＝－eq \f(1,2).
1．某物体的运动方程为s(t)＝1－t2，则该物体在[1，2]内的平均速度为( )
A．2 B．3
C．－2 D．－3
解析：选D eq \x\t(v)＝eq \f(（1－22）－（1－12）,2－1)＝－3.
2．函数f(x)＝5x－3在区间[a，b]上的平均变化率为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选C 平均变化率为eq \f(f（b）－f（a）,b－a)＝eq \f(5（b－a）,b－a)＝5.
3．物体从某一时刻开始运动，设s表示此物体经过时间t走过的路程，显然s是时间t的函数，表示为s＝s(t)．在运动的过程中测得了一些数据，如下表：
物体在0 s到2 s和10 s到13 s这两段时间内，哪一段时间运动得快？如何刻画物体运动的快慢？
解：通常用平均速度(即路程相对于时间的平均变化率)来比较运动的快慢．
在0 s到2 s这段时间内，物体的平均速度为eq \f(6－0,2－0)＝3(m/s)；
在10 s到13 s这段时间内，物体的平均速度为eq \f(32－20,13－10)＝4(m/s)．
显然，物体在后一段时间比前一段时间运动得快．
新课程标准解读
核心素养
1.通过实例分析，了解平均变化率的实际意义
数学抽象
2.体会平均变化率在实际生活中的应用
数学运算
由函数的图象求平均变化率
x
0
1
2
3
4
5
y
0.5
0.345
0.238
0.164
0.113
0.078
由函数解析式求平均变化率
求物体运动的平均速度
t/s
0
2
5
10
13
15
s/m
0
6
9
20
32
44