【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一第26练 导数的概念【讲义+习题】
展开第26练 导数的概念
一、选择题
1.甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图，则在[0，t0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是( )
A．v甲＞v乙 B．v甲＜v乙
C．v甲＝v乙 D．大小关系不确定
答案 B
解析 设直线AC，BC的斜率分别为kAC，kBC，
由平均变化率的几何意义知，s1(t)在[0，t0]上的平均变化率v甲＝kAC，
s2(t)在[0，t0]上的平均变化率v乙＝kBC.
因为kAC＜kBC，所以v甲＜v乙．
2．一物体的运动满足曲线方程s(t)＝4t2＋2t－3，且s′(5)＝42 m/s，其实际意义是( )
A．物体5 s内共走过42 m
B．物体每5 s运动42 m
C．物体从开始运动到第5 s运动的平均速度是42 m/s
D．物体在t＝5 s时的瞬时速度为42 m/s
答案 D
解析 由导数的物理意义知，s′(5)＝42 m/s表示物体在t＝5 s时的瞬时速度．
3．已知某物体的运动方程是s(t)＝t＋t3(s的单位：m，t的单位：s)，则当t＝3 s时的瞬时速度为( )
A．4 m/s
B．2 m/s
C．1 m/s
D. m/s
答案 A
解析
＝
＝4＋Δt＋(Δt)2，
当Δt无限趋近于0时，4＋Δt＋(Δt)2无限趋近于4，
所以当t＝3 s时的瞬时速度为4 m/s.
4．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么( )
A．f′(x0)>0 B．f′(x0)<0
C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在
答案 B
解析 根据导数的几何意义，f(x)在x0处的导数，
即f(x)在x0处切线的斜率，故f′(x0)＝－<0.
5.(多选)已知函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值的排序正确的是( )
A．f′(3)<f′(2)
B．f′(3)<f(3)－f(2)
C．f′(2)<f(3)－f(2)
D．f(3)－f(2)<0
答案 AB
解析 由函数的图象可知函数f(x)是单调递增的，所以函数图象上任意一点处的导函数值都大于零，并且由图象可知，函数图象在x＝2处的切线斜率k1大于在x＝3处的切线斜率k2，所以f′(2)>f′(3)．记A(2，f(2))，B(3，f(3))，作直线AB，则直线AB的斜率k＝＝f(3)－f(2)，由函数图象，可知k1>k>k2>0，即f′(2)>f(3)－f(2)>f′(3)>0.
二、填空题
6．函数y＝x2在区间[1,2]上的平均变化率为______．
答案 3
解析 函数y＝x2在区间[1,2]上的平均变化率为＝3.
7．若f′(x0)＝2，则 ＝________.
答案 －1
解析
＝－
＝－ f′(x0)＝－1.
8．已知f(x)＝x2＋ax，f′(1)＝4，则实数a的值为________．
答案 2
解析 由导数定义可求得f′(x)＝2x＋a，
依题意可知f′(1)＝2＋a＝4，a＝2.
9．已知f(x)＝x2，则曲线y＝f(x)在点(2,4)处的切线方程为________________．
答案 4x－y－4＝0
解析 由导数定义知，f′(x)＝2x，则f′(2)＝4，
∴曲线y＝f(x)在点(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，整理得4x－y－4＝0.
三、解答题
10．已知函数f(x)＝3x2＋5，求f(x)：
(1)从0.1到0.2的平均变化率；
(2)在0.2处的瞬时变化率．
解 (1)因为f(x)＝3x2＋5，
所以从0.1到0.2的平均变化率为
＝0.9.
(2)f(x0＋Δx)－f(x0)＝3(x0＋Δx)2＋5－(3x＋5)
＝3x＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3x－5
＝6x0Δx＋3(Δx)2，
所以函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为＝6x0＋3Δx.
所以在0.2处的瞬时变化率为
＝1.2.
