苏教版 (2019)选择性必修第一册5.1 导数的概念第2课时学案设计

这是一份苏教版 (2019)选择性必修第一册5.1 导数的概念第2课时学案设计，共10页。学案主要包含了平均速度，瞬时速度，瞬时加速度等内容，欢迎下载使用。

导语
同学们，上节课我们研究了几何中的割线斜率和切线斜率，在解决问题时，采用了“无限逼近”的思想，实现了由割线斜率到切线斜率的转化，反映到物理当中，就是研究某运动物体的瞬时速度的问题，但现实中，瞬时速度是否存在呢，比如大家在经过红绿灯路口时，容易发现，测速探头会在极短的时间内拍两次，然后看你发生的位移，这其实就是利用了极短时间内的平均速度来逼近瞬时速度，其原理也是“无限逼近”的思想，今天我们就具体来研究这一现象．
一、平均速度
问题1 平均速率是平均速度吗？
提示 平均速率不是平均速度．平均速率是物体通过路程与它通过这段路程所用的时间的比值，它是数量．例如一个物体围绕一个圆周(半径为r)运动一周，花的时间是t，平均速率是2πr/t，而平均速度为0.
知识梳理
平均速度
在物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度．
注意点：(1)平均速度反映一段时间内物体运动的平均快慢程度，它与一段位移或一段时间相对应．(2)平均速度是向量，其方向与一段时间Δt内发生的位移方向相同，与运动方向不一定相同．
例1 一质点的运动方程是s＝5－3t2，则在时间[1,1＋Δt]内相应的平均速度为( )
A．3Δt＋6 B．－3Δt＋6
C．3Δt－6 D．－3Δt－6
答案 D
解析 eq \x\t(v)＝eq \f(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(5－31＋Δt2))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5－3×12)),Δt)＝－6－3Δt.
反思感悟 在变速直线运动中，平均速度的大小与选定的时间或位移有关，不同时间段内或不同位移上的平均速度一般不同，必须指明求出的平均速度是对应哪段时间内或哪段位移的平均速度，不指明对应的过程的平均速度是没有意义的．
跟踪训练1 某质点的运动方程是f(x)＝x2－1，其在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，m))上的平均速度为3，则实数m的值为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
答案 D
解析 根据题意，该质点的平均速度为eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(m2－1－12－1,m－1)＝m＋1，
则有m＋1＝3，解得m＝2.
二、瞬时速度
问题2 瞬时速率与瞬时速度一样吗？
提示 瞬时速率是数量，只有大小，没有方向，而瞬时速度是标量，即是位移对时间的瞬时变化率，既有大小，又有方向，其大小是瞬时速率，方向是该点在轨迹上运动的切线的方向．
知识梳理
瞬时速度
一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率eq \f(St0＋Δt－St0,Δt)无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率．
注意点：(1)匀速直线运动中，平均速度即为瞬时速度；(2)在匀变速直线运动中，某一段时间的平均速度等于中间时刻的瞬时速度．
例2 某物体的运动路程S(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数S(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度．
解 在1到1＋Δt的时间内，物体的平均速度eq \x\t(v)＝eq \f(ΔS,Δt)＝eq \f(S1＋Δt－S1,Δt)
＝eq \f(1＋Δt2＋1＋Δt＋1－12＋1＋1,Δt)＝3＋Δt，
∴当Δt无限趋近于0时，eq \x\t(v)无限趋近于3，
∴S(t)在t＝1处的瞬时变化率为3.
即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s.
延伸探究
1．若本例中的条件不变，试求物体的初速度．
解 求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度．
∵eq \f(ΔS,Δt)＝eq \f(S0＋Δt－S0,Δt)
＝eq \f(0＋Δt2＋0＋Δt＋1－1,Δt)
＝1＋Δt，
∴当Δt无限趋近于0时，1＋Δt无限趋近于1，
∴S(t)在t＝0时的瞬时变化率为1，
即物体的初速度为1 m/s.
2．若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s?
解 设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s.
又eq \f(ΔS,Δt)＝eq \f(St0＋Δt－St0,Δt)
＝2t0＋1＋Δt.
∴当Δt无限趋近于0时，eq \f(ΔS,Δt)无限趋近于2t0＋1.
则2t0＋1＝9，∴t0＝4.
则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.
反思感悟 求运动物体瞬时速度的三个步骤
(1)求时间改变量Δt和位移改变量ΔS＝S(t0＋Δt)－S(t0)．
(2)求平均速度eq \x\t(v)＝eq \f(ΔS,Δt).
(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，eq \f(ΔS,Δt)无限趋近于的常数v即为瞬时速度．
跟踪训练2 (1)高台跳水运动员在t秒时距水面高度h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10(单位：米)，则该运动员的初速度为________米/秒．
答案 6.5
解析 eq \f(Δh,Δt)＝eq \f(－4.9Δt2＋6.5·Δt＋10－10,Δt)
＝6.5－4.9Δt，
∵当Δt无限趋近于0时，－4.9Δt＋6.5无限趋近于6.5，
∴该运动员的初速度为6.5米/秒．
(2)如果一个物体的运动方程S(t)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t2＋2，0≤t<3，,29＋3t－32，t≥3，))试求该物体在t＝1和t＝4时的瞬时速度．
解 当t＝1时，S(t)＝t2＋2，
则eq \f(ΔS,Δt)＝eq \f(S1＋Δt－S1,Δt)＝eq \f(1＋Δt2＋2－3,Δt)＝2＋Δt，
当Δt无限趋近于0时，2＋Δt无限趋近于2，
∴该物体在t＝1时的瞬时速度为2；
∵t＝4∈[3，＋∞)，
∴S(t)＝29＋3(t－3)2＝3t2－18t＋56，
∴eq \f(ΔS,Δt)＝eq \f(34＋Δt2－184＋Δt＋56－3×42＋18×4－56,Δt)
＝eq \f(3Δt2＋6·Δt,Δt)＝3·Δt＋6，
∴当Δt无限趋近于0时，3·Δt＋6无限趋近于6，即eq \f(ΔS,Δt)无限趋近于6，
∴该物体在t＝4时的瞬时速度为6.
三、瞬时加速度
知识梳理
瞬时加速度
一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率eq \f(vt0＋Δt－vt0,Δt)无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率．
注意点：瞬时速度就是位移对于时间的瞬时变化率；瞬时加速度就是速度对于时间的瞬时变化率．
例3 质点运动的速度v(单位：m/s)是时间t(单位：s)的函数，且v＝v(t)，则当Δt无限趋近于0时，eq \f(v1＋Δt－v1,Δt)表示( )
A．t＝1 s时的速度 B．t＝1 s时的加速度
C．t＝1 s时的位移 D．t＝1 s时的平均速度
答案 B
解析 当Δt无限趋近于0时，eq \f(v1＋Δt－v1,Δt)表示t＝1时刻的加速度．
反思感悟 瞬时加速度为状态量，反映某一时刻物体运动规律，是表征速度变化快慢的物理量．
跟踪训练3 一辆汽车从停止时开始加速行驶，并且在5秒内速度v(m/s)与时间t(s)的关系可近似地表示为v＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t))＝－t2＋10t，则汽车在时刻t＝1 s时的加速度为( )
A．9 m/s B．9 m/s2
C．8 m/s2 D．7 m/s2
答案 C
解析 由题意得，eq \f(Δv,Δt)＝eq \f(－t＋Δt2＋10t＋Δt＋t2－10t,Δt)＝－2t＋10－Δt，当Δt无限接近于0时，汽车在时刻t＝1 s时的加速度为8 m/s2.
1．知识清单：
(1)平均速度．
(2)瞬时速度．
(3)瞬时加速度．
2．方法归纳：无限逼近的思想．
3．常见误区：不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率．
1．质点运动规律s＝t2＋3，则在时间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，3＋Δt))中，质点的平均速度等于( )
A．6＋Δt B．6＋Δt＋eq \f(9,Δt)
C．3＋Δt D．9＋Δt
答案 A
解析 平均速度为eq \x\t(v)＝eq \f(3＋Δt2＋3－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(32＋3)),3＋Δt－3)＝6＋Δt.
2．如果质点按规律S＝2t3运动，则该质点在t＝3时的瞬时速度为( )
A．6 B．18 C．54 D．81
答案 C
解析 ∵eq \f(ΔS,Δt)＝eq \f(S3＋Δt－S3,Δt)＝eq \f(2·3＋Δt3－2×33,Δt)
＝2(Δt)2＋18Δt＋54，
∴当Δt无限趋近于0时，eq \f(ΔS,Δt)无限趋近于54.
3．某物体的运动速度与时间的关系为v(t)＝2t2－1，则t＝2时的加速度为( )
A．2 B．－2 C．8 D．－8
答案 C
解析 由题意知，eq \f(Δv,Δt)＝eq \f(2t＋Δt2－1－2t2＋1,Δt)＝4t＋2Δt，当Δt无限接近于0时，该物体在t＝2时的加速度为8.
4．物体做匀速运动，其运动方程是s＝vt，则该物体在运动过程中的平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是__________．
答案 相等
解析 物体做匀速直线运动，所以任何时刻的瞬时速度都是一样的．
课时对点练
1．某质点沿曲线运动的方程为f(x)＝－2x2＋1(x表示时间，f(x)表示位移)，则该质点从x＝1到x＝2的平均速度为( )
A．－4 B．－8 C．6 D．－6
答案 D
解析 由题意得该质点从x＝1到x＝2的平均速度为eq \f(f2－f1,2－1)＝eq \f(－8＋1－－2＋1,1)＝－6.
2．一质点运动的方程为S＝5－3t2，若该质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是( )
A．－3 B．3 C．6 D．－6
答案 D
解析 由平均速度和瞬时速度的关系可知，
当Δt无限趋近于0时，eq \f(ΔS,Δt)无限趋近于－6，
即质点在t＝1时的瞬时速度是－6.
3．一物体做加速直线运动，假设t s时的速度为v(t)＝t2＋3，则t＝2时物体的加速度为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
答案 A
解析 因为eq \f(Δv,Δt)＝eq \f(t＋Δt2＋3－t2－3,Δt)＝2t＋Δt.
所以当Δt无限趋近于0时，eq \f(Δv,Δt)无限趋近于2t.
所以t＝2时物体的加速度为4.
4．某物体做直线运动，其运动规律是s＝t2＋eq \f(3,t)(t的单位是秒，s的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度等于( )
A.eq \f(125,16)米/秒 B.eq \f(3,16)米/秒 C.eq \f(25,64)米/秒 D．0米/秒
答案 A
解析 因为eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(4＋Δt2＋\f(3,4＋Δt)－16－\f(3,4),Δt)＝eq \f(Δt2＋8Δt＋\f(－3Δt,44＋Δt),Δt)＝Δt＋8－eq \f(3,16＋4Δt)，
当Δt无限趋近于0时，eq \f(Δs,Δt)无限趋近于eq \f(125,16).
5．汽车在笔直公路上行驶，如果v(t)表示t时刻的速度，则当Δt无限趋近于0的时候，eq \f(vt0－Δt－vt0,－Δt)的意义是( )
A．表示当t＝t0时汽车的加速度
B．表示当t＝t0时汽车的瞬时速度
C．表示当t＝t0时汽车的路程变化率
D．表示当t＝t0时汽车与起点的距离
答案 A
解析 由于v(t)表示时刻t的速度，由题意可知，当Δt无限趋近于0的时候，eq \f(vt0－Δt－vt0,－Δt)表示当t＝t0时汽车的加速度．
6．(多选)甲、乙速度v与时间t的关系如图，a(b)是t＝b时的加速度，S(b)是从t＝0到t＝b的路程，则下列说法正确的是( )
A．a甲(b)>a乙(b) B．a甲(b)C．S甲(b)>S乙(b) D．S甲(b)答案 BC
解析 加速度是速度对t函数的切线斜率，由图可得在b处，甲的切线斜率小于乙的切线斜率，即甲在b处的加速度小于乙在b处的加速度；由图知t＝0到t＝b甲的速度总大于等于乙的速度，所以甲从t＝0到t＝b的路程大于乙从t＝0到t＝b的路程．
7．一物体的运动方程为s＝3t2－2，则其在t＝________时瞬时速度为1.
答案 eq \f(1,6)
解析 eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(3t＋Δt2－2－3t2＋2,Δt)＝6t＋3Δt.
当Δt无限趋近于0时，eq \f(Δs,Δt)无限趋近于6t，
因为瞬时速度为1，故6t＝1，即t＝eq \f(1,6).
8．已知汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为eq \x\t(v)1，eq \x\t(v)2，eq \x\t(v)3，则三者的大小关系为________. (由小到大排列)
答案 eq \x\t(v)1解析 ∵eq \x\t(v)1＝eq \f(st1－st0,t1－t0)＝kOA，eq \x\t(v)2＝eq \f(st2－st1,t2－t1)＝kAB，eq \x\t(v)3＝eq \f(st3－st2,t3－t2)＝kBC，
又∵由图象得kOA∴eq \x\t(v)3>eq \x\t(v)2>eq \x\t(v)1.
9．一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2(s的单位是：m，t的单位是：s)．
(1)求t＝0 s到t＝2 s时的平均速度；
(2)求此物体在t＝2 s时的瞬时速度．
解 (1)eq \x\t(v)＝eq \f(s2－s0,2)＝eq \f(6－4－0,2)＝1.
(2)eq \f(s2＋Δt－s2,Δt)
＝eq \f(32＋Δt－2＋Δt2－3×2－22,Δt)＝－Δt－1.
当Δt无限趋近于0时，eq \f(s2＋Δt－s2,Δt)无限趋近于－1，
所以t＝2时的瞬时速度为－1.
10．子弹在枪筒中的运动可以看作匀加速直线运动，运动方程为S＝eq \f(1,2)at2，如果它的加速度是a＝5×105 m/s2，子弹在枪筒中的运动时间为1.6×10－3 s，求子弹射出枪口时的瞬时速度．
解 运动方程为S＝eq \f(1,2)at2.
因为ΔS＝eq \f(1,2)a(t0＋Δt)2－eq \f(1,2)ateq \\al(2,0)＝at0(Δt)＋eq \f(1,2)a(Δt)2，
所以eq \f(ΔS,Δt)＝at0＋eq \f(1,2)a(Δt)．
所以当Δt无限趋近于0时，eq \f(ΔS,Δt)无限趋近于at0.
由题意知，a＝5×105 m/s2，t0＝1.6×10－3 s，
所以at0＝8×102＝800(m/s)，
即子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.
11．物体做直线运动所经过的路程s可以表示为时间t的函数s＝s(t)，则物体在时间间隔[t0，t0＋Δt]内的平均速度是( )
A．v0 B.eq \f(Δt,s\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t0＋Δt))－s\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t0)))
C.eq \f(s\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t0＋Δt))－s\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t0)),Δt) D.eq \f(s\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t)),t)
答案 C
解析 由平均变化率的概念知平均速度是eq \f(s\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t0＋Δt))－s\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t0)),Δt).
12．若小球自由落体的运动方程为s(t)＝eq \f(1,2)gt2(g为重力加速度)，该小球在t＝1到t＝3时的平均速度为eq \x\t(v)，在t＝2时的瞬时速度为v2，则eq \x\t(v)和v2的大小关系为( )
A.eq \x\t(v)>v2 B.eq \x\t(v)C.eq \x\t(v)＝v2 D．不能确定
答案 C
解析 平均速度为eq \x\t(v)＝eq \f(s3－s1,3－1)＝eq \f(\f(1,2)g32－12,2)＝2g.
eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(s2＋Δt－s2,Δt)＝eq \f(\f(1,2)gΔt2＋2gΔt,Δt)＝eq \f(1,2)gΔt＋2g，
∵当Δt无限趋近于0时，eq \f(Δs,Δt)无限趋近于2g，
∴v2＝2g，∴eq \x\t(v)＝v2.
13．火车开出车站一段时间内，速度v(单位：米/秒)与行驶时间t(单位：秒)之间的关系是v(t)＝0.4t＋0.6t2，则火车开出几秒时加速度为2.8米/秒2？( )
A.eq \f(2,3)秒 B．2秒 C.eq \f(5,2)秒 D.eq \f(7,3)秒
答案 B
解析 由题意可知，
eq \f(Δv,Δt)＝eq \f(0.4t＋Δt＋0.6t＋Δt2－0.4t－0.6t2,Δt)＝0.4＋1.2t＋0.6Δt，当Δt无限接近于0时，由0.4＋1.2t＝2.8可得，t＝2(秒)．
14．质点的运动方程是s＝t＋eq \f(1,t) (s的单位为m，t的单位为s)，则质点在t＝3 s时的瞬时速度为________m/s.
答案 eq \f(8,9)
解析 eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(s3＋Δt－s3,Δt)＝eq \f(3＋Δt＋\f(1,3＋Δt)－3－\f(1,3),Δt)＝1－eq \f(1,9＋3Δt)，
当Δt无限趋近于0时，eq \f(Δs,Δt)无限趋近于eq \f(8,9)，
所以质点在t＝3秒时的瞬时速度为eq \f(8,9)m/s.
15．某人拉动一个物体前进，他所做的功W是时间t的函数W＝W(t)，则当Δt无限趋近于0时，eq \f(Wt0＋Δt－Wt0,Δt)表示( )
A．t＝t0时做的功 B．t＝t0时的速度
C．t＝t0时的位移 D．t＝t0时的功率
答案 D
解析 由题意知当Δt无限趋近于0时，eq \f(Wt0＋Δt－Wt0,Δt)表示t＝t0时的功率．
16．某机械厂生产一种木材旋切机械，已知生产总利润c元与生产量x台之间的关系式为c(x)＝－2x2＋7 000x＋600.
(1)求产量为1 000台的总利润与平均利润；
(2)求产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量；
(3)当Δx无限趋近于0时，求eq \f(c1 000＋Δx－c1 000,Δx)与eq \f(c1 500＋Δx－c1 500,Δx)，并说明它们的实际意义．
解 (1)产量为1 000台时的总利润为c(1 000)＝－2×1 0002＋7 000×1 000＋600＝5 000 600(元)，平均利润为eq \f(c\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1 000)),1 000)＝5 000.6(元)．
(2)当产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量为eq \f(c\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1 500))－c\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1 000)),1 500－1 000)＝eq \f(6 000 600－5 000 600,500)＝2 000(元)．
(3)∵当Δx无限趋近于0时，eq \f(Δc,Δx)＝－4x＋7 000，
∴eq \f(c1 000＋Δx－c1 000,Δx)＝3 000，
eq \f(c1 500＋Δx－c1 500,Δx)＝1 000，
它们指的是当产量为1 000台时，生产一台机械可多获利3 000元；.
而当产量为1 500台时，生产一台机械可多获利1 000元．