初中数学12.3 角的平分线的性质教课ppt课件

这是一份初中数学12.3 角的平分线的性质教课ppt课件，共60页。

这条射线叫做这个角的平分线。
2、点到直线距离:
如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗?
你能由上面的探究得出作已知角的平分线的方法吗?
证明： 在△ACD和△ACB中 AD=AB（已知） DC=BC（已知） CA=CA（公共边） ∴ △ACD≌ △ACB（SSS） ∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的 对应边相等） ∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
观察领悟作法，探索思考证明方法：
　　１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．
　　２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 1/2 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ．
为什么OC是角平分线呢？
已知：OM=ON，MC=NC。求证：OC平分∠AOB。
证明：在△OMC和△ONC中， OM=ON， MC=NC， OC=OC， ∴ △OMC≌ △ONC（SSS） ∴∠MOC=∠NOC 即：OC平分∠AOB
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E。
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知）∴∠PDO=∠PEO=90（垂直的定义）
在△PDO和△PEO中
∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）
∠ PDO= ∠ PEO ∠ AOC= ∠ BOC OP=OP
∴ △ PDO≌ △ PEO（AAS）
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等
∵ ∠1= ∠2 PD ⊥OA ，PE ⊥OB∴PD=PE(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
定理应用所具备的条件：
∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
∴ = ，( )
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴ = ，（ ）
如图， ∵ OC是∠AOB的平分线， 又 ________________∴PD=PE ( )
PD⊥OA，PE⊥OB
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
在△OAB中，OE是它的角平分线，且EA=EB，EC、ED分别垂直OA，OB，垂足为C，D.求证：AC=BD.
在△ABC中， ∠ C=90 ° ，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，BC＝7，DE＝3.求BD的长。
如图，在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF； 求证：CF=EB
这节课我们学习了哪些知识？
1、“作已知角的平分线”的尺规作图法；
2、角的平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
∵ OC是∠AOB的平分线, 又 PD⊥OA,PE⊥OB ∴ PD=PE (角的平分线上的点到角的两边距离相等).
1、在Rt△ABC中，BD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？
1 . 如图，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 度，BE= 。
2 如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，∠1=∠2，且AC=6cm，那么线段BE是△ABC的　　　 ，AE+DE=　　　。
3.已知△ABC中, ∠C=900,AD平分∠ CAB,且BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？
例 已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上 ∴PD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距离相等） 同理 PE=PF. ∴ PD=PE=PF. 即点P到边AB、BC、 CA的距离相等
怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？
如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平分线ＢＤ与∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于点Ｐ．求证：点Ｐ到三边ＡＢ、ＢＣ、ＣＡ所在直线的距离相等．
如图，由 于点 D ， 于点 E，PD= PE ， 可以得到什么结论 ？
到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上。
到角的两边的距离相等的点 在角的平分线上。
在 Rt△PDO 和Rt△PEO 中，
（全等三角形的对应角相等）
OP = OP （公共边）
PD = PE （ 已 知 ）
角平分线的判定的应用书写格式：
（到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上）
角平分线的性质：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
角平分线的判定到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上。
用途：判定一条射线是角平分线
填空：(1). ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB ∴___________(___________________________________________)(1). ∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE∴__________(_ ______________________________________________)
到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。
在角平分线上的点到角的两边的距离相等
例1.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，且BE＝CF。求证：AD是△ABC的角平分线。
1.已知：如图，BE⊥AC于E， CF⊥AB于F，BE、CF相交于D， BD=CD 。求证： AD平分∠BAC 。
2.已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.
3、已知PA=PB， ∠1+ ∠2=1800， 求证：OP平分∠AOB
例题2.如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：点P也在∠A的平分线上。
证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F
证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上（已知）∴PD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理 PE=PF.∴ PD=PE=PF.即点P到边AB、BC、CA的距离相等
1.已知：如图，△ABC的∠B的外角的平分线BD和∠C的外角平分线CE相交于点P。求证：点P在∠BAC的平分线上。
2.如图，三条公路相交，现在要修建一加油站，使加油站到三条公路的距离相等，问加油站该选在什么位置上？
例1 已知：在等腰Rt△ABC中，AC ＝ BC，∠C＝90°，AD平分∠ BAC，DE⊥AB于点E。 求证：BD＋DE ＝AC
变式 已知AB ＝15cm, 求△DBE的周长
1、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有( ) A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处
2、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.
1、画一个已知角的角平分线；
及画一条已知直线的垂线；
角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
3、角平分线的判定结论：
到角的两边的距离相等的点在角平分线上。
判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE∴点Q在∠AOB的平分线上．
性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上∴ QD＝QE
1.全等三角形的性质:
对应边、对应角、对应线段相等，周长、面积也相等。
2.全等三角形的判定:
①一般三角形全等的判定：
SAS、ASA、AAS、SSS
②直角三角形全等的判定：
SAS、ASA、AAS、SSS、HL
3.三角形全等的证题思路：
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE（已知）．∴点Q在∠AOB的平分线上．（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上）
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上 (已知）∴ QD＝QE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）
二.角的平分线：1.角平分线的性质：
2.如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等
∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上, PD⊥AB于D，PE⊥BC于E
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等
3.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．
过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M
∵点F在∠BCE的平分线上， 　　　　FG⊥AE， FM⊥BC
∴FG＝FM（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）.
又∵点F在∠CBD的平分线上， 　FH⊥AD， FM⊥BC
∴FM＝FH （角平分线上的点到这个角的两边距离相等）.
∴FG＝FH（等量代换）
∴点F在∠DAE的平分线上　　　
例1：如图，D在AB上，E在AC上，且∠B =∠C，那么补充下列一具条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是( )A．AD=AE B． ∠AEB=∠ADCC．BE=CD D．AB=AC
例2：已知：如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O点，∠1=∠2，图中全等的三角形共有( )A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
例4:下面条件中, 不能证出Rt△ABC≌Rt△A' B'C'的是[ ](A.)AC=A'C' , BC=B'C' (B.)AB=A'B' , AC=A'C'(C.) AB=B'C' , AC=A'C' (D.)∠B=∠B' , AB=A'B'
例5：如图，在△ABC 中，AD⊥ BC，CE⊥ AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件： ，使△AEH≌△CEB。
1.已知BD＝CD，∠ABD＝∠ACD，DE、DF分别垂直于AB及AC交延长线于E、F.求证：DE＝DF
全等三角形的对应边相等
2.点A、F、E、C在同一直线上，AF＝CE，BE = DF，BE∥DF。求证：AB∥CD。
3、如图：在△ABC中，∠C =900，AD平分∠ BAC，DE⊥AB交AB于E，BC=30，BD：CD=3：2，则DE= 。
4.已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上。求证：BE=AD
变式：以上条件不变，将△ABC绕点C旋转一定角度（大于零度而小于六十度），以上的结论海成立吗？
5.如图，已知E在AB上，∠1=∠2， ∠3=∠4，那么AC等于AD吗？为什么？
7.如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由。
要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法：1、可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段，然后证明剩余的线段与另一条线段相等。（割）2、把一个三角形移到另一位置，使两线段补成一条线段，再证明它与长线段相等。（补）
7、如图，已知，EG∥AF，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。（只写出一种情况）①AB=AC ②DE=DF ③BE=CF已知： EG∥AF 求证：
8.如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC∥EF
9.如图：在四边形ABCD中，点E在边CD上，连接AE、BE并延长AE交BC的延长线于点F，给出下列5个关系式：：①AD∥BC，②，DE=EC③∠1=∠2，④∠3=∠4，⑤AD+BC=AB。将其中三个关系式作为已知，另外两个作为结论，构成正确的命题。请用序号写出两个正确的命题：（书写形式：如果……那么……）（1） ；（2） ；
10.如图，在R△ABC中,∠ACB=450,∠BAC=900,AB=AC，点D是AB的中点，AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC交AF的延长线于E，求证：BC垂直且平分DE.
11.已知：如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD、AG。求证：△ADG为等腰直角三角形。
12.已知：如图21，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DB=DC， 求证：EB=FC