数学九年级上册第二十四章 圆24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.2 直线和圆的位置关系第2课时练习

第 2 课时 切线的判定和性质

1. 下列说法正确的是( )

1. 内心一定在三角形内部,外心一定在三角形外部

2. 任何三角形只有一个内切圆,任何圆只有一个外切三角形 C.

到三角形三边所在的直线距离相等的点只有一个

D.若 PA,PB 分别与☉O 相切于 A,B 两点,则 PA=PB

2. 如图,点 A,B,C 在☉O 上,∠ABC=29°,过点 C 作☉O 的切线交 OA 的延长线于点 D,则∠D 的大小为

( )

A.29° B.32° C.42° D.58°

3. 如图,AD,DC,BC 都与☉O 相切,且 AD∥BC,则∠DOC 的度数为( )

A.100° B.90° C.60° D.45°

4. 如图,在△ABC 中,点 P 是△ABC 的内心,则∠PBC+∠PCA+∠PAB=      .

5. 如图,☉O 是边长为 2 的等边三角形 ABC 的内切圆,则☉O 的半径为      .

6. 如图,CB 切☉O 于点 B,CA 交☉O 于点 D 且 AB 为☉O 的直径,点 E 是�ˆ�  � 上异于点 A,D 的一点.若∠

C=40°,则∠E 的度数为      .

7. 如图,PA,PB 是☉O 的切线,切点分别为 A,B,点 C 在☉O 上,如果∠C=70°,那么∠P 的度数为   .

8. (2018·湖南邵阳中考)如图所示,AB 是☉O 的直径,点 C 为☉O 上一点,过点 B 作 BD⊥CD,垂足为点D,连接 BC,BC 平分∠ABD.求证:CD 为☉O 的切线.

9. 如图,在△ABC 中,AB=3,AC=9,点 D 是 BC 边上的一点,AD=BD=2DC,设△ABD 与△ACD 的内切圆半

4

径分别为 r1,r2,则� 1=( )

� 2

A.2 B.4

3

C.3

2

D.2

3

10. 如图,在△ABC 中,∠C=90°,AC=3,AB=5,D 为 BC 边的中点,以 AD 上一点 O 为圆心的☉O 和 AB,BC

均相切,则☉O 的半径为        .

11. 如图,∠ACB=60°,半径为 1 cm 的☉O 切 BC 于点 C,若将☉O 在 CB 上向右滚动,则当滚动到☉O 与

CA 也相切时,圆心 O 移动的水平距离是        cm.

12. 如图,AB 为☉O 的直径,PQ 与☉O 相切于点 T,AC⊥PQ,且垂足为 C,交☉O 于点 D.

(1) 求证:AT 平分∠BAC;

(2) 若 AD=2,TC= 3,求☉O 的半径.

★13.阅读下列材料并回答问题.

材料:如果一个三角形的三边长分别为 a,b,c,记 p=� +� +� ,那么三角形的面积为 S= � (� -� )(� -� )(� -� ).①

2

古希腊几何学家海伦(Heron,约公元 50 年),在数学史上以解决几何测量问题而闻名.他在《度量》一

书中,给出了公式①和它的证明,这一公式称为海伦公式.我国南宋数学家秦九韶(约 1202—约 1261),

曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式 S= . ②

下面我们对公式②进行变形:

=

=

=

=

=

这说明海伦公式与秦九韶公式实质上是同一公式,所以我们也称①为海伦—秦九韶公式.

问题:如图,在△ABC 中,AB=13,BC=12,AC=7,☉O 内切于△ABC,切点分别是 D,E,F.

(1) 求△ABC 的面积; (2)求☉O 的半径.

参考答案

夯基达标

1.D

2. B 作直径 B'C,交☉O 于 B',连接 AB',则∠AB'C=∠ABC=29°.

∵OA=OB',

∴∠AB'C=∠OAB'=29°.

∴∠DOC=∠AB'C+∠OAB'=58°.

∵CD 是☉的切线,

∴∠OCD=90°.

∴∠D=90°-58°=32°.故选 B.

3.          B 根据切线长定理,得∠ADO=∠CDO,∠DCO=∠BCO.

∵AD∥BC,

∴∠ADC+∠BCD=180°.

∴∠ODC+∠OCD=90°.

∴∠DOC=90°.

4.90° 5. 3 6.40°

7.40° 连接 OA,OB,则∠AOB=2∠C=140°,由四边形内角和为 360°可求得∠P=40°.

8. 证明 ∵BC 平分∠ABD,

∴∠OBC=∠DBC.

∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB.

∴∠OCB=∠DBC.

∴OC∥BD.

∵BD⊥CD,∴OC⊥CD.

∵OC 是☉O 的半径,

∴CD 为☉O 的切线.

培优促能

9. C 根据内切圆半径与三角形边长的关系可得

r1= 2� △��  = 2� △��  ,

+� � +� � 3+4

r2= 2�  △��  = 2�  △�� ,

� � + + 2.25+3

� △�� �� � 1 3

又 �

� △��

� 2 2

10.6

7

过点 O 作 OE⊥AB 于点 E,OF⊥BC 于点 F.

∵AB,BC 是☉O 的切线,

∴点 E,F 是切点.

∴OE,OF 是☉O 的半径,

∴OE=OF.

∵在△ABC 中,∠C=90°,AC=3,AB=5,

∴由勾股定理,得 BC=4.

∵D 是 BC 边的中点,

∴S△ABD=S△ACD.

∵S△ABD=S△ABO+S△BOD,

∴ AB·OE+ BD·OF= CD·AC,

2 2 2

即 5×OE+2×OE=2×3,解得 OE=6.

7

∴☉O 的半径是6.

7

11. 3

12.(1)证明 如图,连接 OT.

∵PQ 与☉O 相切于点 T,

∴OT⊥PQ.

又 AC⊥PQ,

∴OT∥AC,∠TAC=∠ATO.

又 OT=OA,

∴∠ATO=∠OAT,∠OAT=∠TAC,

即 AT 平分∠BAC.

(2) 解 过点 O 作 OM⊥AC,垂足为 M,

∴AM=MD=� � =1.

又∠OTC=∠ACT=∠OMC=90°,

∴四边形 OTCM 为矩形,OM=TC= 3.

在 Rt△AOM 中,

AO= � � 2 + � � 2

= 3 + 1=2,

即☉O 的半径为 2.

创新应用

13. 解 (1)p= +� � + = 13+12+7=16,

2 2

S△ABC= � (� -�)(� -� � )(� -�)= 16 × (16-13) × (16-12) × (16-7)= 16 × 3 × 4 × 9=24 3.

(2)连接 OA,OB,OC,OD,OE,OF,

∵☉O 内切△ABC 于点 D,E,F,

∴OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC.

设☉O 的半径为 r,

∵S△ABC=S△ABO+S△BCO+S△ACO,

∴S ABC=�·�  + �  �  ·�  + �·� .

△ 2 2 2

∴13�  + 12�  + 7�  =24 3.

2 2 2

∴r=3 3.