2021学年13.2 命题与证明教学设计

14.2《命题与证明》学习导航

　　　命题与证明涉及平面几何所要研究的基本内容之一，也是以后复杂图形研究的重要基础．在知识学习的同时，命题与证明逐步渗透了推理论证的格式，并介绍了命题的结构和证明的步骤，所以命题与证明也是推理论证的入门阶段，命题与证明的内容是很重要的基础知识，是关系到今后几何学习的重要阶段，是中考考查的热点之一．

　　一、知识点回顾

　　1.定义、命题、公理和定理的含义．

　　(1)定义是揭示一个事物区别于其他事物特征的句子．

　　(2)命题：可以判断是正确或错误的句子叫做命题．

　　其中正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题．

　　(3)命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，这种命题可写成“如果……那么……”的形式．其中用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论．

　　(4)公理：如果—个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫公理．

　　(5)如果一个命题可从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫定理．如“三角形的内角和等于180°”等．

　　注意：定理是正确的命题，但正确的命题不一定是定理．

　　2.定义、命题、公理和定理之间的联系与区别．

　　这四者都是句子，都可以判断真假，即定义、公理和定理也是命题，不同的是定义、公理和定理都是真命题，都可以作为进一步判断其他命题真假的依据，只不过公理是最原始的依据，而命题不一定是真命题，因而它不一定能作为进一步判断其他命题真假的依据．

　　3.证明

　　(1)根据题设、定义以及已经被确认的公理、定理等，经过逻辑推理，来判断—个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明．

　　(2)证明真命题的一般步骤是：

　　①根据题意，画出图形；

　　②根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证；

　　③经过分析，找出由已知推出结论的途径，写出证明过程，并注明依据．

　　命题的证明步骤与格式是本节的主要内容，是学习数学必具备的能力，在今后的学习中将会有大量的证明问题；另一方面它还体现了数学的逻辑性和严谨性．

　　推论证明的思路和方法．因为它体现抽象思维能力，如果同学们对逻辑的理解不深刻，往往找不出最优的思维切入点，证明的盲目性很大，因此对证明的思路和方法的训练是十分必要.

　　（1）学习命题与证明主要以对比理解为主，通过比较各种术语之间的异同，理解其内在含义．

　　（2）概念辨析法的一般步骤是：①分析研究题目所给条件和问题；②回忆有关概念的内涵和要点；③用概念去辨析题目所给条件与问题；④进行分析、判断、推理，综合得出正确结论．

　　（3）证明一个假命题的方法是举一个反例，证明一个命题是真命题，可用分析法、综合法或分析综合法．

　　二、思想方法

　　灵活运用转化的思维方法是平面几何证明的基本思想方法．如变更发散命题，通过变更命题的形式，力求变换思维角度，多方位思考、多渠道辟径，对于每个知识点挖掘其深邃的内涵，拓展其广阔的外延，从而有利于培养创造性思维能力．

　　命题与证明渗透的思想方法还有特殊与一般、逻辑推理思想等.在进行命题的证明时，体会命题证明的必要性，证明的步骤及格式，会根据一些简单的命题画出图形，并结合图形写出已知、求证，进行推理论证，并且会注明每一步推理的理由．

　　三、易错点归纳

　　1.命题的结论和题设分辨不清

　　【例1】　将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式.

　　(1)同角的余角相等；　　(2)直角都相等．

　　［误解］(1)常有以下几种错误改写：

　　如果是同角，那么余角相等；

　　如果两个角是同角，那么它们的余角相等；

　　如果同一个角是余角，那么余角相等．

　　(2)常有以下几种错误改写：

　　如果是直角，那么相等；

　　如果直角等于90°，那么直角都相等；

　　如果两条直线互相垂直，那么直角都相等．

　　[正解]　(1)如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等；

　　(2)如果两个角都是直角，那么这两个角相等．

　　[剖析与指导]　产生改写错误的主要原因是：(1)在命题的题设和结论不很分明时，分辨不清哪是题设，哪是结论；(2)不能正确地理解一些概念名称，如同角、余角、直角等在叙述命题的语句中的地位和意义：(3)缺乏把简单句变换成复合句的语法知识．

　　命题的改写是命题教学的基础，在命题学习中，首先要掌握命题的构造，分清命题的题设是什么？结论是什么？然后才能在这个基础上进行命题的改写．

　　对于命题的改写，特别是题设和结论不很分明的命题的改写，应注意以下几点：

　　(1)命题的“缩句”练习．命题是判断一件事情的语句．为明确语句中各词语的含义及地位确定这语句中的“主词”和“宾词”，可以进行类似于小学语文中的“缩句”练习．如把命题“同角的余角相等”缩写成“余角相等”，由此知道主词是“余角”，宾词是“相等”；又命题“两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线平行”可以缩为：“两个角的平分线平行”，由此得主词为“两个角的平分线”．宾词为“平行”．

　　(2)主词的数量表达方法．当主词的对象在数量上包含有“无数个”时，一般在主词前面加上“任意两个”或就写“两个”来表达这“无数个”．如同角的余角可以有无数个，在改写时一般只需写成“同角的任意两个余角”，或写成“同角的两个余角”．又如直角也有无数个，在改写时只需写成“任意两个直角”或“两个直角”．

　　(3)改写方法．把命题的主词连同它的修饰部分．经过重新组织或添加一些词语．写成“如果……”部分，宾词写成“那么……”部分，把它们连接成一个完整的句子，就得到改写成的命题．

　　2.文字语言与“图形语言”转换出现障碍

　　【例2】对命题：“同角的补角相等”．画图，并写出已知、求证．(不证明)

[

　　[误解] 如图1

　　已知：∠AOB与∠COD是同角，

　　 ∠BOE是∠AOB的补角，

　　 ∠DOF是∠COD的补角．

　　 求证：∠BOE=∠DOF．

　　[正解]如图2

　　已知：∠CPD是∠AOB的补角，∠EQF是∠AOB的补角．

　　求证：∠CPD=∠EQF．

　　[剖析与指导]这类题目不仅要求分清命题的题设和结论，而且要求能够把文字叙述的命题正确地“翻译”为图形和符号语言．这两方面都是困难的．尤其是“翻译”---图形化、符号化，更是练习中的主要障碍．但这也正是继续学习几何的基础和必备的技能．

　　对于把文字命题“翻译”成图形，与前面所提及的“读句画图”问题是一致的．把文字命题“翻译”成符号语言表示，即用已知、求证表示出来，一般分为两个步骤完成：(1)按照题意，画出图形；(2)分清命题的题设和结论，然后结合图形，用符号语言写成已知、求证．在“已知”项中写出题设，在“求证”项中写出结论．

　　[误解]中的错误主要是在画图时把“同角”理解成等角，并且把一个角的补角画成邻补角，变成了与原命题意义不同的“新”命题了．

　　3.证明时推理依据不准确

　　学习几何，必须学会证明，初学几何证明，往往会出现推理根据颠三倒四，拿着题设当结论，推理过程不严谨，甚至是错误的现象，现将其常见错误剖析几例，以期达到“治病”或“预防”之目的。

　　【例3】　已知：∠1+ ∠2=180°

　　求证：∠3=∠4。

　　【错证】：∵∠1+∠2=180°(已知)；

　　∴l1∥l2(两直线平行，同旁内角互补)

　　∴∠3=∠4(同位角相等，两直线平行)

　　【剖析与指导】错证推理依据不对，其实质是混淆了平行线的判定与性质。

　　正确的证明方法如下：

　　∵∠1+∠2=180°(已知)；

　　∴l1∥l2(同旁内角互补，两直线平行)

　　∴∠3=∠4(两直线平行，同位角相等)

　　四、中考热点透视

　　纵观近几年来全国各地的中考试题，涉及本章内容的常见题型有：填空题、选择题、作图题、计算题、证明题．作为基础知识在综合题中也时有出现．主要考查的内容有真命题和假命题的判定，平行线的判定和性质，三角形内角和定理及其外角定理．由于几何的推理论证是训练逻辑思维能力的基本手段之一，因此本章内容显得十分重要．

　　例1（2006安徽中考题）如图，直线a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC,∠1＝55 º，则∠2的度数

为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　A.35 º　　　　B.45º　　　　C.55º　　　　D.125º

　　解析：本题主要考察平行线的性质.

　　∵直线a∥b（已知），

　　∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）

　　∵∠1＝55 º（已知）

　　∴∠3＝∠1＝55 º。

　　∵AB⊥BC（已知），

　　∴∠ABC＝90º（垂直定义）

　　又∠2＋∠ABC＋∠1＝180º

　　∴∠2＝35º（等式的性质）.

　　例2（2006黑龙江鸡西市中考题）如图，AB∥CD，

∠B=680，∠E=200，则∠D的度数为       .

　　解析：∵AB∥CD（已知）

　　∴∠B=∠CFE=68 º(两直线平行，同位角相等)

　　而∠CFE＝∠D+∠E（三角形内角和定理的推论）

　　∴∠D＝68º－20º＝48º。

　　五、方法技巧总结

　　例1　有大、小两个正方形，大正方形的一个顶点和小正方形的中心重合．转动大正方形，重叠部分的形状会不断地变化．问在转动过程中，重叠部分的面积会变化吗？

　　解析　做这道题时，我们首先应该想象着或动手画一画，让大正方形在我们的眼前转起来，好像看到了重叠部分随着大正方形的转动而变化成不同的形状．接着，我们又发现，在转动过程中，重叠部分永远是小正方形中的一部分，而且转动一周，重叠部分会变化出无数个不规则的四边形，还会出现四个正方形（图1）和四个三角形（图2）（在图中画一画，看一看四个正方形和四个三角形分别出现在哪里，它们的面积是怎样的）．

　　最后，我们来看看那些不规则的四边形吧：在小正方形中过中心点画两条延长线（图中的虚线），于是，小正方形被分成了四部分（图3）．很容易看出，这四部分的形状、大小是完全相同的，重叠部分的面积占小正方形的四分之一．无论大正方形转到哪儿，重叠部分的面积永远占小正方形的四分之一，是不会变的.

　　将一般的位置转换成特殊的位置情形，体现解题的技巧性和灵活性。

　　例2　如图1，已知AB∥CD，求证：∠BED＝∠B＋∠D．

　　分析：题中有平行条件，由此联想到平行线的性质，想到它所对应的图形．经对照发现，图中没有截AB、CD的线，所以我们要添截线．

　　方法1：延长BE交CD于F，如图2所示．

　　方法2：延长DE交AB于F，如图3所示．

　　方法3：连结BD，如图4所示．

　　方法4：过E点任作一线交AB于M、交CD于N，如图5所示．

　　许多几何题都是转化为我们熟悉的、简单的问题加以解决的．在这个转化过程中，也常需要作辅助线．如例中，如果将结论转化为∠BED-∠B＝∠D，这样我们又得到：

　　方法5：以EB为一边在∠BED内部作∠BEF＝∠B，或过E点作EF∥AB，如图6所示．

　　有些几何题目条件比较分散，条件与结论难于联系，这时往往需要巧妙地添辅助线，将条件加以集中，便于利用．