北京课改版九年级上册21.4 圆周角学案设计

圆的性质

知识点：圆周角

         温故

1、弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号⌒表示，以A,B为端点的的弧记作AB⌒,读作弧AB.

2、圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。

3、圆的中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是圆心。在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧、两条弦中的一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

         知新

圆周角：

顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。

【例】判断下列图形中的∠P是否为圆周角？并说明理由。

圆周角定理：

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

注：圆心与圆周角有三种位置关系，分别是圆心在一边上，圆心在角内，圆心在角外。如下图：

情况一：当圆心在圆周角上

∠ABC与∠AOC是同一条弧所对的圆周角和圆心角

∵OA=OB，∴∠A=∠B.

∵ ∠AOC=∠B+∠A.

∴∠AOC=2∠B.

即  ∠ABC = ∠AOC.

情况二：当圆心O在圆周角的内

过点B作直径BD.

同理可证：∠ABC = ∠AOC.

【例】试证明：当圆心O在圆周角的外部时,∠ABC与∠AOC的大小关系会怎样?

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推论2：圆内接四边形的对角互补。

推论3：半圆（或直径）所对的圆周角是直角。

推论4：900的圆周角所对的弦是直径。

【例】如图，A,B两点不动，C在⊙O上移动，观察：

图中弧AB对着      个圆心角，图中有弧AB对着      个圆周角。

得：一条弧所对的圆心角有      个，一条弧所对的圆周角有    个。

         【当堂演练】

1、如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠O=40°，则∠C=（  ）

A. 20°   B. 40°   C.50°   D.80°

2、如图，AB是⊙O的直径，∠ABC=30°，则∠BAC=（  ）

A.90°    B.60°    C.45°    D.30°

3、如图，△ABC内接于⊙O，∠C=30°，AB=2，则⊙O的半径为（  ）

A.   B.2    C.   D.4

4、如图，点A.B.D.C是⊙O上的四个点，且∠BOC=110°，则∠D的度数是（    ）

A.110°      B.70°      C.100°         D.55°             

5、如图所示，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD，BD的长．

6、如图，△ABC内接于⊙O，AB＝6,AC＝4,D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连结PA、PB、PC、PD.

(1)当BD的长度为多少时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形？并证明；

（2）若cos∠PCB=，求PA的长.

    【百炼成钢】

1、如图，AB是⊙O直径，∠AOC=130°，则∠D=（  ）

A. 65°   B. 25°   C. 15°   D. 35°

2、如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠C=34°，则∠AOB的度数为（  ）

A.34°   B.56°   C.60°   D.68°

3、如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为（  ）

A.30°   B.45°    C.60°    D.90°

4、如图，CD是⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，若∠ABD=20°，则∠ADC的度数为（  ）

A.40°   B.50°   C.60°   D.70°

5、如图，正三角形ABC内接于圆O，动点P在圆周的劣弧AB上，且不与A，B重合，则∠BPC等于（  ）

A.30°   B.60°   C.90°   D.45°

6、如图，AB是⊙O的直径，C、D、E是⊙O上的点，则∠1+∠2=  度．

7、如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．
（1）求证：∠B=∠D；
（2）若AB=4，BC-AC=2，求CE的长

8、 如图所示，OA、OB、OC都是圆O的半径，∠AOB=2∠BOC．

求证：∠ACB=2∠BAC．

9、已知：如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°．
（1）求∠EBC的度数；
（2）求证：BD=CD．

10、如图，等边△ABC内接于⊙O，P是上任一点（点P不与点A、B重合），连AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．

（1）填空：∠APC= _________ 度，∠BPC= _________ 度；

（2）求证：△ACM≌△BCP；

（3）若PA=1，PB=2，求梯形PBCM的面积．

11、试证明：圆内接四边形的对角互补。

12、试证明：半圆（或直径）所对的圆周角是直角。