初中数学北京课改版九年级上册21.4 圆周角教学设计

这是一份初中数学北京课改版九年级上册21.4 圆周角教学设计，共4页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。

【教学目标】
1．了解什么叫圆周角
2．理解圆周角定理，并能运用圆周角定理进行计算或证明
【教学重难点】
重点：圆周角的概念与圆心角的区别及定理的应用
难点：圆周角定理的分类证明
【教学过程】
一、创设情景 指导活动
师：教师让学生拿出自制的圆形硬纸板（标出圆心）和橡皮筋软绳。上课开始时，伴着山峰起伏连绵的多媒体画面，是配乐诗朗诵：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同；不是庐山真面目，只缘身在此山中。”然后老师让学生抓住这首诗中的“横、侧、远、近、高、低”这几个字，引导他们得出“运动导致变化”这一结论。这时，老师让同学们拿出自己制作的圆形纸板和角，让他们按老师的叙述去活动：先把角的顶点和圆心重合。老师这时问：这个角是什么角（如图1）？在学生回答是圆心角之后，老师说：现在你让这个圆心角的顶点向上运动，这时（如图2），这个角还是不是圆心角？再向上运动，让角的顶点在圆上，这时（如图3），这个角还是不是圆心角？
让同学们观察比较，看和圆心角有什么不同，引出“圆周角”，让生根据特点给圆周角下定义。
小练习：老师在圆形纸板上演示出以下几个角（如图4），让学生们判断它们是不是圆周角，并说出为什么？

二、动手动脑 合作交流 突破难点
让学生拿着自己制作的圆形纸片和角，按要求活动：先将角的顶点放在圆上使它成为圆周角，然后让角的一边绕其顶点旋转。思考的问题是：看一看在旋转过程中，圆周角与圆心的位置关系发生了什么变化？让学生自己动手实验、思考、讨论，从而得出圆周角与圆心的位置关系有且只有以下三种：①圆心在圆周角的外部；②圆心在圆周角的一边上；③圆心在圆周角的内部（如图5）。

接着教师提出问题：
（1）根据上面三种情况，你能找到相应的圆心角吗？
（2）圆周角∠ABC与和它对同一条弧的圆心角∠AOC的角度大小有什么关系？
请同学们独立思考，猜想、讨论，并给出理由。
【在学生们思考时，老师根据情况可以对学生给予学法上的引导：（1）可以不分情况的先后顺序，先解决自己认为简单的情况。（2）引导学生从数学思想出发，要注意把新问题变成旧问题而加以解决，要善于利用以前的知识与结论。】
到此教师追问：是不是所有的圆周角与和它对同一条弧的圆心角之间都有这种关系呢？通过这一追问，使学生逐步学会归纳总结，并使他们体会到数学结论的严密性（也对圆周角定理的证明用了完全归纳有所了解），在此基础上得出圆周角定理。
三、开发例题 引导创新
例题 如图6，已知：OA．OB．OC都是半径，∠BOC=2∠AOB，
求证：∠BAC=2∠ACB．
引导学生利用圆周角定理证明。在学生顺利证得之后，老师引导学生将例题加以变化，用一题多变、一题多问、一题多解（证）的方法从多层次、多角度锻炼学生的思维，使学生能以当节的知识为母本，再创造出新知来。

变化一：
题设变为：如图7，已知：OA．OC是半径，∠AOC =100°。
问题（1），求 ∠BAC+∠ACB 为多少度。
这一变化，注意引导使学生在例题的基础上进行发散性思维，从总体入手，看到整体（∠BAC +∠ACB）与整体（∠BOC +∠AOB）的关系，从而使问题得以解决。
问题（2）：求∠ABC的度数（不用三角形内角和定理），如图8．让学生讨论这个问题。
【这个问题注意引导学生的思维必须从四边形ABCO、弦AB．弦BC 的小圈子向整个⊙O发散，从而发现“和圆周角∠ABC对同一条弧的圆心角与∠AOC互为周角”，才能使问题得以解决。】
变化二：
在图8的情况下，在图中添加一个圆周角∠ADC．
问题（3），求∠ABC+∠ADC的度数，如图9．
【这个问题较简单，利用定理可以直接解决，但它是下一个变化的铺垫。】

变化三：去掉图9中的已知条件∠AOC=100°。
问题（4），求∠ABC+∠ADC的度数，如图10.
【这一变化，没有了∠AOC=100°这个条件，因而分别求出∠ABC．∠ADC的度数的解题思路受阻。这使学生的思维必须从∠AOC=100°上发散向整个圆，从而发现：和∠ABC．∠ADC分别对同一条弧的两个圆心角互为周角，因而∠ABC+∠ADC= （1/2）×360° =180°。】
问题（5）：不连结OA．OC ，
求∠ABC+∠ADC的度数。如图（11）。
【在学生解决问题之后，教师追问：是不是四个顶点在圆上的四边形的对角都互补呢？让学生讨论总结，及时升华他们的发现，使他们体味到创造的快乐。】
变化四：将图（11）中的四边形ABCD的对角线连结起来，如图 （12）。
问题（6），求证：∠ADB=2∠ACB（用两种证法）。
【在这个题的证明中，学生们发现了一个普遍的结论：“在同圆中，对同一条弧的圆周角相等”，这更进一步激发了他们的好奇心和创造欲。】
本节课结束时，老师留下这样一个思考题：在同圆或等圆中，当一个圆周角立于半圆上时，这个圆周角的大小是多少？关于圆周角你还能得到什么结论？这又给学生课外留了一个“再创造”的机会。