2022年中考复习基础必刷40题专题20二次函数

这是一份2022年中考复习基础必刷40题专题20二次函数，共35页。试卷主要包含了 定义等内容，欢迎下载使用。


1. 定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC中，点A0,2，点C2,0，则互异二次函数y=x−m2−m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是（ ）

A.4，−1B.5−172，−1C.4，0D.5+172，−1

2. 由1+c2+c−12值的正负可以比较A=1+c2+c与12的大小，下列正确的是（ ）
A.当c=−2时， A=12B.当c=0时，A≠12
C.当c<−2时， A>12D.当c<0时， A<12

3. 如图是一架人字梯，已知AB=AC=2米，AC与地面BC的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC为（ ）

A.4csα米B.4sinα米C.4tanα米D.4csα米

4. 下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
下列各选项中，正确的是（ ）
A.这个函数的图象开口向下
B.这个函数的图象与x轴无交点
C.这个函数的最小值小于−6
D.当x>1时，y的值随x值的增大而增大

5. 在“探索函数y=ax2+bx+c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点： A0,2,B1,0C3,1,D2,3，同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为（ ）

A.52B.32C.56D.12

6. 在同一平面直角坐标系中，二次函数y=ax2与一次函数y=bx+c的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是（ ）

A.B.
C.D.

7. 二次函数y=ax2+bx+ca≠0 的部分图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）

A.4a+b=0B.a+b>0
C.a:c=−1:5D.当−1≤x≤5时， y>0

8. 如图，设点P是直线l外一点， PQ⊥l，垂足为点Q，点T是直线l上的一个动点，连接PT，则（ ）

A.PT≥2PQB.PT≤2PQC.PT≥PQD.PT≤PQ

9. 在平面直角坐标系中，抛物线y=x2−4x+5与y轴交于点C，则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为（ ）
A.y=−x2−4x+5B.y=x2+4x+5
C.y=−x2+4x−5D.y=−x2−4x−5

10. 已知二次函数y=ax2+xxa≠0的图象如图所示，有下列5个结论：（ ）
①abc>0；
②b<4ac；
③2c<3b；
④a+b>mam+bm≠1；
⑤若方程ax2+bx+c=1有四个根，则这四个根的和为2．
其中正确的结论有（ ）

A.2个B.3个C.4个D.5个

11. 二次函数的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（）

A.若，是图象上的两点，则
B.
C.方程有两个不相等的实数根
D.当时，y随x的增大而减小

12. 已知二次函数的图象经过与两点，关于的方程有两个根，其中一个根是3．则关于的方程有两个整数根，这两个整数根是( )
A.或0B.或2C.或3D.或4

13. 如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在点D处测得旗杆顶端A的仰角为55∘，测角仪的高度为1米，其底端C与旗杆底端B之间的距离为6米，设旗杆的高度为x米，则下列关系式正确的是( )

A.B.C.D.

14. 若二次函数y＝x2+bx的图象的对称轴是经过点(2, 0)且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2+bx＝5的解是（ ）
A.x1＝0 x2＝4B.x1＝1 x2＝5
C.x1＝1 x2＝−5D.x1＝−1 x2＝5

15. 二次函数y=kx2−6x+7的图象过点(1, 2)，且与x轴有两个交点A(x1, 0)，B(x2, 0)，则x1x2的值是（ ）
A.1B.3C.6D.7

16. 如图，已知二次函数y1=23x2−43x的图象与正比例函数y2=23x的图象交于点A(3, 2)，与x轴交于点B(2, 0)，若0A.03

17. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点坐标为A(m, 0)，B(n, 0)，点A在点B的左边，当ax2+bx+c=2015时有实数根x1，x2(x1A.当a>0时，x1B.当a<0时，mC.存在m+n=x1+x2
D.y=ax2+bx+c−2015与x轴的交点坐标不可能是(x1, 0)，(x2, 0)

18. 若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象上有两点，坐标分别为(x1, y1)，(x2, y2)，其中y1y2<0，则下列判断中正确的是（ ）
A.a<0
B.b2−4ac的值可能为0
C.方程ax2+bx+c=0必有一根x0满足x1D.y1
19. 把抛物线y=3x2沿x轴向左平移2个单位，则平移后的抛物线的解析式为（ ）
A.y=(3x+2)2B.y=(3x−2)2C.y=3(x+2)2D.y=3(x−2)2

20. 如图，已知二次函数的图象与x轴的两个交点分别为(−1, 0)，(3, 0)，对于下列结论：①2a+b=0；②abc<0；③a+b+c>0；④当x>1时，y随x的增大而减小；其中正确的有（ ）
A.1个B.2个C.3个D.4个

21. 函数y1=x(x≠0)，y2=9x(x>0)的图象如图所示，则结论：
①两函数图象的交点A的坐标为（3，3）
②当x>3时，y2>y1
⑤当x=1时，BC=8
④当x逐新增大时，y随着x的增大而增大，y2随着x的增大而减小．
其中正确结论的序号是________．


22. 关于抛物线y=ax2−2x+1a≠0，给出下列结论：
①当a<0时，抛物线与直线y=2x+2没有交点；
②若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点0,0与1,0之间；
③若抛物线的顶点在点0,0， 2,0， 0,2所围成的三角形区域内（包括边界），则a≥1．
其中正确结论的序号是________.

23. 从中任取一数作为，使抛物线的开口向上的概率为________．

24. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O落在坐标原点，点A、点C分别位于x轴，y轴的正半轴，G为线段上一点，将沿翻折，O点恰好落在对角线上的点P处，反比例函数经过点B．二次函数的图象经过、G、A三点，则该二次函数的解析式为________．（填一般式）

25. 对于自变量x为实数的函数f(x)，若存在x0满足f(x0)＝x0，则称x0是函数f(x)的一个不动点．若函数f(x)＝x2+ax+1没有不动点，则实数a的取值范围是________．

26. 如图，有四张不透明的卡片除正面的函数关系式不同外，其余相同，将它们背面朝上洗匀后，从中抽取一张卡片，则抽到函数图象不经过第四象限的卡片的概率为________．


27. 矩形的周长等于40，则此矩形面积的最大值是________．

28. 在直角坐标系xOy中，对于点P(x, y)和Q(x, y′)，给出如下定义：若y′=y(x≥0)−y(x<0)，则称点Q为点P的“可控变点”．
例如：点(1, 2)的“可控变点”为点(1, 2)，点(−1, 3)的“可控变点”为点(−1, −3)．
（1）若点(−1, −2)是一次函数y=x+3图象上点M的“可控变点”，则点M的坐标为________．

（2）若点P在函数y=−x2+16(−5≤x≤a)的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是−16≤y′≤16，则实数a的取值范围是________．

29. 若二次函数y＝x2+bx−5的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+bx−5＝2x−13的解为________．

30. 用配方法将抛物线y=x2+23x+1化成y=(x+h)2+k的形式是________．

31. 实数x、y满足(x−2)2+y2＝3，那么，yx的最大值是________．

32. 把抛物线y=x2+2x+1的图象向右平移1个单位后，所得抛物线的解析式为________．

33. 如图，AB是自动喷灌设备的水管，点A在地面，点B高出地面1.5米．在B处有一自动旋转的喷水头，在每一瞬间，喷出的水流呈抛物线状，喷头B与水流最高点C的连线与水平线成45∘角，水流的最高点C与喷头B高出2米，在如图的坐标系中，水流的落地点D到点A的距离是________米．


34. 已知：A(x1, 2010)、B(x2, 2010)是二次函数y=ax2+bx+3(a≠0)的图象上两点，当x=x1+x2时，二次函数y的值是________．

35. 崇左市政府大楼前广场有一喷水池，水从地面喷出，喷出水的路径是一条抛物线．如果以水平地面为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝−x2+4x（单位：米）的一部分．则水喷出的最大高度是________米．


36. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b(b≠0)的图象与反比例函数y=mxm≠0的图象交于第一、三象限内的A、B两点，与x轴的负半轴交于点C，过点A作AM⊥轴，垂足为点M，AM=6，OC=1，tan∠ACM=2

(1)求反比例函数和一次函数的表达式；

(2)连接BM，求△ABM的面积．

37. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90∘．AB＝8cm，AC＝6cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A为止（不考虑D与B，A重合的情况），运动速度为2cm/s，过点D作DE // BC交AC于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x(s)，AE的长为y(cm)．

（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；

（2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？

38. 天水某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

39. 如图，边长为1的正方形ABCD一边AD在x负半轴上，直线l:y=12x+2经过点B(x, 1)与x轴，y轴分别交于点H，F，抛物线y=−x2+bx+c顶点E在直线l上．
（1）求A，D两点的坐标及抛物线经过A，D两点时的解析式；

（2）当抛物线的顶点E(m, n)在直线l上运动时，连接EA，ED，试求△EAD的面积S与m之间的函数解析式，并写出m的取值范围；

（3）设抛物线与y轴交于G点，当抛物线顶点E在直线l上运动时，以A，C，E，G为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，求出E点坐标；若不能，请说明理由．

40. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点B的坐标为(2m, m)，翻折矩形OABC，使点A与点C重合，得到折痕DE，设点B的对应点为F，折痕DE所在直线与y轴相交于点G，经过点C，F，D的抛物线为y=ax2+bx+c．
（1）求点D的坐标（用含m的式子表示）；

（2）若点G的坐标为(0, −3)，求该抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，设线段CD的中点为M，在线段CD上方的抛物线上是否存在点P，使PM=12EA？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案与试题解析
2022年中考复习基础必刷题40题——专题二十_二次函数
一、 选择题 （本题共计 20 小题 ，每题 3 分 ，共计60分 ）
1.
【答案】
D
【考点】
抛物线与x轴的交点
二次函数图象上点的坐标特征
二次函数图象与系数的关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由正方形的性质可知：B(2,2)；
若二次函数y=x−m2−m与正方形OABC有交点则共有以下四种情况：
当m≤0时，则当A点在抛物线上或上方时，它们有交点，此时有m≤0m2−m≤2,
解得：−1≤m<0；
当0解得：0当110
解得：1当m>2时，则当O点在抛物线上或下方且B点在抛物线上或上方时，它们才有交点，此时有 m>2m2−m≥02−m2−m≤2，
解得：2综上可得：m的最大值和最小值分别是5+172 ，−1．
故选D．
2.
【答案】
C
【考点】
二次函数的性质
二次函数图象上点的坐标特征
二次函数图象与系数的关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：1+c2+c−12=c4+2c，
当c=−2时，2+c=0 ，A无意义，故A选项错误，不符合题意；
当c=0 时，c4+2c=0，A=12 ，故B选项错误，不符合题意；
当c<−2 时， c4+2c>0，A>12 ，故C选项正确，符合题意；
当−2≤c<0 时，c4+2c<0，A<12；当c<−2时， c4+2c>0，A>12 ，故D选项错误，不符合题意；
故选C．
3.
【答案】
A
【考点】
解直角三角形的应用-坡度坡角问题
解直角三角形的应用
二次函数的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
4.
【答案】
C
【考点】
二次函数y=ax^2+bx+c (a≠0)的图象和性质
二次函数的最值
二次函数图象与系数的关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，
依题意得：4a−2b+c=6c=−4a+b+c=−6，解得：a=1b=−3c=−4，
∴ 二次函数的解析式为y=x2−3x−4=x−322−254，
∵ a=1>0，
∴ 这个函数的图象开口向上，故A选项不符合题意；
∵ △=b2−4ac=−32−4×1×−4=25>0，
∴ 这个函数的图象与x轴有两个不同的交点，故B选项不符合题意；
∵ a=1>0，∴ 当x=32时，这个函数有最小值−254<−6，故C选项符合题意；
∵ 这个函数的图象的顶点坐标为(32,−254)，
∴ 当x>32时，y的值随x值的增大而增大，故D选项不符合题意；
故选C．
5.
【答案】
A
【考点】
一次函数的图象
二次函数图象与几何变换
反比例函数的图象
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由图象知，A、B、D组成的点开口向上， a>0；
A、B、C组成的二次函数开口向上，a>0；
B、C、D三点组成的二次函数开口向下，a<0；
A、D、C三点组成的二次函数开口向下，a<0；
即只需比较A、B、D组成的二次函数和A、B、C组成的二次函数即可．
设A、B、C组成的二次函数为y1=a1x2+b1x+c1
把A0,2， B1,0 ，C3,1代入上式得，
c1=2a1+b1+c1=19a1+3b1+c1=1，
解得a1=56
设A、B、D组成的二次函数为y=ax2+bx+c，
把A0,2， B1,0， D2,3代入上式得，
c=2a+b+c=04a+2b+c=3，
解得a=52
即a最大的值为52
故选A．
6.
【答案】
D
【考点】
反比例函数与一次函数的综合
二次函数综合题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ 二次函数y=ax2 的图象开口向上，
∴ a>0，
∵ 次函数y=bx+c的图象经过一、三、四象限，
∴ b>0，c<0，
对于二次函数y=ax2+bx+c 的图象，
∵ a>0 ，开口向上，排除A、B选项；
∵ a>0，b>0，
∴ 对称轴x=−b2a<0，
∴ D选项符合题意；
故选D．
7.
【答案】
D
【考点】
二次函数图象与系数的关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由二次函数图象可知：a<0，−b2a=2，整理得b=−4a，
∴ 4a+b=0，故A正确；
∴ a+b=a−4a=−3a，∵ a<0，∴ a+b>0，故B正确；
由图知函数图象过点(−1,0)，
∴ 将点(−1,0)带入解析式得：0=a−b+c=5a+c，
∴ a:c=−15，故C正确；
当−1故选D．
8.
【答案】
C
【考点】
二次函数与不等式（组）
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：根据点P是直线！外一点， PQ⊥l，垂足为点Q，
∴ PQ是垂线段，即连接直线外的点P与直线上各点的所有线段中距离最短，
当点T与点Q重合时有PQ=PT，
综上所述：PT≥PQ，
故选C．
9.
【答案】
A
【考点】
二次函数图象的平移规律
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：当x=0时，y=5，
∴ C0,5；
设新抛物线上的点的坐标为x,y，
∴ 原抛物线与新抛物线关于点C成中心对称，
由2×0−x=−x， 2×5−y=10−y；
∴ 对应的原抛物线上点的坐标为−x,10−y；
代入原抛物线解析式可得：10−y=−x2−4⋅−x+5，
∴ 新抛物线的解析式为：y=−x2−4x+5；
故选A．
10.
【答案】
A
【考点】
二次函数图象与系数的关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：①∵ 抛物线开口方向向下，
∴ a<0
：抛物线与y轴交于正半轴，
∴ c>0
：对称轴在y轴右侧，
∴ b>0
∴ abc<0①错误；
②∵ 抛物线与x轴有两个交点
∴ b2−4ac>0，
∴ b2>4ac ，故②错误；
③∵ 抛物线的对称轴为直线x=1
∴ −b2a=1，
∴ a=−12b，
由图象得，当x=−1时， y=a−b+c<0，
∴ −12b−b+c<0
∴ 2c<3b ，故③正确；
④当x=1时， y=a+b+c 的值最大，
∴ 当x=mm≠1时， a+b+c>am2+bm+c，
∴ a+b>mam+bm≠1
∵ b>0，
∴ a+2b>mam+bm≠1 ，故④正确；
⑤∵ 方程|ax2+bx+c|=1有四个根，
∴ 方程ax2+bx+c=1有2个根，方程ax2+bx+c=−1有2个根，
∴ 所有根之和为2×−ba=2×2aa=4，所以⑤错误，
∴ 正确的结论是③④
故选A．
11.
【答案】
D
【考点】
图象法求一元二次方程的近似根
二次函数图象的平移规律
【解析】
根据二次函数的图象与性质（对称性、增减性）、二次函数与一元二次方程的联系逐项判断即可得．
【解答】
由函数的图象可知，二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=−b2a=1
则当x≤1时，y随x的增大而增大；当x>1时，y随x的增大而减小，选项D错误
由对称性可知，x=4时的函数值与x=−2时的函数值相等
则当x=4时，函数值为y1
：4<5
y1>y2，则选项A正确
．−b2a=1
b=−2a
又：当x=−1时，a−b+c=0
∴ a−−2a+c=0，即3a+c=0，选项B正确
由函数的图象可知，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点
则将二次函数．v=ax2+bx+c的图象向上平移2个单位长度得到的二次函数y=ax2+bx+c+2与x轴也有两个交点
因此，关于x的一元二次方程ax2+bx+c+2=0有两个不相等的实数根
即方程ax2+bx+c=−2有两个不相等的实数根，选项C正确
故选：D．
12.
【答案】
B
【考点】
图象法求一元二次方程的近似根
【解析】
由题意可得方程ax2+bx+c=0的两个根是一3，1，方程在y的基础上加m，可以理解为二次函数的图象沿着y轴平移m个单位
，由此判断加m后的两个根即可判断选项．
【解答】
二次函数y=ax2+bx+c的图象经过−3,0与1,0两点，即方程ax2+bx+c=0的两个根是∼3和1，
ax2+bx+c+m=0可以看成二次函数y的图象沿着y轴平移m个单位得到一个根3，
由1到3移动2个单位，可得另一个根为∼5．由于0可知方程ax2+bx+c+n=0的两根范围在−5−3和1∼3
由此判断B符合该范围．
故选B．
13.
【答案】
B
【考点】
解直角三角形的应用-仰角俯角问题
轴对称图形
二次函数的应用
【解析】
根据仰角的定义和锐角三角函数解答即可．
【解答】
解：在Rt△ADE中，DE=6,AE=AB−BE=AB−CD=x−1,∠ADE=55∘
∴ sin55∘=AEADcs55∘=DEADtan55∘=AEDE=x−16
故选：B．
14.
【答案】
D
【考点】
抛物线与x轴的交点
【解析】
根据对称轴方程−b2=2，得b＝−4，解x2−4x＝5即可．
【解答】
∵ 对称轴是经过点(2, 0)且平行于y轴的直线，
∴ −b2=2，
解得：b＝−4，
解方程x2−4x＝5，
解得x1＝−1，x2＝5，
15.
【答案】
D
【考点】
抛物线与x轴的交点
【解析】
可先求得抛物线的解析式，再令y=0可得到一元二次方程，再由根与系数的关系可求得x1x2．
【解答】
解：
∵ 二次函数过点(1, 2)，
∴ k−6+7=2，解得k=1，
∴ 抛物线解析式为y=x2−6x+7，
令y=可得x2−6x+7=0，
由题意可知x1和x2是该方程的两根，
∴ x1x2=7，
故选D．
16.
【答案】
C
【考点】
二次函数与不等式（组）
【解析】
由二次函数y1=23x2−43x的图象与正比例函数y2=23x的图象交于点A(3, 2)，与x轴交于点B(2, 0)，然后观察图象，即可求得答案．
【解答】
解：∵ 二次函数y1=23x2−43x的图象与正比例函数y2=23x的图象交于点A(3, 2)，与x轴交于点B(2, 0)，
∴ 由图象得：若0故选C．
17.
【答案】
D
【考点】
抛物线与x轴的交点
【解析】
令y=ax2+bx+c−2015，则该函数图象相当于y=ax2+bx+c向下平移2015个单位得到的，结合图象可判断选项，可得出答案．
【解答】
解：
方程ax2+bx+c=2015可化为ax2+bx+c−2015=0，
令y=ax2+bx+c−2015，则该函数图象相当于y=ax2+bx+c向下平移2015个单位得到，
当a>时，如图1，则有x1故A正确；
当a<0时，如图2，则有m故B正确；
由两函数图象有共同的对称轴，
∴ m+n=x1+x2=−b2a，
故C正确；
∵ 方程ax2+bx+c=2015的两根分别为x1和x2，
∴ y=ax2+bx+c−2015与x轴的交点坐标为(x1, 0)，(x2, 0)，
故D不正确；
故选D．
18.
【答案】
C
【考点】
二次函数图象上点的坐标特征
【解析】
由y1y2<0可判断抛物线与x轴有两个交点，所以B选项错误；不能确定抛物线开口方向，所以A选项错误；也不能确定y1与y2的大小，所以D选项错误；由于抛物线与x轴的有一个交点在(x1, 0)和(x2, 0)之间，则可判断方程ax2+bx+c=0必有一根x0满足x1【解答】
解：∵ y1y2<0，
∴ 抛物线经过x轴的上方和下方，
∴ 抛物线与x轴有两个交点，
且有一个交点在(x1, 0)和(x2, 0)之间，
∴ 方程ax2+bx+c=0必有一根x0满足x1故选C．
19.
【答案】
C
【考点】
二次函数图象与几何变换
【解析】
按照“左加右减，上加下减”的规律求则可．
【解答】
解：根据题意y=3x2的图象向左平移2个单位得y=3(x+2)2．
故选：C．
20.
【答案】
C
【考点】
二次函数图象与系数的关系
【解析】
根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1，根据抛物线对称轴方程得到−b2a=1，则可对①进行判断；由抛物线开口方向得到a<0，由b=−2a得到b>0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得到c>0，则可对②进行判断；利用x=1时，y>0可对③进行判断；根据二次函数的性质对④进行判断．
【解答】
解：∵ 二次函数的图象与x轴的两个交点分别为(−1, 0)，(3, 0)，
∴ 抛物线的对称轴为直线x=1，
∴ −b2a=1，即2a+b=0，所以①正确；
∵ 抛物线开口向下，
∴ a<0，
∵ b=−2a，
∴ b>0，
∵ 抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴ c>0，
∴ abc<0，所以②错误；
∵ x=1时，y>0，
∴ a+b+c>0，所以③正确；
∵ 抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线开口向下，
∴ 当x>1时，y随x的增大而减小，所以④正确．
故选C．
二、 填空题 （本题共计 15 小题 ，每题 3 分 ，共计45分 ）
21.
【答案】
①③④
【考点】
抛物线与x轴的交点
二次函数图象上点的坐标特征
二次函数图象与系数的关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：①根据题意列解方程组 y=xy=9x，
解得 x1=3y1=3，x2=−3y2=−3；
∴ 这两个函数在第一象限内的交点A的坐标为(3, 3)，故①正确；
②当x>3时，y1在y2的上方，故y1>y2，故②错误；
③当x=1时，y1=1，y2=91=9，即点C的坐标为(1, 1)，点B的坐标为(1, 9)，所以BC=9−1=8，故③正确；
④由于y1=x(x≥0)的图象自左向右呈上升趋势，故y1随x的增大而增大，
y2=9x(x>0)的图象自左向右呈下降趋势，故y2随x的增大而减小，故④正确．
因此①③④正确，②错误．
故答案为：①③④．
22.
【答案】
②③
【考点】
二次函数图象与系数的关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由 y=2x+2y=ax2−2x+1，消去y得到，ax2−4x−1=0，
∵ Δ=16+4a,a<0，
∴ Δ的值可能大于0，
∴ 抛物线与直线y=2x+2可能有交点，故①错误．
∵ 抛物线与x轴有两个交点，
∴ Δ=4−4a>0，
∴ a<1，
∵ 抛物线经过0,1，且x=1时，y=a−1<0，
∴ 抛物线与x轴的交点一定在0,0与1,0 之间．故②正确，
∵ 抛物线的顶点在点0,0 2,0 0,2 围成的三角形区域内（包括边界），
∴ −−22a>0，
∴ a>0，
∴ 1>4a−44a≥0，
解得，a≥1，故③正确，
故答案为：②③．
23.
【答案】
5
【考点】
二次函数的性质
列表法与树状图法
二次函数y=ax^2 、y=a（x-h）^2+k (a≠0)的图象和性质
【解析】
使抛物线y=ax2+bx+c的开口向上的条件是|a>0，据此从所列5个数中找到符合此条件的结果，再利用概率公式求解可得．
【解答】
解：在所列的5个数中任取一个数有5种等可能结果，其中使抛物线y=ax2+bx+c的开口向上的有3种结果，
…使抛物线y=ax2+bx+c的开口向上的概率为35
故答案为：35
24.
【答案】
11y=12x2④−x+3
【考点】
待定系数法求二次函数解析式
【解析】
先由题意得到AC=5，再设设OG=PG=x，由勾股定理得到4−x2=4+x2，解得x的值，最后将点C、G、A坐标代入二
次函数表达式，即可得到答案
【解答】
解：点C0,3，反比例函数y=12x经过点B，则点B4,3
则OC=3OA=4
AC=5
设OG=PG=x，则GA=4−xPA=AC−CP=AC−OC=5−3=2
由勾股定理得：4−x2=4+x2
解得：x=32，故点G(32,0)，
=12
将点C、G、A坐标代入二次函数表达式得：c=394a+32b+c=014a+4b+c=0，解得：{b=−114
c=3
故答案为：y=12x2−114x+3
25.
【答案】
−1【考点】
二次函数图象上点的坐标特征
【解析】
不动点实际上就是方程f(x0)＝x0的实数根．二次函数f(x)＝x2+ax+1没有不动点，是指方程x＝x2+ax+1无实根．即方程x＝x2+ax+1无实根，然后根据根的判别式△<0解答即可．
【解答】
根据题意，得x＝x2+ax+1无实数根，
即x2+(a−1)x+1＝0无实数根，
∴ △＝(a−1)2−4<0，
解得：−126.
【答案】
34
【考点】
一次函数的性质
反比例函数的性质
正比例函数的性质
概率公式
二次函数图象与几何变换
【解析】
用不经过第四象限的个数除以总个数即可确定答案．
【解答】
∵ 4张卡片中只有第2个经过第四象限，
∴ 取一张卡片，则抽到函数图象不经过第四象限的卡片的概率为34，
27.
【答案】
100
【考点】
二次函数的最值
矩形的性质
【解析】
设矩形的宽为x，则长为(20−x)，S＝x(20−x)＝−x2+20x＝−(x−10)2+100，当x＝10时，S最大值为100．
【解答】
解：设矩形的宽为x，则长为(20−x)，
所以S=x(20−x)=−x2+20x=−(x−10)2+100，
当x=10时，S取得最大值，最大值为100．
故答案为：100.
28.
【答案】
(−1, 2)，0≤a≤42．
【考点】
二次函数图象上点的坐标特征
一次函数图象上点的坐标特点
【解析】
（1）直接根据“可控变点”的定义直接得出答案；
（2）根据题意可知y=−x2+16图象上的点P的“可控变点”必在函数y=−x2+16，x≥0x2−16，−5≤x<0的图象上，结合图象即可得到答案．
【解答】
解：（1）根据“可控变点”的定义可知点M的坐标为(−1, 2)；
（2）依题意，y=−x2+16图象上的点P的“可控变点”必在函数y=−x2+16，x≥0x2−16，−5≤x<0的图象上．
∵ −16≤y′≤16，
当y′=16时，16=−x2+16或−16=−x2+16．
∴ x=0或x=42．
当y′=−16时，−16=−x2+16．
∴ x=42．
∴ a的取值范围是0≤a≤42．
29.
【答案】
x1＝2，x2＝4
【考点】
抛物线与x轴的交点
二次函数的性质
【解析】
根据对称轴方程求得b，再解一元二次方程得解．
【解答】
∵ 二次函数y＝x2+bx−5的对称轴为直线x＝2，
∴ −b2=2，
得b＝−4，
则x2+bx−5＝2x−13可化为：x2−4x−5＝2x−13，
解得，x1＝2，x2＝4．
30.
【答案】
y=(x+3)2−2
【考点】
二次函数的三种形式
【解析】
本题是将一般式化为顶点式，由于二次项系数是1，利用配方法只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式，即可把一般式转化为顶点式．
【解答】
解：y=x2+23x+1=x2+23x+3−3+1=(x+3)2−2．
故化成y=(x+h)2+k的形式是y=(x+3)2−2．
故答案为：y=(x+3)2−2.
31.
【答案】
3
【考点】
二次函数的最值
【解析】
(x−2)2+y2＝3是以(2, 0)为圆心，以3为半径的圆，用yx的几何意义即可解答此题．
【解答】
(x−2)2+y2＝3是以(2, 0)为圆心，以3为半径的圆，
如下图：
yx的几何意义为y−0x−0=tan∠AOX=3．
32.
【答案】
y=x2
【考点】
二次函数图象与几何变换
【解析】
易得原抛物线的顶点及新抛物线的顶点，利用顶点式及平移不改变二次项的系数可得新抛物线的解析式．
【解答】
解：∵ y=x2+2x+1=(x+1)2，
∴ 原抛物线的顶点为(−1, 0)，
∴ 新抛物线的顶点为(0, 0)，
∴ 新抛物线的解析式为y=x2．
故答案为：y=x2．
33.
【答案】
2+7
【考点】
二次函数的应用
【解析】
根据所建坐标系，易知B点坐标和顶点C的坐标，设抛物线解析式为顶点式，可求表达式，求AD长就是求y＝0是x的值．
【解答】
如图，建立直角坐标系，过C点作CE⊥y轴于E，过C点作CF⊥x轴于F，
∴ B(0, 1.5)，
∴ ∠CBE＝45∘，
∴ EC＝EB＝2米，
∵ CF＝AB+BE＝2+1.5＝3.5，
∴ C(2, 3.5)
设抛物线解析式为：y＝a(x−2)2+3.5，
又∵ 抛物线过点B，
∴ 1.5＝a(0−2)2+3.5
∴ a=−12，
∴ y=−12(x−2)2+3.5=−12x2+2x+1.5，
∴ 所求抛物线解析式为：y=12x2+2x+1.5，
∵ 抛物线与x轴相交时，y＝0，
∴ −12x2+2x+1.5＝0，
∴ x1=2+7，x2=2−7（舍去）
∴ D( 2+7, 0)
∴ 水流落点D到A点的距离为：2+7米．
34.
【答案】
3
【考点】
二次函数图象上点的坐标特征
【解析】
A、B纵坐标相等，根据抛物线的对称性，这两点关于对称轴对称，根据对称轴x=x1+x22=−b2a，将x=x1+x2=−ba代入函数式求解．
【解答】
解：依题意，得抛物线对称轴x=x1+x22=−b2a，即x1+x2=−ba，
将x=−ba，代入抛物线解析式得
y=a(−ba)2+b(−ba)+3=3．
故答案为：3．
35.
【答案】
4
【考点】
二次函数的应用
【解析】
根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y＝−x2+4x的顶点坐标的纵坐标，利用配方法或公式法求得其顶点坐标的纵坐标即为本题的答案．
【解答】
∵ 水在空中划出的曲线是抛物线y＝−x2+4x，
∴ 喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y＝−x2+4x的顶点坐标的纵坐标，
∴ y＝−x2+4x＝−(x−2)2+4，
∴ 顶点坐标为：(2, 4)，
∴ 喷水的最大高度为4米，
三、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 10 分 ，共计50分 ）
36.
【答案】
解：（1）因为AM⊥x轴．所以∠AMC=90∘．在Rt△ACM中，AM=6，tan∠ACM=2．所以CM=3，因为OC=1．所以OM=2．所以点A的坐标为2,6，因为点A2,6在双曲线上．所以m=2×6−12．所以反比例函数的表达式为y=12x，又因为点C在x轴的负半轴上，且OC=1，所以C1,0，把A2,6，C1,1带入y=kx+b中，得2k+b=6k+b=0．解得k=2b=2．所以一次函数的表达式为y=2x+2．
(2)联立一次函数和反比例函数，解得x1=2y1=6,x2=−3y2−4．所以点B的坐标为(3,−4)．所以点B的坐标为(−3,−4)，所以△BCM中CM边上的高为4，所以S△ABM=SACM+S△BCM=12×3×6+12×3×4=15．
【考点】
相似三角形的性质与判定
待定系数法求一次函数解析式
一次函数的定义
特殊角的三角函数值
锐角三角函数的定义
待定系数法求二次函数解析式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）因为AM⊥x轴．所以∠AMC=90∘．在Rt△ACM中，AM=6，tan∠ACM=2．所以CM=3，因为OC=1．所以OM=2．所以点A的坐标为2,6，因为点A2,6在双曲线上．所以m=2×6−12．所以反比例函数的表达式为y=12x，又因为点C在x轴的负半轴上，且OC=1，所以C1,0，把A2,6，C1,1带入y=kx+b中，得2k+b=6k+b=0．解得k=2b=2．所以一次函数的表达式为y=2x+2．
(2)联立一次函数和反比例函数，解得x1=2y1=6,x2=−3y2−4．所以点B的坐标为(3,−4)．所以点B的坐标为(−3,−4)，所以△BCM中CM边上的高为4，所以S△ABM=SACM+S△BCM=12×3×6+12×3×4=15．
37.
【答案】
动点D运动x秒后，BD＝2x．
又∵ AB＝8，∴ AD＝8−2x．
∵ DE // BC，
∴ ADAB=AEAC，
∴ AB=6(8−2x)8=6−32x，
∴ y关于x的函数关系式为y=−32x+6(0S△BDE=12⋅BD⋅AE=12×2x(−32x+6)=−32x2+6x(0当x=−62×(−32)=2时，S△BDE最大，最大值为6cm2．
【考点】
相似三角形的性质与判定
二次函数的最值
函数自变量的取值范围
【解析】
（1）由平行线得△ABC∽△ADE，根据相似形的性质得关系式；
（2）由S=12⋅BD⋅AE；得到函数解析式，然后运用函数性质求解．
【解答】
动点D运动x秒后，BD＝2x．
又∵ AB＝8，∴ AD＝8−2x．
∵ DE // BC，
∴ ADAB=AEAC，
∴ AB=6(8−2x)8=6−32x，
∴ y关于x的函数关系式为y=−32x+6(0S△BDE=12⋅BD⋅AE=12×2x(−32x+6)=−32x2+6x(0当x=−62×(−32)=2时，S△BDE最大，最大值为6cm2．
38.
【答案】
设y与x的函数解析式为y＝kx+b，
将(10, 30)、(16, 24)代入，得：10k+b=3016k+b=24 ，
解得：k=−1b=40 ，
所以y与x的函数解析式为y＝−x+40(10≤x≤16)；
根据题意知，W＝(x−10)y
＝(x−10)(−x+40)
＝−x2+50x−400
＝−(x−25)2+225，
∵ a＝−1<0，
∴ 当x<25时，W随x的增大而增大，
∵ 10≤x≤16，
∴ 当x＝16时，W取得最大值，最大值为144，
答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．
【考点】
二次函数的应用
【解析】
（1）利用待定系数法求解可得y关于x的函数解析式；
（2）根据“总利润＝每件的利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得．
【解答】
设y与x的函数解析式为y＝kx+b，
将(10, 30)、(16, 24)代入，得：10k+b=3016k+b=24 ，
解得：k=−1b=40 ，
所以y与x的函数解析式为y＝−x+40(10≤x≤16)；
根据题意知，W＝(x−10)y
＝(x−10)(−x+40)
＝−x2+50x−400
＝−(x−25)2+225，
∵ a＝−1<0，
∴ 当x<25时，W随x的增大而增大，
∵ 10≤x≤16，
∴ 当x＝16时，W取得最大值，最大值为144，
答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．
39.
【答案】
解：（1）∵ 直线l:y=12x+2经过点B(x, 1)，
∴ 1=12x+2，解得x=−2，
∴ B(−2, 1)，
∴ A(−2, 0)，D(−3, 0)，
∵ 抛物线经过A，D两点，
∴ −4−2b+c=0−9−3b+c=0，解得b=−5c=−6，
∴ 抛物线经过A，D两点时的解析式为y=−x2−5x−6；
（2）∵ 顶点E(m, n)在直线l上，
∴ n=12m+2，
∴ S=12×1×(12m+2)=14m+1，
即S=14m+1(m≠4)；
（3）如图，若以A，C，E，G为顶点的四边形能成为平行四边形，则AC=EG，AC // EG，
作EH // y轴交过G点平行于x轴的直线相交于H，则EH⊥GH，△EHG≅△CDA，
∴ GH=AD=1，
∴ E的横坐标为±1，
∵ 顶点E在直线l上，
∴ y=12×(−1)+2=32，或y=12×1+2=52
∴ E(−1, 32)或(1, 52)．
【考点】
二次函数综合题
【解析】
（1）通过直线l的解析式求得B的坐标，进而根据正方形的边长即可求得A、D的坐标，然后利用待定系数法即可求得抛物线经过A，D两点时的解析式；
（2）根据一次函数图象上点的坐标特征求得E的纵坐标为12m+2，然后根据三角形的面积公式即可求得S与m之间的函数解析式；
（3）根据平行四边形的性质得出AC=EQ，AC // EQ，易证得△EHQ≅△CDA，从而得出E的横坐标为−1，然后代入直线l的解析式即可求得E的坐标．
【解答】
解：（1）∵ 直线l:y=12x+2经过点B(x, 1)，
∴ 1=12x+2，解得x=−2，
∴ B(−2, 1)，
∴ A(−2, 0)，D(−3, 0)，
∵ 抛物线经过A，D两点，
∴ −4−2b+c=0−9−3b+c=0，解得b=−5c=−6，
∴ 抛物线经过A，D两点时的解析式为y=−x2−5x−6；
（2）∵ 顶点E(m, n)在直线l上，
∴ n=12m+2，
∴ S=12×1×(12m+2)=14m+1，
即S=14m+1(m≠4)；
（3）如图，若以A，C，E，G为顶点的四边形能成为平行四边形，则AC=EG，AC // EG，
作EH // y轴交过G点平行于x轴的直线相交于H，则EH⊥GH，△EHG≅△CDA，
∴ GH=AD=1，
∴ E的横坐标为±1，
∵ 顶点E在直线l上，
∴ y=12×(−1)+2=32，或y=12×1+2=52
∴ E(−1, 32)或(1, 52)．
40.
【答案】
解：（1）根据折叠的性质得：CF=AB=m，DF=DB，∠DFC=∠DBA=90∘，CE=AE，∠CED=∠AED，
设CD=x，则DF=DB=2m−x，
根据勾股定理得：CF2+DF2=CD2，
即m2+(2m−x)2=x2，
解得：x=54m，
∴ 点D的坐标为：(54m, m)；
（2）∵ 四边形OABC是矩形，
∴ OA=2m，OA // BC，
∴ ∠CDE=∠AED，
∴ ∠CDE=∠CED，
∴ CE=CD=54m，
∴ AE=CE=54m，
∴ OE=OA−AE=34m，
∵ OA // BC，
∴ △OEG∽△CDG，
∴ OECD=OGCG，
即34m54m=33+m，
解得：m=2，
∴ C(0, 2)，D(52, 2)，
作FH⊥CD于H，如图1所示：
则∠FHC=90∘=∠DFC，
∵ ∠FCH=∠FCD，
∴ △FCH∽△DCF，
∴ FHDF=CHCF=CFCD=252=45，
即FH32=CH2=252，
∴ FH=65，CH=85，65+2=165，
∴ F(85, 165)，
把点C(0, 2)，D(52, 2)，F(85, 165)代入y=ax2+bx+c得：c=2254a+52b+2=26425a+85b+c=165，
解得：a=−56，b=2512，c=2，
∴ 抛物线的解析式为：y=−56x2+2512x+2；
（3）存在；点P的坐标为：(85, 165)，或(910, 165)；理由如下：
如图2所示：∵ CD=CE，CE=EA，
∴ CD=EA，
∵ 线段CD的中点为M，∠DFC=90∘，
∴ MF=12CD=12EA，点P与点F重合，
∴ 点P的坐标为：(85, 165)；
由抛物线的对称性得另一点P的坐标为(910, 165)；
∴ 在线段CD上方的抛物线上存在点P，使PM=12EA，点P的坐标为：(85, 165)，或(910, 165)．
【考点】
二次函数综合题
【解析】
（1）由折叠的性质得出CF=AB=m，DF=DB，∠DFC=∠DBA=90∘，CE=AE，设CD=x，则DF=DB=2m−x，由勾股定理得出方程，解方程即可得出结果；
（2）证明△OEG∽△CDG，得出比例式，求出m的值，得出C、D的坐标，作FH⊥CD于H，证明△FCH∽△DCF，得出比例式求出F的坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（3）由直角三角形斜边上的中线性质得出MF=12CD=12EA，点P与点F重合，得出点P的坐标；由抛物线的对称性得另一点P的坐标即可．
【解答】
解：（1）根据折叠的性质得：CF=AB=m，DF=DB，∠DFC=∠DBA=90∘，CE=AE，∠CED=∠AED，
设CD=x，则DF=DB=2m−x，
根据勾股定理得：CF2+DF2=CD2，
即m2+(2m−x)2=x2，
解得：x=54m，
∴ 点D的坐标为：(54m, m)；
（2）∵ 四边形OABC是矩形，
∴ OA=2m，OA // BC，
∴ ∠CDE=∠AED，
∴ ∠CDE=∠CED，
∴ CE=CD=54m，
∴ AE=CE=54m，
∴ OE=OA−AE=34m，
∵ OA // BC，
∴ △OEG∽△CDG，
∴ OECD=OGCG，
即34m54m=33+m，
解得：m=2，
∴ C(0, 2)，D(52, 2)，
作FH⊥CD于H，如图1所示：
则∠FHC=90∘=∠DFC，
∵ ∠FCH=∠FCD，
∴ △FCH∽△DCF，
∴ FHDF=CHCF=CFCD=252=45，
即FH32=CH2=252，
∴ FH=65，CH=85，65+2=165，
∴ F(85, 165)，
把点C(0, 2)，D(52, 2)，F(85, 165)代入y=ax2+bx+c得：c=2254a+52b+2=26425a+85b+c=165，
解得：a=−56，b=2512，c=2，
∴ 抛物线的解析式为：y=−56x2+2512x+2；
（3）存在；点P的坐标为：(85, 165)，或(910, 165)；理由如下：
如图2所示：∵ CD=CE，CE=EA，
∴ CD=EA，
∵ 线段CD的中点为M，∠DFC=90∘，
∴ MF=12CD=12EA，点P与点F重合，
∴ 点P的坐标为：(85, 165)；
由抛物线的对称性得另一点P的坐标为(910, 165)；
∴ 在线段CD上方的抛物线上存在点P，使PM=12EA，点P的坐标为：(85, 165)，或(910, 165)．x
⋯
−2
0
1
3
⋯
y
⋯
6
−4
−6
−4
⋯