还剩23页未读，
继续阅读
_山西省吕梁市孝义市、离石区2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷（word版 含答案）
展开
这是一份_山西省吕梁市孝义市、离石区2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷（word版 含答案），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年山西省吕梁市孝义市、离石区九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）
1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．4x²+ B．2x²﹣y﹣1＝0 C．ax²+2x+1＝0 D．x（4x﹣2）＝0
2．如图，将含有30°角的三角尺ABC（∠BAC＝30°），以点A为中心，顺时针方向旋转，使得点C，A，B′在同一直线上，则旋转角的大小是（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
3．方程x2＝x的两个实数根是（ ）
A．x1＝x2＝1 B．x1＝1，x2＝﹣1 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝0，x2＝﹣1
4．将关于x的方程x2﹣6x+8＝0配方成（x﹣3）2＝p的形式，则p的值是（ ）
A．1 B．28 C．17 D．44
5．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．将二次函数y＝﹣2（x﹣1）2﹣2的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，则所得到的二次函数的解析式是（ ）
A．y＝﹣2（x﹣3）2﹣1 B．y＝﹣2（x+1）2﹣1
C．y＝﹣2（x+1）2﹣3 D．y＝﹣2（x﹣3）2﹣3
7．冠状病毒属的病毒是具有囊膜、基因组为线性单股正链的RNA病毒，是自然界广泛存在的一大类病毒，冠状病毒可感染多种哺乳动物、鸟类．在某次冠状病毒感染中，有3只动物被感染，后来经过两轮感染后共有363只动物被感染．若每轮感染中平均一只动物会感染x只动物，则下面所列方程正确的是（ ）
A．3x（x+1）＝363 B．3+3x+3x²＝363
C．3（1+x）²＝363 D．3+3（1+x）+3（1+x）²＝363
8．已知二次函数y＝x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两个实数根是（ ）
A．x1＝1，x2＝﹣1 B．x1＝﹣1，x2＝2 C．x1＝﹣1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝3
9．二次函数y＝ax2+bx+c的图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣3
﹣2
﹣3
﹣6
﹣11
…
则关于该二次函数的图象与性质，下列说法正确的是（ ）
A．开口方向向上
B．当x＞﹣2时，y随x增大而增大
C．函数图象与x轴没有交点
D．函数有最小值是﹣2
10．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝bx+a的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．如图，在⊙O中，，半径OC与AB交于点D，若AB＝8cm，OB＝5cm，则CD＝ cm．
12．2022年2月4日—2月20日，北京冬奥会将隆重开幕，北京将成为世界上第一个既举办过夏季奥运会，又举办过冬季奥运会的国家．下面图片是在北京冬奥会会徽征集过程中，征集到的一副图片，整个图片由“京字组成的雪花图案”、“beijing2022”、“奥运五环”三部分组成．对于图片中的“雪花图案”，至少旋转 °能与原雪花图案重合．
13．已知点A（4，y1）和点B（﹣1，y2）是二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+m（m为常数）的图象上两点，则y1和y2的大小关系是 ．
14．2018年我国高速铁路总里程为2.9万公里，2020年我国高速铁路总里程达到3.8万公里，高速铁路已经覆盖了全国80%以上的大城市，形成以“八纵八横”主通道为骨架、区域连接线衔接、城际铁路补充的高速铁路网．若设2018年到2020年我国高速铁路总里程的平均年增长率为x，则依题意可列方程为 ．
15．如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，若四边形EFGH是矩形，且其周长是20，则四边形ABCD的面积的最大值是 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．解方程：
（1）x（x+10）＝﹣9；
（2）x（2x+3）＝8x+12．
17．如图，以▱ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，分别交BC，AD于E，F两点，交BA的延长线于点G，求证：．
18．在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（5，4），B（1，3），C（3，1），点P（a，b）是△ABC内的一点．
（1）以点O为中心，把△ABC顺时针旋转90°，画出旋转后的△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标：A1 ，B1 ，C1 ．注：点A与A1，B与B1，C与C1分别是对应点；
（2）点P的对应点P1的坐标是 ；
（3）若以点O为中心，把△ABC逆时针旋转90°，则点P的对应点P2的坐标是 ，点P1与点P2关于 对称．（填写“x轴”、“y轴”或“原点”）
19．阅读下列材料，并完成相应学习任务：
一元二次方程在几何作图中的应用
如图1，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．求作一个矩形，使其周长和面积分别是矩形ABCD的周长和面积的2倍．
因为矩形ABCD的周长是14，面积是12，所以所求作的矩形周长是28，面积是24．
若设所求作的矩形一边的长为x，则与其相邻的一边长为14﹣x，所以，得x（14﹣x）＝24，解得x1＝2，x2＝12．
当x＝2时，14﹣x＝12；当x＝12时，14﹣x＝2．所以求作的矩形相邻两边长分别是2和12．
如图2，在边AB的延长线取点G，使得AG＝4AB．在AD上取AE＝AD，以AG和AE为邻边作出矩形AGFE，则矩形AGFE的周长和面积分别是矩形ABCD的周长和面积的2倍．
学习任务：
（1）在作出矩形AGFE的过程中，主要体现的数学思想是 ；（填出序号即可）
A．转化思想；B．数形结合思想；C．分类讨论思想；D．归纳思想
（2）是否存在一个矩形，使其周长与面积分别是矩形ABCD的周长和面积的？若存在，请在图1中作出符合条件的矩形；若不存在，请说明理由．
20．漪汾桥是太原市首座对称双七拱吊桥，每个桥拱呈大小相等的抛物线型，桥拱如长虹岀水，屹立于汾河之上，是太原市地标性建筑之一．如图2所示，单个桥拱在桥面上的跨度OA＝60米，在水面的跨度BC＝80米，桥面距水面的垂直距离OE＝7米，以桥面所在水平线为x轴，OE所在直线为y轴建立平面直角坐标系．
（1）求桥拱所在抛物线的函数关系表达式；
（2）求桥拱最高点到水面的距离是多少米？
21．下面是小明解决某数学问题的过程，请认真阅读并解决相应学习任务：
数学问题：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：（ ）．现已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使每个星期的利润达到6080元，且顾客能够得到更大的实惠？
解：设…，
根据题意，所列出方程：（20﹣x）（300+×40）＝6080，
…
根据小明所列方程，完成下列任务：
（1）填空：数学问题中括号处短缺的条件是 ，小明所列方程中未知数x的实际意义是 ．
（2）请你重新设一个未知数，要求所设未知数与小明所列方程中未知数的意义不同，并结合所补充的条件，解决上面的数学问题．
22．综合与实践：
问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，点E是边CD上一点，将△ADE以点A为中心，顺时针旋转90°，得到△ABF，连接EF．过点A作AG⊥EF，垂足为G．试猜想FG与GE的数量关系，并证明．
（1）独立思考：请你解决老师所提出的问题；
（2）拓展探究：智慧小组在老师所提问题的基础上，连接DG，他们认为DG平分∠ADC．请你利用图2说明，智慧小组所提出的结论是否正确？请说明理由；
（3）问题解决：在图2中，若AD+DE＝28，则四边形AGED的面积为 ．（直接写出答案即可）
23．综合与探究：
已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是y轴右侧抛物线上一个动点．
（1）求出点A，B，C的坐标；
（2）如图1，当点D在第四象限时，求出△BCD面积的最大值，并求出这时点D坐标；
（3）当∠DAB＝∠ABC时，求出点D的坐标．
参考答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）
1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．4x²+ B．2x²﹣y﹣1＝0 C．ax²+2x+1＝0 D．x（4x﹣2）＝0
【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
解：A．它是分式方程，不是整式方程，故此选项不合题意；
B．含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意；
C．当a＝0时，是一元一次方程，故此选项不合题意；
D．它是一元二次方程，故此选项符合题意；
故选：D．
2．如图，将含有30°角的三角尺ABC（∠BAC＝30°），以点A为中心，顺时针方向旋转，使得点C，A，B′在同一直线上，则旋转角的大小是（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【分析】根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解．
解：旋转角是∠BAB′，∠BAB′＝180°﹣30°＝150°．
故选：D．
3．方程x2＝x的两个实数根是（ ）
A．x1＝x2＝1 B．x1＝1，x2＝﹣1 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝0，x2＝﹣1
【分析】移项后，利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得．
解：∵x2＝x，
∴x2﹣x＝0，
则x（x﹣1）＝0，
∴x＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝0，x2＝1，
故选：C．
4．将关于x的方程x2﹣6x+8＝0配方成（x﹣3）2＝p的形式，则p的值是（ ）
A．1 B．28 C．17 D．44
【分析】利用配方法，首先移项，再等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将x2﹣6x+8＝0可以配方成（x﹣3）2＝1，则可得方程p＝1．
解：∵x2﹣6x+8＝0，
∴x2﹣6x＝﹣8，
∴x2﹣6x+9＝﹣8+9，
∴（x﹣3）2＝1，
根据题意得p＝1，
故选：A．
5．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【分析】要使一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根，只需△≥0．
解：∵一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根，
∴Δ＝9﹣4m≥0，
m≤．
故选：B．
6．将二次函数y＝﹣2（x﹣1）2﹣2的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，则所得到的二次函数的解析式是（ ）
A．y＝﹣2（x﹣3）2﹣1 B．y＝﹣2（x+1）2﹣1
C．y＝﹣2（x+1）2﹣3 D．y＝﹣2（x﹣3）2﹣3
【分析】利用平移的规律“左加右减，上加下减”可得到答案．
解：将二次函数y＝﹣2（x﹣1）2﹣2的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，则所得到的二次函数的解析式是y＝﹣2（x﹣1+2）2﹣2+1，即y＝﹣2（x+1）2﹣1．
故选：B．
7．冠状病毒属的病毒是具有囊膜、基因组为线性单股正链的RNA病毒，是自然界广泛存在的一大类病毒，冠状病毒可感染多种哺乳动物、鸟类．在某次冠状病毒感染中，有3只动物被感染，后来经过两轮感染后共有363只动物被感染．若每轮感染中平均一只动物会感染x只动物，则下面所列方程正确的是（ ）
A．3x（x+1）＝363 B．3+3x+3x²＝363
C．3（1+x）²＝363 D．3+3（1+x）+3（1+x）²＝363
【分析】设每轮感染中平均一只动物会感染x只动物．则经过一轮感染，一只动物感染给了x只动物，这（x+1）只动物又感染给了x（1+x）只动物．等量关系：经过两轮感染后就会有363只动物被感染．
解：每轮感染中平均一只动物会感染x只动物，列方程得：
3（1+x）²＝363，
故选：C．
8．已知二次函数y＝x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两个实数根是（ ）
A．x1＝1，x2＝﹣1 B．x1＝﹣1，x2＝2 C．x1＝﹣1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝3
【分析】根据抛物线与x轴交点的性质和根与系数的关系进行解答．
解：∵二次函数y＝x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），
∴关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的一个根是x＝1．
∴设关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的另一根是t．
∴1+t＝4，
解得 t＝3．
即方程的另一根为3．
故选：D．
9．二次函数y＝ax2+bx+c的图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣3
﹣2
﹣3
﹣6
﹣11
…
则关于该二次函数的图象与性质，下列说法正确的是（ ）
A．开口方向向上
B．当x＞﹣2时，y随x增大而增大
C．函数图象与x轴没有交点
D．函数有最小值是﹣2
【分析】根据图象经过（﹣3，﹣3），（﹣1，﹣3）与（﹣2，﹣2）可得抛物线开口向下，顶点坐标为（﹣2，﹣2），进而求解．
解：∵抛物线经过（﹣3，﹣3），（﹣1，﹣3），
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣2），
∵﹣2为函数最大值，
∴抛物线开口向下，
∴x＞﹣2时，y随x增大而增大，
∴选项A，B，D，错误，
∵y≤﹣2，
∴图象与x轴无交点，
∴选项C正确，
故选：C．
10．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝bx+a的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】首先根据图形中给出的一次函数图象确定a、b的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论分析，即可解决问题．
解：A、对于直线y＝bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，对称轴x＝﹣＜0，应在y轴的左侧，故不合题意，图形错误．
B、对于直线y＝bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＜0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．
C、对于直线y＝bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，图象开口向下，对称轴x＝﹣位于y轴的右侧，故符合题意，
D、对于直线y＝bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，图象开口向下，a＜0，故不合题意，图形错误．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．如图，在⊙O中，，半径OC与AB交于点D，若AB＝8cm，OB＝5cm，则CD＝ 2 cm．
【分析】利用垂径定理证明OC⊥AB，再利用勾股定理求出OD，可得结论．
解：∵＝，
∴OC⊥AB，
∴AD＝DB＝AB＝4（cm），
∴BD＝＝＝3（cm），
∴CD＝OC﹣OD＝5﹣3＝2（cm），
故答案为：2．
12．2022年2月4日—2月20日，北京冬奥会将隆重开幕，北京将成为世界上第一个既举办过夏季奥运会，又举办过冬季奥运会的国家．下面图片是在北京冬奥会会徽征集过程中，征集到的一副图片，整个图片由“京字组成的雪花图案”、“beijing2022”、“奥运五环”三部分组成．对于图片中的“雪花图案”，至少旋转 60 °能与原雪花图案重合．
【分析】“雪花图案”可以看成正六边形，根据正六边形的中心角为60°，即可解决问题．
解：“雪花图案”可以看成正六边形，
∵正六边形的中心角为60°，
∴这个图案至少旋转60°能与原雪花图案重合．
故答案为：60．
13．已知点A（4，y1）和点B（﹣1，y2）是二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+m（m为常数）的图象上两点，则y1和y2的大小关系是 ＜ ．
【分析】先根据函数解析式确定出对称轴为直线x＝1，再根据二次函数对称性和增减性即可得到结论．
解：∵y＝﹣2（x﹣1）2+m（m为常数），
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，
∴点B（﹣1，y2）关于直线x＝1的对称点为（3，y2），
∵4＞3＞1，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
14．2018年我国高速铁路总里程为2.9万公里，2020年我国高速铁路总里程达到3.8万公里，高速铁路已经覆盖了全国80%以上的大城市，形成以“八纵八横”主通道为骨架、区域连接线衔接、城际铁路补充的高速铁路网．若设2018年到2020年我国高速铁路总里程的平均年增长率为x，则依题意可列方程为 2.9（1+x）2＝3.8 ．
【分析】一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），2019年铁路总里程为2.9（1+x）万元，2020年铁路总里程为3.8（1+x）（1+x）万元，即可列出方程．
解：设平均每年铁路总里程的增长率为x，依题意列方程为2.9（1+x）2＝3.8．
故答案为：2.9（1+x）2＝3.8．
15．如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，若四边形EFGH是矩形，且其周长是20，则四边形ABCD的面积的最大值是 50 ．
【分析】连接AC、BD，交于O点，根据三角形中位线性质得出EF∥AC，EH∥BG，由四边形EFGH是矩形，即可得到AC⊥BD，进而即可得出四边形ABCD的面积S＝AC•BD，设EH的长为x，则相邻的边EF为（10﹣x），从而得到S＝×2x•2（10﹣x）＝﹣2x2+20x＝﹣2（x﹣5）2+50，根据二次函数的性质即可求得结论．
解：连接AC、BD，交于O点，
∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴2EF＝AC，2EH＝BD，EF∥AC，EH∥BG，
∵四边形EFGH是矩形，
∴AC⊥BD，
∴四边形ABCD的面积S＝AC•BD，
∵四边形EFGH的周长为20，
设EH的长为x，则相邻的边EF为（10﹣x），
∴BD＝2x，AC＝2（10﹣x），
∴S＝×2x•2（10﹣x）＝﹣2x2+20x＝﹣2（x﹣5）2+50，
∴四边形ABCD的面积的最大值是50．
故答案为：50．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．解方程：
（1）x（x+10）＝﹣9；
（2）x（2x+3）＝8x+12．
【分析】（1）移整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
解：（1）x（x+10）＝﹣9，
x2+10x+9＝0，
（x+9）（x+1）＝0，
∴x+9＝0或x+1＝0，
∴x1＝﹣9，x2＝﹣1；
（2）x（2x+3）＝8x+12，
x（2x+3）﹣4（2x+3）＝0，
（2x+3）（x﹣4）＝0，
∴2x+3＝0或x﹣4＝0，
∴x1＝﹣，x2＝4．
17．如图，以▱ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，分别交BC，AD于E，F两点，交BA的延长线于点G，求证：．
【分析】要证明＝，则要证明∠DAE＝∠GAD，由AB＝AE，得出∠ABE＝∠AEB，由平行四边形的性质得出∠B＝∠GAF，∠FAE＝∠AEB，∠GAF＝∠FAE，由圆心角、弧、弦的关系定理得出＝
【解答】证明：连接AE．
∴AB＝AE，
∴∠B＝∠AEB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠B＝∠GAF，∠FAE＝∠AEB，
∴∠GAF＝∠FAE，
∴＝．
18．在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（5，4），B（1，3），C（3，1），点P（a，b）是△ABC内的一点．
（1）以点O为中心，把△ABC顺时针旋转90°，画出旋转后的△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标：A1 （4，﹣5） ，B1 （3，﹣1） ，C1 （1，﹣3） ．注：点A与A1，B与B1，C与C1分别是对应点；
（2）点P的对应点P1的坐标是 （b，﹣a） ；
（3）若以点O为中心，把△ABC逆时针旋转90°，则点P的对应点P2的坐标是 （﹣b，a） ，点P1与点P2关于 原点 对称．（填写“x轴”、“y轴”或“原点”）
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A1，B1，C1，然后写出A1，B1，C1的坐标；
（2）利用A1，B1，C1的坐标特征写出点P的对应点P1的坐标；
（3）先写出点P的对应点P2的坐标，再利用P1和P2的坐标特征可判断点P1与点P2关于原点对称．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；A1（4，﹣5），B1（3，﹣1），C1（1，﹣3）；
故答案为（4，﹣5），（3，﹣1），（1，﹣3）；
（2）点P的对应点P1的坐标是 （b，﹣a）；
故答案为（b，﹣a）；
（3）点P的对应点P2的坐标是（b，﹣a），点P1与点P2关于原点对称．
19．阅读下列材料，并完成相应学习任务：
一元二次方程在几何作图中的应用
如图1，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．求作一个矩形，使其周长和面积分别是矩形ABCD的周长和面积的2倍．
因为矩形ABCD的周长是14，面积是12，所以所求作的矩形周长是28，面积是24．
若设所求作的矩形一边的长为x，则与其相邻的一边长为14﹣x，所以，得x（14﹣x）＝24，解得x1＝2，x2＝12．
当x＝2时，14﹣x＝12；当x＝12时，14﹣x＝2．所以求作的矩形相邻两边长分别是2和12．
如图2，在边AB的延长线取点G，使得AG＝4AB．在AD上取AE＝AD，以AG和AE为邻边作出矩形AGFE，则矩形AGFE的周长和面积分别是矩形ABCD的周长和面积的2倍．
学习任务：
（1）在作出矩形AGFE的过程中，主要体现的数学思想是 ；（填出序号即可）
A．转化思想；B．数形结合思想；C．分类讨论思想；D．归纳思想
（2）是否存在一个矩形，使其周长与面积分别是矩形ABCD的周长和面积的？若存在，请在图1中作出符合条件的矩形；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据所给的例子进行分析即可；
（2）设所求作的矩形一边的长为x，则与其相邻的一边长为﹣x，从而可列出方程，解方程即可．
解：（1）在作出矩形AGFE的过程中，主要体现的数学思想是：数形结合思想，
故选：B；
（2）不存在，理由如下：
设所求作的矩形一边的长为x，依题意得：
所求矩形的周长为：×2×（3+4）＝7，面积为：×3×4＝6，
x（﹣x）＝6，
整理得：x2﹣x+6＝0，
∵Δ＝（﹣）2﹣4×1×6＝﹣24＝﹣＜0，
∴原方程没有实数根，
即不存在一个矩形，使其周长与面积分别是矩形ABCD的周长和面积的．
20．漪汾桥是太原市首座对称双七拱吊桥，每个桥拱呈大小相等的抛物线型，桥拱如长虹岀水，屹立于汾河之上，是太原市地标性建筑之一．如图2所示，单个桥拱在桥面上的跨度OA＝60米，在水面的跨度BC＝80米，桥面距水面的垂直距离OE＝7米，以桥面所在水平线为x轴，OE所在直线为y轴建立平面直角坐标系．
（1）求桥拱所在抛物线的函数关系表达式；
（2）求桥拱最高点到水面的距离是多少米？
【分析】（1）根据题意，可以设出抛物线的解析式，然后根据题意可以得到点B的坐标和顶点的横坐标，从而可以求得该抛物线的解析式；
（2）将（1）中的抛物线解析式化为顶点式，即可得到该函数的最大值，再根据OE＝7米，即可得到桥拱最高点到水面的距离是多少米．
解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx，
由题意可得，点B（﹣10，﹣7），顶点的横坐标为30，
∴，
解得，
即桥拱所在抛物线的函数关系表达式是y＝﹣0.01x2+0.6x；
（2）∵y＝﹣0.01x2+0.6x＝﹣0.01（x﹣30）2+9，
∴当x＝30时，y取得最大值9，
∵9+7＝16（米），
∴桥拱最高点到水面的距离是16米．
21．下面是小明解决某数学问题的过程，请认真阅读并解决相应学习任务：
数学问题：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：（ ）．现已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使每个星期的利润达到6080元，且顾客能够得到更大的实惠？
解：设…，
根据题意，所列出方程：（20﹣x）（300+×40）＝6080，
…
根据小明所列方程，完成下列任务：
（1）填空：数学问题中括号处短缺的条件是 售价每降低2元，销售量增加40件 ，小明所列方程中未知数x的实际意义是 销售价降低了x元 ．
（2）请你重新设一个未知数，要求所设未知数与小明所列方程中未知数的意义不同，并结合所补充的条件，解决上面的数学问题．
【分析】（1）根据“300+”分析销售量的变化，从而进行解答；
（2）设定价为x元，然后根据“单件商品利润×销售量＝总利润”列方程．
解：（1）由题意可得：售价为每件60元时，商品的单价利润为60﹣40＝20（元），
由所列方程中（20﹣x）表示单价利润降低了x元，说明其售价降低了x元，
由所列方程中（300+×40）表示商品销售量提高了（）件，说明其售价每降低2元，商品销售量增加40件，
∴短缺的条件是：售价每降低2元，销售量增加40件；
小明所列方程中未知数x的实际意义是“售价降低了x元”，
故答案为：售价每降低2元，销售量增加40件；售价降低了x元；
（2）设商品定价为x元时，每个星期的利润达到6080元，由题意可得：
（x﹣40）（300+×40）＝6080，
整理，得：x2﹣115x+3304＝0，
解得：x1＝56，x2＝59，
又∵要让顾客能够得到更大的实惠，
∴商品应该定价为56元．
22．综合与实践：
问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，点E是边CD上一点，将△ADE以点A为中心，顺时针旋转90°，得到△ABF，连接EF．过点A作AG⊥EF，垂足为G．试猜想FG与GE的数量关系，并证明．
（1）独立思考：请你解决老师所提出的问题；
（2）拓展探究：智慧小组在老师所提问题的基础上，连接DG，他们认为DG平分∠ADC．请你利用图2说明，智慧小组所提出的结论是否正确？请说明理由；
（3）问题解决：在图2中，若AD+DE＝28，则四边形AGED的面积为 196 ．（直接写出答案即可）
【分析】（1）由旋转得∠FAE＝90°，AF＝AE，再由AG⊥EF得FG＝GE；
（2）作GM⊥AD于点M，GN⊥CD于点N，先证明△GAM≌△GEN，得GM＝GN，再证明Rt△GDM≌Rt△GDN，即可得出结论；
（3）根据勾股定理AD2+DE2＝AE2＝AG2+EG2＝2AG2，将AD+DE＝28两边分别平方，得AD2+DE2+2AD•DE＝784，整理得AG2+AD•DE＝392，再求面积，S四边形AGED＝S△AGE+S△ADE＝AG2+AD•DE＝（AG2+AD•DE），即可得出结果．
解：（1）FG＝GE，
证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵将△ADE以点A为中心，顺时针旋转90°，得到△ABF，
∴∠FAE＝90°，AF＝AE，
∵AG⊥EF，垂足为G，
∴FG＝GE．
（2）正确，
理由：如图2，作GM⊥AD于点M，GN⊥CD于点N，
∵∠FAE＝90°，FG＝EG，
∴AG＝FE＝EG，
∵∠AGE＝∠ADE＝90°，
∴∠GAM+∠BED＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∵∠BEN+∠BED＝180°，
∴∠GAM＝∠GEN，
∵∠AMG＝∠ENG＝90°，
∴△GAM≌△GEN（AAS），
∴GM＝GN，
∵∠GMD＝∠GND＝90°，DG＝DG，
∴Rt△GDM≌Rt△GDN（HL），
∴∠MDG＝∠NDG，
即∠ADG＝∠CDG，
∴DG平分∠ADC，
∴智慧小组所提出的结论正确．
（3）如图2，∵AG＝EG，∠AGE＝90°，
∴S△AGE＝AG•EG＝AG2，
∵∠ADE＝90°，
∴S△ADE＝AD•DE，
∴S四边形AGED＝S△AGE+S△ADE＝AG2+AD•DE＝（AG2+AD•DE），
∵AD+DE＝28，
∴（AD+DE）2＝282，
∴AD2+DE2+2AD•DE＝784，
∵AD2+DE2＝AE2＝AG2+EG2＝2AG2，
∴2AG2+2AD•DE＝784，
∴AG2+AD•DE＝392，
∴S四边形AGED＝×392＝196，
∴四边形AGED的面积为196，
故答案为：196．
23．综合与探究：
已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是y轴右侧抛物线上一个动点．
（1）求出点A，B，C的坐标；
（2）如图1，当点D在第四象限时，求出△BCD面积的最大值，并求出这时点D坐标；
（3）当∠DAB＝∠ABC时，求出点D的坐标．
【分析】（1）抛物线y＝x2﹣2x﹣3，当x＝0时，y＝﹣3，当y＝0时，则x2﹣2x﹣3＝0，解方程求出x的值，即可求出A、B、C三点的坐标；
（2）作DF⊥x轴于点F，交BC于点E，先求出直线BC的解析式，设D（x，x2﹣2x﹣3）（0＜x＜3），则E（x，x﹣3），用含x的代数式表示DE的长及△BCD的面积，再根据二次函数的性质求出△BCD面积的最大值及此时点D的坐标；
（3）分两种情况讨论，一是点D在x轴的下方，二是点D在x轴的上方，分别求出直线AD的解析式且与抛物线的解析式组成方程组，解方程组求出点D的坐标即可．
解：（1）抛物线y＝x2﹣2x﹣3，当x＝0时，y＝﹣3；
当y＝0时，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）．
（2）如图1，作DF⊥x轴于点F，交BC于点E，
设直线BC的解析式为y＝kx﹣3，则3k﹣3＝0，
解得k＝1，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
设D（x，x2﹣2x﹣3）（0＜x＜3），则E（x，x﹣3），
则DE＝（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x，
∵S△BCD＝DE•OF+DE•BF＝DE•OB＝DE，
∴S△BCD＝（﹣x2+3x）＝（x﹣）2+，
∴当x＝时，S△BCD最大＝，
此时，D（，），
∴△BCD面积的最大值是，这时点D的坐标为（，）．
（3）∵∠BOC＝90°，OB＝OC＝3，
∴∠ABC＝∠OCB＝45°，
如图2，点D在x轴的下方，且∠DAB＝∠ABC＝45°，
设AD交y轴于点G，
∵∠AOG＝90°，
∴∠OGA＝∠OAG＝45°，
∴OG＝OA＝1，
∴G（0，﹣1），
设直线AD的解析式为y＝mx﹣1，则﹣m﹣1＝0，
解得m＝﹣1，
∴直线AD的解析式为y＝﹣x﹣1，
由得，，
∴D（2，﹣3）；
如图3，点D在x轴的上方，且∠DAB＝∠ABC＝45°，
设AD交y轴于点H，
∵∠AOH＝90°，
∴∠OAH＝∠OHA＝45°，
∴OH＝OA＝1，
∴H（0，1），
∵AD∥BC，
∴直线AD的解析式为y＝x+1，
由得，，
∴D（4，5），
综上所述，点D的坐标为（2，﹣3）或（4，5）．
2021-2022学年山西省吕梁市孝义市、离石区九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）
1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．4x²+ B．2x²﹣y﹣1＝0 C．ax²+2x+1＝0 D．x（4x﹣2）＝0
2．如图，将含有30°角的三角尺ABC（∠BAC＝30°），以点A为中心，顺时针方向旋转，使得点C，A，B′在同一直线上，则旋转角的大小是（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
3．方程x2＝x的两个实数根是（ ）
A．x1＝x2＝1 B．x1＝1，x2＝﹣1 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝0，x2＝﹣1
4．将关于x的方程x2﹣6x+8＝0配方成（x﹣3）2＝p的形式，则p的值是（ ）
A．1 B．28 C．17 D．44
5．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．将二次函数y＝﹣2（x﹣1）2﹣2的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，则所得到的二次函数的解析式是（ ）
A．y＝﹣2（x﹣3）2﹣1 B．y＝﹣2（x+1）2﹣1
C．y＝﹣2（x+1）2﹣3 D．y＝﹣2（x﹣3）2﹣3
7．冠状病毒属的病毒是具有囊膜、基因组为线性单股正链的RNA病毒，是自然界广泛存在的一大类病毒，冠状病毒可感染多种哺乳动物、鸟类．在某次冠状病毒感染中，有3只动物被感染，后来经过两轮感染后共有363只动物被感染．若每轮感染中平均一只动物会感染x只动物，则下面所列方程正确的是（ ）
A．3x（x+1）＝363 B．3+3x+3x²＝363
C．3（1+x）²＝363 D．3+3（1+x）+3（1+x）²＝363
8．已知二次函数y＝x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两个实数根是（ ）
A．x1＝1，x2＝﹣1 B．x1＝﹣1，x2＝2 C．x1＝﹣1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝3
9．二次函数y＝ax2+bx+c的图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣3
﹣2
﹣3
﹣6
﹣11
…
则关于该二次函数的图象与性质，下列说法正确的是（ ）
A．开口方向向上
B．当x＞﹣2时，y随x增大而增大
C．函数图象与x轴没有交点
D．函数有最小值是﹣2
10．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝bx+a的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．如图，在⊙O中，，半径OC与AB交于点D，若AB＝8cm，OB＝5cm，则CD＝ cm．
12．2022年2月4日—2月20日，北京冬奥会将隆重开幕，北京将成为世界上第一个既举办过夏季奥运会，又举办过冬季奥运会的国家．下面图片是在北京冬奥会会徽征集过程中，征集到的一副图片，整个图片由“京字组成的雪花图案”、“beijing2022”、“奥运五环”三部分组成．对于图片中的“雪花图案”，至少旋转 °能与原雪花图案重合．
13．已知点A（4，y1）和点B（﹣1，y2）是二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+m（m为常数）的图象上两点，则y1和y2的大小关系是 ．
14．2018年我国高速铁路总里程为2.9万公里，2020年我国高速铁路总里程达到3.8万公里，高速铁路已经覆盖了全国80%以上的大城市，形成以“八纵八横”主通道为骨架、区域连接线衔接、城际铁路补充的高速铁路网．若设2018年到2020年我国高速铁路总里程的平均年增长率为x，则依题意可列方程为 ．
15．如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，若四边形EFGH是矩形，且其周长是20，则四边形ABCD的面积的最大值是 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．解方程：
（1）x（x+10）＝﹣9；
（2）x（2x+3）＝8x+12．
17．如图，以▱ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，分别交BC，AD于E，F两点，交BA的延长线于点G，求证：．
18．在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（5，4），B（1，3），C（3，1），点P（a，b）是△ABC内的一点．
（1）以点O为中心，把△ABC顺时针旋转90°，画出旋转后的△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标：A1 ，B1 ，C1 ．注：点A与A1，B与B1，C与C1分别是对应点；
（2）点P的对应点P1的坐标是 ；
（3）若以点O为中心，把△ABC逆时针旋转90°，则点P的对应点P2的坐标是 ，点P1与点P2关于 对称．（填写“x轴”、“y轴”或“原点”）
19．阅读下列材料，并完成相应学习任务：
一元二次方程在几何作图中的应用
如图1，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．求作一个矩形，使其周长和面积分别是矩形ABCD的周长和面积的2倍．
因为矩形ABCD的周长是14，面积是12，所以所求作的矩形周长是28，面积是24．
若设所求作的矩形一边的长为x，则与其相邻的一边长为14﹣x，所以，得x（14﹣x）＝24，解得x1＝2，x2＝12．
当x＝2时，14﹣x＝12；当x＝12时，14﹣x＝2．所以求作的矩形相邻两边长分别是2和12．
如图2，在边AB的延长线取点G，使得AG＝4AB．在AD上取AE＝AD，以AG和AE为邻边作出矩形AGFE，则矩形AGFE的周长和面积分别是矩形ABCD的周长和面积的2倍．
学习任务：
（1）在作出矩形AGFE的过程中，主要体现的数学思想是 ；（填出序号即可）
A．转化思想；B．数形结合思想；C．分类讨论思想；D．归纳思想
（2）是否存在一个矩形，使其周长与面积分别是矩形ABCD的周长和面积的？若存在，请在图1中作出符合条件的矩形；若不存在，请说明理由．
20．漪汾桥是太原市首座对称双七拱吊桥，每个桥拱呈大小相等的抛物线型，桥拱如长虹岀水，屹立于汾河之上，是太原市地标性建筑之一．如图2所示，单个桥拱在桥面上的跨度OA＝60米，在水面的跨度BC＝80米，桥面距水面的垂直距离OE＝7米，以桥面所在水平线为x轴，OE所在直线为y轴建立平面直角坐标系．
（1）求桥拱所在抛物线的函数关系表达式；
（2）求桥拱最高点到水面的距离是多少米？
21．下面是小明解决某数学问题的过程，请认真阅读并解决相应学习任务：
数学问题：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：（ ）．现已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使每个星期的利润达到6080元，且顾客能够得到更大的实惠？
解：设…，
根据题意，所列出方程：（20﹣x）（300+×40）＝6080，
…
根据小明所列方程，完成下列任务：
（1）填空：数学问题中括号处短缺的条件是 ，小明所列方程中未知数x的实际意义是 ．
（2）请你重新设一个未知数，要求所设未知数与小明所列方程中未知数的意义不同，并结合所补充的条件，解决上面的数学问题．
22．综合与实践：
问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，点E是边CD上一点，将△ADE以点A为中心，顺时针旋转90°，得到△ABF，连接EF．过点A作AG⊥EF，垂足为G．试猜想FG与GE的数量关系，并证明．
（1）独立思考：请你解决老师所提出的问题；
（2）拓展探究：智慧小组在老师所提问题的基础上，连接DG，他们认为DG平分∠ADC．请你利用图2说明，智慧小组所提出的结论是否正确？请说明理由；
（3）问题解决：在图2中，若AD+DE＝28，则四边形AGED的面积为 ．（直接写出答案即可）
23．综合与探究：
已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是y轴右侧抛物线上一个动点．
（1）求出点A，B，C的坐标；
（2）如图1，当点D在第四象限时，求出△BCD面积的最大值，并求出这时点D坐标；
（3）当∠DAB＝∠ABC时，求出点D的坐标．
参考答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）
1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．4x²+ B．2x²﹣y﹣1＝0 C．ax²+2x+1＝0 D．x（4x﹣2）＝0
【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
解：A．它是分式方程，不是整式方程，故此选项不合题意；
B．含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意；
C．当a＝0时，是一元一次方程，故此选项不合题意；
D．它是一元二次方程，故此选项符合题意；
故选：D．
2．如图，将含有30°角的三角尺ABC（∠BAC＝30°），以点A为中心，顺时针方向旋转，使得点C，A，B′在同一直线上，则旋转角的大小是（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【分析】根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解．
解：旋转角是∠BAB′，∠BAB′＝180°﹣30°＝150°．
故选：D．
3．方程x2＝x的两个实数根是（ ）
A．x1＝x2＝1 B．x1＝1，x2＝﹣1 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝0，x2＝﹣1
【分析】移项后，利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得．
解：∵x2＝x，
∴x2﹣x＝0，
则x（x﹣1）＝0，
∴x＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝0，x2＝1，
故选：C．
4．将关于x的方程x2﹣6x+8＝0配方成（x﹣3）2＝p的形式，则p的值是（ ）
A．1 B．28 C．17 D．44
【分析】利用配方法，首先移项，再等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将x2﹣6x+8＝0可以配方成（x﹣3）2＝1，则可得方程p＝1．
解：∵x2﹣6x+8＝0，
∴x2﹣6x＝﹣8，
∴x2﹣6x+9＝﹣8+9，
∴（x﹣3）2＝1，
根据题意得p＝1，
故选：A．
5．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【分析】要使一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根，只需△≥0．
解：∵一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根，
∴Δ＝9﹣4m≥0，
m≤．
故选：B．
6．将二次函数y＝﹣2（x﹣1）2﹣2的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，则所得到的二次函数的解析式是（ ）
A．y＝﹣2（x﹣3）2﹣1 B．y＝﹣2（x+1）2﹣1
C．y＝﹣2（x+1）2﹣3 D．y＝﹣2（x﹣3）2﹣3
【分析】利用平移的规律“左加右减，上加下减”可得到答案．
解：将二次函数y＝﹣2（x﹣1）2﹣2的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，则所得到的二次函数的解析式是y＝﹣2（x﹣1+2）2﹣2+1，即y＝﹣2（x+1）2﹣1．
故选：B．
7．冠状病毒属的病毒是具有囊膜、基因组为线性单股正链的RNA病毒，是自然界广泛存在的一大类病毒，冠状病毒可感染多种哺乳动物、鸟类．在某次冠状病毒感染中，有3只动物被感染，后来经过两轮感染后共有363只动物被感染．若每轮感染中平均一只动物会感染x只动物，则下面所列方程正确的是（ ）
A．3x（x+1）＝363 B．3+3x+3x²＝363
C．3（1+x）²＝363 D．3+3（1+x）+3（1+x）²＝363
【分析】设每轮感染中平均一只动物会感染x只动物．则经过一轮感染，一只动物感染给了x只动物，这（x+1）只动物又感染给了x（1+x）只动物．等量关系：经过两轮感染后就会有363只动物被感染．
解：每轮感染中平均一只动物会感染x只动物，列方程得：
3（1+x）²＝363，
故选：C．
8．已知二次函数y＝x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两个实数根是（ ）
A．x1＝1，x2＝﹣1 B．x1＝﹣1，x2＝2 C．x1＝﹣1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝3
【分析】根据抛物线与x轴交点的性质和根与系数的关系进行解答．
解：∵二次函数y＝x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），
∴关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的一个根是x＝1．
∴设关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的另一根是t．
∴1+t＝4，
解得 t＝3．
即方程的另一根为3．
故选：D．
9．二次函数y＝ax2+bx+c的图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣3
﹣2
﹣3
﹣6
﹣11
…
则关于该二次函数的图象与性质，下列说法正确的是（ ）
A．开口方向向上
B．当x＞﹣2时，y随x增大而增大
C．函数图象与x轴没有交点
D．函数有最小值是﹣2
【分析】根据图象经过（﹣3，﹣3），（﹣1，﹣3）与（﹣2，﹣2）可得抛物线开口向下，顶点坐标为（﹣2，﹣2），进而求解．
解：∵抛物线经过（﹣3，﹣3），（﹣1，﹣3），
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣2），
∵﹣2为函数最大值，
∴抛物线开口向下，
∴x＞﹣2时，y随x增大而增大，
∴选项A，B，D，错误，
∵y≤﹣2，
∴图象与x轴无交点，
∴选项C正确，
故选：C．
10．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝bx+a的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】首先根据图形中给出的一次函数图象确定a、b的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论分析，即可解决问题．
解：A、对于直线y＝bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，对称轴x＝﹣＜0，应在y轴的左侧，故不合题意，图形错误．
B、对于直线y＝bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＜0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．
C、对于直线y＝bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，图象开口向下，对称轴x＝﹣位于y轴的右侧，故符合题意，
D、对于直线y＝bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，图象开口向下，a＜0，故不合题意，图形错误．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．如图，在⊙O中，，半径OC与AB交于点D，若AB＝8cm，OB＝5cm，则CD＝ 2 cm．
【分析】利用垂径定理证明OC⊥AB，再利用勾股定理求出OD，可得结论．
解：∵＝，
∴OC⊥AB，
∴AD＝DB＝AB＝4（cm），
∴BD＝＝＝3（cm），
∴CD＝OC﹣OD＝5﹣3＝2（cm），
故答案为：2．
12．2022年2月4日—2月20日，北京冬奥会将隆重开幕，北京将成为世界上第一个既举办过夏季奥运会，又举办过冬季奥运会的国家．下面图片是在北京冬奥会会徽征集过程中，征集到的一副图片，整个图片由“京字组成的雪花图案”、“beijing2022”、“奥运五环”三部分组成．对于图片中的“雪花图案”，至少旋转 60 °能与原雪花图案重合．
【分析】“雪花图案”可以看成正六边形，根据正六边形的中心角为60°，即可解决问题．
解：“雪花图案”可以看成正六边形，
∵正六边形的中心角为60°，
∴这个图案至少旋转60°能与原雪花图案重合．
故答案为：60．
13．已知点A（4，y1）和点B（﹣1，y2）是二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+m（m为常数）的图象上两点，则y1和y2的大小关系是 ＜ ．
【分析】先根据函数解析式确定出对称轴为直线x＝1，再根据二次函数对称性和增减性即可得到结论．
解：∵y＝﹣2（x﹣1）2+m（m为常数），
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，
∴点B（﹣1，y2）关于直线x＝1的对称点为（3，y2），
∵4＞3＞1，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
14．2018年我国高速铁路总里程为2.9万公里，2020年我国高速铁路总里程达到3.8万公里，高速铁路已经覆盖了全国80%以上的大城市，形成以“八纵八横”主通道为骨架、区域连接线衔接、城际铁路补充的高速铁路网．若设2018年到2020年我国高速铁路总里程的平均年增长率为x，则依题意可列方程为 2.9（1+x）2＝3.8 ．
【分析】一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），2019年铁路总里程为2.9（1+x）万元，2020年铁路总里程为3.8（1+x）（1+x）万元，即可列出方程．
解：设平均每年铁路总里程的增长率为x，依题意列方程为2.9（1+x）2＝3.8．
故答案为：2.9（1+x）2＝3.8．
15．如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，若四边形EFGH是矩形，且其周长是20，则四边形ABCD的面积的最大值是 50 ．
【分析】连接AC、BD，交于O点，根据三角形中位线性质得出EF∥AC，EH∥BG，由四边形EFGH是矩形，即可得到AC⊥BD，进而即可得出四边形ABCD的面积S＝AC•BD，设EH的长为x，则相邻的边EF为（10﹣x），从而得到S＝×2x•2（10﹣x）＝﹣2x2+20x＝﹣2（x﹣5）2+50，根据二次函数的性质即可求得结论．
解：连接AC、BD，交于O点，
∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴2EF＝AC，2EH＝BD，EF∥AC，EH∥BG，
∵四边形EFGH是矩形，
∴AC⊥BD，
∴四边形ABCD的面积S＝AC•BD，
∵四边形EFGH的周长为20，
设EH的长为x，则相邻的边EF为（10﹣x），
∴BD＝2x，AC＝2（10﹣x），
∴S＝×2x•2（10﹣x）＝﹣2x2+20x＝﹣2（x﹣5）2+50，
∴四边形ABCD的面积的最大值是50．
故答案为：50．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．解方程：
（1）x（x+10）＝﹣9；
（2）x（2x+3）＝8x+12．
【分析】（1）移整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
解：（1）x（x+10）＝﹣9，
x2+10x+9＝0，
（x+9）（x+1）＝0，
∴x+9＝0或x+1＝0，
∴x1＝﹣9，x2＝﹣1；
（2）x（2x+3）＝8x+12，
x（2x+3）﹣4（2x+3）＝0，
（2x+3）（x﹣4）＝0，
∴2x+3＝0或x﹣4＝0，
∴x1＝﹣，x2＝4．
17．如图，以▱ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，分别交BC，AD于E，F两点，交BA的延长线于点G，求证：．
【分析】要证明＝，则要证明∠DAE＝∠GAD，由AB＝AE，得出∠ABE＝∠AEB，由平行四边形的性质得出∠B＝∠GAF，∠FAE＝∠AEB，∠GAF＝∠FAE，由圆心角、弧、弦的关系定理得出＝
【解答】证明：连接AE．
∴AB＝AE，
∴∠B＝∠AEB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠B＝∠GAF，∠FAE＝∠AEB，
∴∠GAF＝∠FAE，
∴＝．
18．在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（5，4），B（1，3），C（3，1），点P（a，b）是△ABC内的一点．
（1）以点O为中心，把△ABC顺时针旋转90°，画出旋转后的△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标：A1 （4，﹣5） ，B1 （3，﹣1） ，C1 （1，﹣3） ．注：点A与A1，B与B1，C与C1分别是对应点；
（2）点P的对应点P1的坐标是 （b，﹣a） ；
（3）若以点O为中心，把△ABC逆时针旋转90°，则点P的对应点P2的坐标是 （﹣b，a） ，点P1与点P2关于 原点 对称．（填写“x轴”、“y轴”或“原点”）
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A1，B1，C1，然后写出A1，B1，C1的坐标；
（2）利用A1，B1，C1的坐标特征写出点P的对应点P1的坐标；
（3）先写出点P的对应点P2的坐标，再利用P1和P2的坐标特征可判断点P1与点P2关于原点对称．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；A1（4，﹣5），B1（3，﹣1），C1（1，﹣3）；
故答案为（4，﹣5），（3，﹣1），（1，﹣3）；
（2）点P的对应点P1的坐标是 （b，﹣a）；
故答案为（b，﹣a）；
（3）点P的对应点P2的坐标是（b，﹣a），点P1与点P2关于原点对称．
19．阅读下列材料，并完成相应学习任务：
一元二次方程在几何作图中的应用
如图1，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．求作一个矩形，使其周长和面积分别是矩形ABCD的周长和面积的2倍．
因为矩形ABCD的周长是14，面积是12，所以所求作的矩形周长是28，面积是24．
若设所求作的矩形一边的长为x，则与其相邻的一边长为14﹣x，所以，得x（14﹣x）＝24，解得x1＝2，x2＝12．
当x＝2时，14﹣x＝12；当x＝12时，14﹣x＝2．所以求作的矩形相邻两边长分别是2和12．
如图2，在边AB的延长线取点G，使得AG＝4AB．在AD上取AE＝AD，以AG和AE为邻边作出矩形AGFE，则矩形AGFE的周长和面积分别是矩形ABCD的周长和面积的2倍．
学习任务：
（1）在作出矩形AGFE的过程中，主要体现的数学思想是 ；（填出序号即可）
A．转化思想；B．数形结合思想；C．分类讨论思想；D．归纳思想
（2）是否存在一个矩形，使其周长与面积分别是矩形ABCD的周长和面积的？若存在，请在图1中作出符合条件的矩形；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据所给的例子进行分析即可；
（2）设所求作的矩形一边的长为x，则与其相邻的一边长为﹣x，从而可列出方程，解方程即可．
解：（1）在作出矩形AGFE的过程中，主要体现的数学思想是：数形结合思想，
故选：B；
（2）不存在，理由如下：
设所求作的矩形一边的长为x，依题意得：
所求矩形的周长为：×2×（3+4）＝7，面积为：×3×4＝6，
x（﹣x）＝6，
整理得：x2﹣x+6＝0，
∵Δ＝（﹣）2﹣4×1×6＝﹣24＝﹣＜0，
∴原方程没有实数根，
即不存在一个矩形，使其周长与面积分别是矩形ABCD的周长和面积的．
20．漪汾桥是太原市首座对称双七拱吊桥，每个桥拱呈大小相等的抛物线型，桥拱如长虹岀水，屹立于汾河之上，是太原市地标性建筑之一．如图2所示，单个桥拱在桥面上的跨度OA＝60米，在水面的跨度BC＝80米，桥面距水面的垂直距离OE＝7米，以桥面所在水平线为x轴，OE所在直线为y轴建立平面直角坐标系．
（1）求桥拱所在抛物线的函数关系表达式；
（2）求桥拱最高点到水面的距离是多少米？
【分析】（1）根据题意，可以设出抛物线的解析式，然后根据题意可以得到点B的坐标和顶点的横坐标，从而可以求得该抛物线的解析式；
（2）将（1）中的抛物线解析式化为顶点式，即可得到该函数的最大值，再根据OE＝7米，即可得到桥拱最高点到水面的距离是多少米．
解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx，
由题意可得，点B（﹣10，﹣7），顶点的横坐标为30，
∴，
解得，
即桥拱所在抛物线的函数关系表达式是y＝﹣0.01x2+0.6x；
（2）∵y＝﹣0.01x2+0.6x＝﹣0.01（x﹣30）2+9，
∴当x＝30时，y取得最大值9，
∵9+7＝16（米），
∴桥拱最高点到水面的距离是16米．
21．下面是小明解决某数学问题的过程，请认真阅读并解决相应学习任务：
数学问题：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：（ ）．现已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使每个星期的利润达到6080元，且顾客能够得到更大的实惠？
解：设…，
根据题意，所列出方程：（20﹣x）（300+×40）＝6080，
…
根据小明所列方程，完成下列任务：
（1）填空：数学问题中括号处短缺的条件是 售价每降低2元，销售量增加40件 ，小明所列方程中未知数x的实际意义是 销售价降低了x元 ．
（2）请你重新设一个未知数，要求所设未知数与小明所列方程中未知数的意义不同，并结合所补充的条件，解决上面的数学问题．
【分析】（1）根据“300+”分析销售量的变化，从而进行解答；
（2）设定价为x元，然后根据“单件商品利润×销售量＝总利润”列方程．
解：（1）由题意可得：售价为每件60元时，商品的单价利润为60﹣40＝20（元），
由所列方程中（20﹣x）表示单价利润降低了x元，说明其售价降低了x元，
由所列方程中（300+×40）表示商品销售量提高了（）件，说明其售价每降低2元，商品销售量增加40件，
∴短缺的条件是：售价每降低2元，销售量增加40件；
小明所列方程中未知数x的实际意义是“售价降低了x元”，
故答案为：售价每降低2元，销售量增加40件；售价降低了x元；
（2）设商品定价为x元时，每个星期的利润达到6080元，由题意可得：
（x﹣40）（300+×40）＝6080，
整理，得：x2﹣115x+3304＝0，
解得：x1＝56，x2＝59，
又∵要让顾客能够得到更大的实惠，
∴商品应该定价为56元．
22．综合与实践：
问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，点E是边CD上一点，将△ADE以点A为中心，顺时针旋转90°，得到△ABF，连接EF．过点A作AG⊥EF，垂足为G．试猜想FG与GE的数量关系，并证明．
（1）独立思考：请你解决老师所提出的问题；
（2）拓展探究：智慧小组在老师所提问题的基础上，连接DG，他们认为DG平分∠ADC．请你利用图2说明，智慧小组所提出的结论是否正确？请说明理由；
（3）问题解决：在图2中，若AD+DE＝28，则四边形AGED的面积为 196 ．（直接写出答案即可）
【分析】（1）由旋转得∠FAE＝90°，AF＝AE，再由AG⊥EF得FG＝GE；
（2）作GM⊥AD于点M，GN⊥CD于点N，先证明△GAM≌△GEN，得GM＝GN，再证明Rt△GDM≌Rt△GDN，即可得出结论；
（3）根据勾股定理AD2+DE2＝AE2＝AG2+EG2＝2AG2，将AD+DE＝28两边分别平方，得AD2+DE2+2AD•DE＝784，整理得AG2+AD•DE＝392，再求面积，S四边形AGED＝S△AGE+S△ADE＝AG2+AD•DE＝（AG2+AD•DE），即可得出结果．
解：（1）FG＝GE，
证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵将△ADE以点A为中心，顺时针旋转90°，得到△ABF，
∴∠FAE＝90°，AF＝AE，
∵AG⊥EF，垂足为G，
∴FG＝GE．
（2）正确，
理由：如图2，作GM⊥AD于点M，GN⊥CD于点N，
∵∠FAE＝90°，FG＝EG，
∴AG＝FE＝EG，
∵∠AGE＝∠ADE＝90°，
∴∠GAM+∠BED＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∵∠BEN+∠BED＝180°，
∴∠GAM＝∠GEN，
∵∠AMG＝∠ENG＝90°，
∴△GAM≌△GEN（AAS），
∴GM＝GN，
∵∠GMD＝∠GND＝90°，DG＝DG，
∴Rt△GDM≌Rt△GDN（HL），
∴∠MDG＝∠NDG，
即∠ADG＝∠CDG，
∴DG平分∠ADC，
∴智慧小组所提出的结论正确．
（3）如图2，∵AG＝EG，∠AGE＝90°，
∴S△AGE＝AG•EG＝AG2，
∵∠ADE＝90°，
∴S△ADE＝AD•DE，
∴S四边形AGED＝S△AGE+S△ADE＝AG2+AD•DE＝（AG2+AD•DE），
∵AD+DE＝28，
∴（AD+DE）2＝282，
∴AD2+DE2+2AD•DE＝784，
∵AD2+DE2＝AE2＝AG2+EG2＝2AG2，
∴2AG2+2AD•DE＝784，
∴AG2+AD•DE＝392，
∴S四边形AGED＝×392＝196，
∴四边形AGED的面积为196，
故答案为：196．
23．综合与探究：
已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是y轴右侧抛物线上一个动点．
（1）求出点A，B，C的坐标；
（2）如图1，当点D在第四象限时，求出△BCD面积的最大值，并求出这时点D坐标；
（3）当∠DAB＝∠ABC时，求出点D的坐标．
【分析】（1）抛物线y＝x2﹣2x﹣3，当x＝0时，y＝﹣3，当y＝0时，则x2﹣2x﹣3＝0，解方程求出x的值，即可求出A、B、C三点的坐标；
（2）作DF⊥x轴于点F，交BC于点E，先求出直线BC的解析式，设D（x，x2﹣2x﹣3）（0＜x＜3），则E（x，x﹣3），用含x的代数式表示DE的长及△BCD的面积，再根据二次函数的性质求出△BCD面积的最大值及此时点D的坐标；
（3）分两种情况讨论，一是点D在x轴的下方，二是点D在x轴的上方，分别求出直线AD的解析式且与抛物线的解析式组成方程组，解方程组求出点D的坐标即可．
解：（1）抛物线y＝x2﹣2x﹣3，当x＝0时，y＝﹣3；
当y＝0时，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）．
（2）如图1，作DF⊥x轴于点F，交BC于点E，
设直线BC的解析式为y＝kx﹣3，则3k﹣3＝0，
解得k＝1，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
设D（x，x2﹣2x﹣3）（0＜x＜3），则E（x，x﹣3），
则DE＝（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x，
∵S△BCD＝DE•OF+DE•BF＝DE•OB＝DE，
∴S△BCD＝（﹣x2+3x）＝（x﹣）2+，
∴当x＝时，S△BCD最大＝，
此时，D（，），
∴△BCD面积的最大值是，这时点D的坐标为（，）．
（3）∵∠BOC＝90°，OB＝OC＝3，
∴∠ABC＝∠OCB＝45°，
如图2，点D在x轴的下方，且∠DAB＝∠ABC＝45°，
设AD交y轴于点G，
∵∠AOG＝90°，
∴∠OGA＝∠OAG＝45°，
∴OG＝OA＝1，
∴G（0，﹣1），
设直线AD的解析式为y＝mx﹣1，则﹣m﹣1＝0，
解得m＝﹣1，
∴直线AD的解析式为y＝﹣x﹣1，
由得，，
∴D（2，﹣3）；
如图3，点D在x轴的上方，且∠DAB＝∠ABC＝45°，
设AD交y轴于点H，
∵∠AOH＝90°，
∴∠OAH＝∠OHA＝45°，
∴OH＝OA＝1，
∴H（0，1），
∵AD∥BC，
∴直线AD的解析式为y＝x+1，
由得，，
∴D（4，5），
综上所述，点D的坐标为（2，﹣3）或（4，5）．
相关试卷
2022-2023学年山西省吕梁市孝义市九年级（上）期中数学试卷及答案： 这是一份2022-2023学年山西省吕梁市孝义市九年级（上）期中数学试卷及答案，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山西省吕梁市孝义市九年级（上）期中数学试卷： 这是一份2022-2023学年山西省吕梁市孝义市九年级（上）期中数学试卷
2021-2022学年山西省吕梁市孝义市八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）： 这是一份2021-2022学年山西省吕梁市孝义市八年级（下）期末数学试卷（Word解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
