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2022-2023学年山西省吕梁市孝义市九年级（上）期中数学试卷
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2022-2023学年山西省吕梁市孝义市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A．x2+y2＝1 B．3x2+1＝6x C．3x+2＝0 D．2．（3分）“保护生态，人人有责”，下列生态环保图片中，是中心对称图形的是（ ）A． B． C． D．3．（3分）下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）A．2x2＝x B．9x2﹣12x+4＝0 C．x2+x+1＝0 D．x（x+4）+5＝04．（3分）将抛物线y＝（x﹣3）2﹣4先向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到抛物线的解析式是（ ）A．y＝（x﹣4）2﹣6 B．y＝（x﹣1）2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣2 D．y＝（x﹣4）2﹣25．（3分）若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点为（﹣2，0），（4，0），则该抛物线的对称轴为（ ）A．直线x＝﹣3 B．直线x＝3 C．直线x＝1 D．直线x＝﹣16．（3分）用直接开平方法解方程（2x﹣3）2＝4时，可以将其转化为2x﹣3＝2或2x﹣3＝﹣2，其依据的数学知识是（ ）A．完全平方公式 B．平方根的意义 C．等式的性质 D．一元二次方程的求根公式7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，将△ABC以C为旋转中心，顺时针旋转角度α（0°＜α＜180°），若A'B'的中点O恰好在AC上，则旋转角α的度数是（ ）A．40° B．50° C．130° D．140°8．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A．abc＜0 B．2a﹣b＝0 C．4a+2b+c＞0 D．关于x的一元二次方程ax2+bx+c+3＝0有两个不相等的实数根9．（3分）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是111．若设每个支干长出的小分支的个数是x，则下面所列方程正确的是（ ）A．（1+x）2＝111 B．1+x+（x+1）2＝111 C．1+x+x2＝111 D．x+x2＝11110．（3分）如图，线段AB＝1，在线段AB上找一点C，C把AB分为AC和BC两段，其中AC＜BC，若，则点C就叫做线段AB的黄金分割点，其中（或）的值叫做黄金分割数．则黄金分割数是（ ）A． B． C． D．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，将△ABC以B为中心逆时针方向旋转，得到△BDE，当点C的对应点E落在边AB上时，线段AD的长度值是 ．12．（3分）若抛物线y＝2x2+12x﹣c的顶点在x轴上，则c的值是 ．13．（3分）在2022年第56届国际乒联世界乒乓球团体锦标赛女团决赛中，国乒女团零封日本女团，实现五连冠，第22次捧起象征“最强女子乒团”的荣誉——考比伦杯．此次世锦赛小组赛中，中国乒乓球女队被分在A组，在本组单循环赛中（每两个队之间比赛一场）共进行了10场比赛，则在A组中共有 个国家的女队参加了比赛．14．（3分）已知点A（h﹣1，k1）和B（h+2，k2）都在二次函数y＝﹣2（x﹣h）2+3的图象上，则k1和k2的大小关系是 ．15．（3分）有一块三角形材料如图所示，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝8．用这块材料剪出一个平行四边形EFDB，其中，点D，E，F分别在BC，AB，AC上．则剪出的平行四边形EFDB的面积的最大值是 ．三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（10分）解方程（1）2x2﹣4x＝﹣1；（2）x2﹣16＝x+4．17．（7分）已知抛物线y＝2x2﹣6x+3．请用配方法将其化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，并写出其开口方向、对称轴及顶点坐标．18．（7分）某农户种植有图1所示蔬菜大棚，其截面示意图如图2所示，其横截面塑料顶棚可以近似看作是抛物线，其中OA是地面所在的水平线，点O是塑料顶棚与地面的交点，AB是保温墙，并且塑料顶棚最高点到点O的水平距离是6米，到地面OA的高度是3米．现以OA所在直线为x轴，过点O垂直于OA的直线为y轴，建立平面直角坐标系．若保温墙AB到点O的距离OA＝8米．请你求出保温墙AB的高度．19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，A（2，1），B（4，3），C（1，3）．（1）若△A1B1C1与△ABC关于原点成中心对称（点A1，B1，C1分别与点A，B，C对应），试在图中画出△A1B1C1；（2）将△ABC以C为中心顺时针旋转90°得到△A2B2C，试在图中画出△A2B2C；（3）若△A2B2C可由△A1B1C1以点P为中心旋转得到，则点P的坐标是 ．20．（10分）阅读下列材料，并完成相应学习任务：古希腊著名的毕达哥拉斯学派发现，一定数目的点或圆在等距离排列下可以形成一个等边三角形，他们把这样的数称之为三角形数．如用1，3，6，10，15，21，…数目的石子就可以排成如图1所示的等边三角形，因而这样的数就是三角形数．所有的三角形数都具有如图2所示的规律．学习任务：请用一元二次方程的有关知识，解决下列问题：（1）请判断78是第几个三角形数？写出判断过程．（2）若相邻两个三角形数的和是121，求这两个三角形数．21．（10分）山西土豆（马铃薯）色泽光鲜，含淀粉高，不容易腐烂，具有比其它地方土豆多淀粉、蛋白质、维生素C等营养成份．某合作社2020年到2022年每年种植土豆100亩，2020年土豆的平均亩产量为1000千克，2021年到2022年引进先进的种植技术，2022年土豆的平均亩产量达到1440千克．（1）若2021年和2022年土豆的平均亩产量的年增长率相同，求土豆平均亩产量的年增长率为多少？（2）2023年该合作社计划在保证土豆种植的总成本不变的情况下，增加土豆的种植面积，经过统计调查发现，2022年每亩土豆的种植成本为1200元，若土豆的种植面积每增加1亩，则每亩土豆的种植成本将下降10元，求该合作社增加土豆种植面积多少亩，才能保证土豆种植的总成本不变？22．（12分）综合与实践问题情境：如图1，四边形ABCD和EFCG都是正方形，点G，F分别在边CD和CB上，点E在正方形ABCD的内部．猜想证明：（1）DG和BF的位置关系是 ，DG和BF的数量关系是 ．（2）将正方形EFCG以C为中心顺时针方向旋转到图2所示位置，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．问题解决：（3）如图3，在正方形EFCG以C为中心顺时针旋转的过程中，当点E落在正方形ABCD的边AD上时，若CB＝17，CF＝13，则BF的长度是 ．（请直接写出答案即可）23．（13分）综合与探究如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．点D在第一象限内的抛物线上．（1）请直接写出点A，B，C的坐标；（2）若，求出点D的坐标；（3）如图2，在满足（2）的条件下，连接BC交OD于点E．则BC是否平分线段OD？请说明理由． 2022-2023学年山西省吕梁市孝义市九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A．x2+y2＝1 B．3x2+1＝6x C．3x+2＝0 D．【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、x2+y2＝1，是二元二次方程，故A不符合题意．B、3x2+1＝6x，是一元二次方程，故B符合题意．C、3x+2＝0，是一元二一次方程，故C不符合题意．D、，是分式方程，故D不符合题意．故选：B．【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．2．（3分）“保护生态，人人有责”，下列生态环保图片中，是中心对称图形的是（ ）A． B． C． D．【分析】根据中心对称图形的概念判断即可．【解答】A．不是中心对称图形，不符合题意；B．不是中心对称图形，不符合题意；C．不是中心对称图形，不符合题意；D．是中心对称图形，符合题意．故选：D．【点评】本题考查识别中心对称图形．识别中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．3．（3分）下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）A．2x2＝x B．9x2﹣12x+4＝0 C．x2+x+1＝0 D．x（x+4）+5＝0【分析】分别计算四个方程的根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程的根的情况，即可得出答案．【解答】解：A.2x2＝x化为一般式为2x2﹣x＝0，∵Δ＝（﹣1）2﹣4×2×0＝1＞0，则方程有两个不相等的实数根，故A选项符合题意；B．∵Δ＝122﹣4×9×4＝144﹣144＝0，∴则方程有两个相等的实数根，故B选项不符合题意；C．∵Δ＝12﹣4×1×1＝1﹣4＝﹣3＜0，则方程没有实数根，故C选项不符合题意；D．x（x+4）+5＝0化为一般式为x2+4x+5＝0，∵Δ＝42﹣4×1×5＝16﹣20＝﹣4＜0，则方程没有实数根，故D选项不符合题意．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式与根的情况的关系，解题的关键是掌握当判别式的值大于0时，方程有两个不相等的实数根．4．（3分）将抛物线y＝（x﹣3）2﹣4先向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到抛物线的解析式是（ ）A．y＝（x﹣4）2﹣6 B．y＝（x﹣1）2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣2 D．y＝（x﹣4）2﹣2【分析】由二次函数解析式可得抛物线的顶点坐标，根据平移后的顶点坐标求解．【解答】解：∵y＝（x﹣3）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），将抛物线y＝（x﹣3）2﹣4先向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，顶点坐标为（2，﹣2），∴平移后解析式为y＝（x﹣2）2﹣2，故选：C．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数图象平移的规律．5．（3分）若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点为（﹣2，0），（4，0），则该抛物线的对称轴为（ ）A．直线x＝﹣3 B．直线x＝3 C．直线x＝1 D．直线x＝﹣1【分析】直接根据两个交点坐标可得对称轴．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点为（﹣2，0），（4，0），∴该抛物线的对称轴为直线，故选：C．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，掌握公式法或将函数解析式化为顶点式求对称轴是解题的关键．6．（3分）用直接开平方法解方程（2x﹣3）2＝4时，可以将其转化为2x﹣3＝2或2x﹣3＝﹣2，其依据的数学知识是（ ）A．完全平方公式 B．平方根的意义 C．等式的性质 D．一元二次方程的求根公式【分析】用直接开平方法解形如“（x+a）2＝b（b≥0）”一元二次方程，根据平方根的定义，可得，即可得出答案．【解答】解：用直接开平方法解方程（2x﹣3）2＝4时，可以将其转化为2x﹣3＝2或2x﹣3＝﹣2，其依据的数学知识是平方根的意义．故选：B．【点评】本题考查了用直接开平方法解一元二次方程的理论依据，解题的关键是知道用直接开平方法解一元二次方程的理论依据就是平方根的意义．7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，将△ABC以C为旋转中心，顺时针旋转角度α（0°＜α＜180°），若A'B'的中点O恰好在AC上，则旋转角α的度数是（ ）A．40° B．50° C．130° D．140°【分析】由直角三角形的两个锐角互余得出∠A＝40°，再由旋转的性质得出∠A'＝∠A＝40°，∠A'CB'＝∠ACB＝90°．最后由直角三角形斜边中线的性质即可得出A'O＝OC，从而得出∠A'CA＝∠A'＝40°，即α＝40°．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝50°，∴∠A＝40°．由旋转的性质可知∠A'＝∠A＝40°，∠A'CB'＝∠ACB＝90°．又∵A'B'的中点O恰好在AC上，∴A'O＝OC，∴∠A'CA＝∠A'＝40°，即旋转角α的度数是40°．故选：A．【点评】本题考查直角三角形的两个锐角，旋转的性质，直角三角形斜边中线的性质．熟练掌握旋转的性质是解题关键．8．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A．abc＜0 B．2a﹣b＝0 C．4a+2b+c＞0 D．关于x的一元二次方程ax2+bx+c+3＝0有两个不相等的实数根【分析】观察图象：开口向上得到a＞0；对称轴在y轴的左侧得到a、b异号，则b＜0；抛物线与y轴的交点在x轴的下方得到c＜0，所以abc＞0；由对称轴为，可得2a+b＝0；当x＝2时，图象在x轴下方得到4a+2b+c＜0，抛物线y＝ax2+bx+c+3相当于把y＝ax2+bx+c图象往上平移了3个单位，观察y＝ax2+bx+c图象可知抛物线顶点所对应的y值小于﹣3，所以平移后得到y＝ax2+bx+c+3与x轴仍有2个交点，所以方程ax2+bx+c+3＝0有两个不相等的实数根，据此对各选项进行判断即可．【解答】解：观察图象：开口向上得到a＞0；对称轴在y轴的左侧得到a、b异号，则b＜0；抛物线与y轴的交点在x轴的下方得到c＜0，所以abc＞0，故A选项错误；∵由对称轴为，可得2a+b＝0；故B选项错误；当x＝2时，图象在x轴下方得到4a+2b+c＜0，故C选项错误；抛物线y＝ax2+bx+c+3相当于把y＝ax2+bx+c图象往上平移了3个单位，观察y＝ax2+bx+c图象可知抛物线顶点所对应的y值小于﹣3，所以平移后得到y＝ax2+bx+c+3与x轴仍有2个交点，所以方程ax2+bx+c+3＝0有两个不相等的实数根，故D选项正确，故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，当a＞0，开口向上，函数有最小值，a＜0，开口向下，函数有最大值；对称轴为直线，a与b同号，对称轴在y轴的左侧，a与b异号，对称轴在y轴的右侧；当c＞0，抛物线与y轴的交点在x轴的上方；当Δ＝b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点．9．（3分）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是111．若设每个支干长出的小分支的个数是x，则下面所列方程正确的是（ ）A．（1+x）2＝111 B．1+x+（x+1）2＝111 C．1+x+x2＝111 D．x+x2＝111【分析】设每个支干长出x个小分支，则主干生出x个支干，而x个支干每个又生出x个小分支，所以一共有（1+x+x2）个，从而可列出方程．【解答】解：设每个支干长出x个小分支，依题意可列方程：1+x+x2＝111．故选：C．【点评】本题考查一元二次方程的应用．理解题意，找出等量关系是解题关键．10．（3分）如图，线段AB＝1，在线段AB上找一点C，C把AB分为AC和BC两段，其中AC＜BC，若，则点C就叫做线段AB的黄金分割点，其中（或）的值叫做黄金分割数．则黄金分割数是（ ）A． B． C． D．【分析】设AC＝x，则BC＝1﹣x，代入并整理得：x2﹣3x+1＝0，求出x的值，再舍去不合题意的值，最后计算比值即可．【解答】解：设AC＝x，则BC＝1﹣x，∵，∴，整理，得：x2﹣3x+1＝0，解得：，经检验，是原分式方程的解．∵AC＜BC＜AB＝1，∴，∴，∴．故选：B．【点评】本题考查黄金分割，解可化为一元二次方程的分式方程．理解黄金分割的定义是解题关键．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，将△ABC以B为中心逆时针方向旋转，得到△BDE，当点C的对应点E落在边AB上时，线段AD的长度值是 ．【分析】先根据勾股定理计算出AB，根据旋转的性质求得DE，BE，从而计算出AE，最后根据勾股定理即可计算出AD．【解答】解：∵AB2＝BC2+AC2，∴AB＝5，根据旋转的性质得BE＝BC＝4，DE＝AC＝3，∴AE＝AB﹣BE＝5﹣4＝1，∵∠BED＝∠C＝90°，∴∠AED＝90°，∴AD2＝AE2+DE2，∴，故答案为：．【点评】本题考查旋转的性质和勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的相关知识．12．（3分）若抛物线y＝2x2+12x﹣c的顶点在x轴上，则c的值是 ﹣18 ．【分析】根据二次函数的顶点的纵坐标列式求解即可．【解答】解：∵抛物线y＝2x2+12x﹣c＝2（x+3）2﹣18﹣c，∵顶点在x轴上，∴﹣18﹣c＝0，解得c＝﹣18．故答案为：﹣18．【点评】本题考查了二次函数的性质，根据顶点的坐标列出等式是解题的关键．13．（3分）在2022年第56届国际乒联世界乒乓球团体锦标赛女团决赛中，国乒女团零封日本女团，实现五连冠，第22次捧起象征“最强女子乒团”的荣誉——考比伦杯．此次世锦赛小组赛中，中国乒乓球女队被分在A组，在本组单循环赛中（每两个队之间比赛一场）共进行了10场比赛，则在A组中共有 5 个国家的女队参加了比赛．【分析】设在A组中共有x个国家的女队参加了比赛，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．【解答】解：设在A组中共有x个国家的女队参加了比赛，根据题意得：，解得x1＝5，x2＝﹣4（舍去）．故答案为：5．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．14．（3分）已知点A（h﹣1，k1）和B（h+2，k2）都在二次函数y＝﹣2（x﹣h）2+3的图象上，则k1和k2的大小关系是 k1＞k2 ．【分析】根据二次函数的增减性即可得；【解答】解：由y＝﹣2（x﹣h）2+3可知，该函数的顶点坐标为（h，3），且在x＝h时取最大值，根据点A（h﹣1，k1）和B（h+2，k2）可知，点B距离顶点比点A远，所以k1＞k2．故答案为：k1＞k2．【点评】本题主要考查二次函数图象即性质，掌握相关知识是解题的关键．15．（3分）有一块三角形材料如图所示，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝8．用这块材料剪出一个平行四边形EFDB，其中，点D，E，F分别在BC，AB，AC上．则剪出的平行四边形EFDB的面积的最大值是 4 ．【分析】根据含30°的直角三角形的性质，可得，设CD＝x，则BD＝4﹣x，根据平行四边形的性质，有DF∥AB，可得∠DFC＝∠A＝30°，利用锐角三角函数，可得，则可表达出平行四边形EFDB的面积的表达式，利用二次函数的性质，即可求出平行四边形EFDB的面积的最大值．【解答】解：∵∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝8，∴，设CD＝x，则BD＝4﹣x，在平行四边形EFDB中，DF∥AB，∴∠DFC＝∠A＝30°，在Rt△CDF中，，∴，∴平行四边形EFDB的面积＝BD•CF＝（4﹣x）•xx2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴当x＝2时，平行四边形EFDB的面积最大，最大值是．故答案为：．【点评】本题考查了直角三角形的性质，锐角三角函数，平行四边形的性质，二次函数的性质，解题的关键是将平行四边形的面积表示成二次函数．三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（10分）解方程（1）2x2﹣4x＝﹣1；（2）x2﹣16＝x+4．【分析】（1）整理后，利用配方法求解即可；（2）整理后，利用因式分解法求解即可．【解答】解：（1）2x2﹣4x＝﹣1∴，配方得x2﹣2x+11，即（x﹣1）2，∴x﹣1，所以，；（2）解：x2﹣16＝x+4，∴（x+4）（x﹣4）﹣（x+4）＝0，∴（x+4）（x﹣4﹣1）＝0，∴x+4＝0或x﹣5＝0，所以x1＝﹣4，x2＝5．【点评】本题主要考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．17．（7分）已知抛物线y＝2x2﹣6x+3．请用配方法将其化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，并写出其开口方向、对称轴及顶点坐标．【分析】根据配方法的步骤先将抛物线化为顶点式，再根据对称轴为直线x＝h，顶点坐标（h．k），以及a的取值范围即可进行解答．【解答】解：y＝2x2﹣6x+3＝2（）＝2[]＝2，∴y＝2，∵2＞0，∴函数开口向上，对称轴为直线x，顶点坐标为（）．【点评】本题主要考查了将二次函数表达式化为顶点式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，根据函数表达式写出函数的顶点坐标和对称轴．18．（7分）某农户种植有图1所示蔬菜大棚，其截面示意图如图2所示，其横截面塑料顶棚可以近似看作是抛物线，其中OA是地面所在的水平线，点O是塑料顶棚与地面的交点，AB是保温墙，并且塑料顶棚最高点到点O的水平距离是6米，到地面OA的高度是3米．现以OA所在直线为x轴，过点O垂直于OA的直线为y轴，建立平面直角坐标系．若保温墙AB到点O的距离OA＝8米．请你求出保温墙AB的高度．【分析】根据顶点坐标，设函数的表达式为y＝a（x﹣6）2+3，再将原点坐标代入求出函数的表达式，最后将x＝8代入求解即可．【解答】解：设塑料顶棚所在抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2+3，∵点O（0，0），∴把x＝0，y＝0代入抛物线解析式，得：36a+3＝0，解得：a，∴抛物线的解析式为y（x﹣6）2+3，当x＝8时，y（8﹣6）2+3，答：保温墙AB的高度是米．【点评】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握函数的顶点式，会用待定系数法求解函数的表达式是解题的关键．19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，A（2，1），B（4，3），C（1，3）．（1）若△A1B1C1与△ABC关于原点成中心对称（点A1，B1，C1分别与点A，B，C对应），试在图中画出△A1B1C1；（2）将△ABC以C为中心顺时针旋转90°得到△A2B2C，试在图中画出△A2B2C；（3）若△A2B2C可由△A1B1C1以点P为中心旋转得到，则点P的坐标是 （﹣3，1） ．【分析】（1）根据成中心对称的两个图形的特征，即可画出图形；（2）根据旋转图形的性质，即可画出图形；（3）根据旋转的性质，即可找到P点，从而求出P点的坐标．【解答】（1）解：ΔA1B1C1如图所示：（2）解：ΔA2B2C如图所示：（3）解：点P的位置如图所示：由图可知，点P的坐标为（﹣3，1）．故答案为：（﹣3，1）．【点评】本题主要考查了作图—旋转、成中心对称，作已知两个图形的旋转中心，解题的关键是掌握相关的作图方法．20．（10分）阅读下列材料，并完成相应学习任务：古希腊著名的毕达哥拉斯学派发现，一定数目的点或圆在等距离排列下可以形成一个等边三角形，他们把这样的数称之为三角形数．如用1，3，6，10，15，21，…数目的石子就可以排成如图1所示的等边三角形，因而这样的数就是三角形数．所有的三角形数都具有如图2所示的规律．学习任务：请用一元二次方程的有关知识，解决下列问题：（1）请判断78是第几个三角形数？写出判断过程．（2）若相邻两个三角形数的和是121，求这两个三角形数．【分析】（1）根据题意易得第n个三角形数可以表示为，则有，然后求解即可；（2）设较小的三角形数是，则较大的三角形数是，由题意可知，，进而求解即可．【解答】解：（1）根据材料可知，第n个三角形数可以表示为，当时，解得n2+n﹣156＝0，解得n1＝12，n2＝﹣13，因为n是正整数，所以n＝﹣13舍去，∴78是第12个三角形数．（2）设较小的三角形数是，则较大的三角形数是．由题意可知，，解得n1＝10，n2＝﹣12（舍去），当n＝10时，55，．所以这两个三角形数是55和66．【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法及理解题意是解题的关键．21．（10分）山西土豆（马铃薯）色泽光鲜，含淀粉高，不容易腐烂，具有比其它地方土豆多淀粉、蛋白质、维生素C等营养成份．某合作社2020年到2022年每年种植土豆100亩，2020年土豆的平均亩产量为1000千克，2021年到2022年引进先进的种植技术，2022年土豆的平均亩产量达到1440千克．（1）若2021年和2022年土豆的平均亩产量的年增长率相同，求土豆平均亩产量的年增长率为多少？（2）2023年该合作社计划在保证土豆种植的总成本不变的情况下，增加土豆的种植面积，经过统计调查发现，2022年每亩土豆的种植成本为1200元，若土豆的种植面积每增加1亩，则每亩土豆的种植成本将下降10元，求该合作社增加土豆种植面积多少亩，才能保证土豆种植的总成本不变？【分析】（1）设2021年和2022年土豆平均亩产量的年增长率为x，第2021年土豆平均亩产量为10009（1+x）千克，第2022年土豆平均亩产量为1000（1+x）2千克，据此列出方程求解即可；（2）设增加土豆种植面积a亩，根据成本不变列出方程求解即可．【解答】解：（1）设2021年和2022年土豆平均亩产量的年增长率为x．根据题意，得1000（1+x）2＝1440，解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2．（不合题意，舍去）答：土豆平均亩产量的年增长率为20%．（2）设增加土豆种植面积a亩．根据题意，得（100+a）（1200﹣10a）＝1200×100．解得a1＝0（不合题意，舍去），a2＝20．答：该合作社增加土豆的种植面积20亩时，才能保证土豆种植的总成本保持不变．【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意找到等量关系列出方程求解是解题的关键．22．（12分）综合与实践问题情境：如图1，四边形ABCD和EFCG都是正方形，点G，F分别在边CD和CB上，点E在正方形ABCD的内部．猜想证明：（1）DG和BF的位置关系是 DG⊥BF ，DG和BF的数量关系是 DG＝BF ．（2）将正方形EFCG以C为中心顺时针方向旋转到图2所示位置，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．问题解决：（3）如图3，在正方形EFCG以C为中心顺时针旋转的过程中，当点E落在正方形ABCD的边AD上时，若CB＝17，CF＝13，则BF的长度是 5 ．（请直接写出答案即可）【分析】（1）由正方形的性质即可得出结论；（2）由正方形的性质，可证得△BCF≌△△BCF≌△DCG，可得DG＝BF，∠GDC＝∠FBC，再利用四边形内角和，可证得BF⊥DG；（3）连接CE，AC，由正方形的性质，可证得△BCF∽△ACE，设AE＝x，则DE＝17﹣x，在Rt△CDE中，有CD2+DE2＝CE2，即可建立方程，再根据相似三角形得性质，即可求解．【解答】解：（1）∵四边形ABCD和EFCG都是正方形，点G，F分别在边CD和CB上，∴DC⊥BC，DC＝BC，GC＝FC，∴DG⊥BF，DC﹣GC＝BC﹣FC，即DG＝BF．故答案为：DG⊥BF，DG＝BF；（2）成立，理由如下：延长BF与DG交于点H．∵四边形ABCD和EFCG均为正方形，∴BC＝DC，FC＝GC，∠BCD＝∠FCG＝90°，∴∠BCF＝∠DCG∴△BCF≌△DCG（SAS），∴DG＝BF，∠GDC＝∠FBC，∵∠CDA+∠A+∠ABC＝270°，∴∠CDA+∠A+∠ABH+∠FBC＝∠CDA+∠A+∠ABH+∠GDC＝270°，∴∠GDA+∠A+∠ABH＝270°．∵∠GDA+∠A+∠ABH+∠BHD＝360°，∴∠BHD＝90°，即BF⊥DG；（3）连接CE，AC，如图，∵四边形ABCD和EFCG均为正方形，∴，，∠BCA＝∠FCE＝45°，∴，∠BCA﹣∠ACF＝∠FCE﹣∠ACF，∴，∠BCF＝∠ACE，∴△BCF∽△ACE，∴，设AE＝x，则DE＝17﹣x，∵，CF＝13，∴CE＝13，在Rt△CDE中，CD2+DE2＝CE2，∴，解得x1＝10，x2＝24，∵点E落在正方形ABCD的边AD上，∴AE＝10，∵，∴BF＝5．故答案为：5．【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线，寻找全等三角形或相似三角形解决问题．23．（13分）综合与探究如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．点D在第一象限内的抛物线上．（1）请直接写出点A，B，C的坐标；（2）若，求出点D的坐标；（3）如图2，在满足（2）的条件下，连接BC交OD于点E．则BC是否平分线段OD？请说明理由．【分析】（1）分别将x＝0和y＝0代入函数表达式求解即可；（2）设D（m，m2m+2），根据三角形的面积公式将△COD和△OBD的面积表达出来，即可进行解答；（3）过点D作DQ∥y轴，并且交直线BC于点Q．通过证明△COE≌△QDE即可得出结论．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝2，∴C（0，2），当y＝0时，x2x+2＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝4，∴A（﹣1，0），B（4，0）．∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）；（2）如图1，过点D分别作DG⊥x轴，DH⊥y轴，垂足分别为G，H．设D（m，m2m+2），∵S△DCOOC•DH2×m．S△BODOB•DG4×（m2m+2），∵，∴2×m4×（m2m+2），解得：m1＝2，m2＝﹣2（舍去），当m＝2时，m2m+2＝3，∴D（2，3）；（3）BC平分OD．理由如下：如图2，过点D作DQ∥y轴，并且交直线BC于点Q，设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B（4，0），C（0，2）代入，得：，解得：．∴直线BC的解析式为：yx+2．∵点Q的横坐标为2，把x＝2代入yx+2，得y＝1．∴点Q（2，1）．∴DQ＝3﹣1＝2．∴DQ＝OC＝2．又∵∠CEO＝∠QED，∠OCE＝∠DQE，∴△COE≌△QDE（AAS），∴OE＝DE．∴BC平分OD．【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，能够根据函数表达式将未知点的坐标表示出来从而求解．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/1/30 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2022-2023学年山西省吕梁市孝义市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A．x2+y2＝1 B．3x2+1＝6x C．3x+2＝0 D．2．（3分）“保护生态，人人有责”，下列生态环保图片中，是中心对称图形的是（ ）A． B． C． D．3．（3分）下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）A．2x2＝x B．9x2﹣12x+4＝0 C．x2+x+1＝0 D．x（x+4）+5＝04．（3分）将抛物线y＝（x﹣3）2﹣4先向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到抛物线的解析式是（ ）A．y＝（x﹣4）2﹣6 B．y＝（x﹣1）2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣2 D．y＝（x﹣4）2﹣25．（3分）若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点为（﹣2，0），（4，0），则该抛物线的对称轴为（ ）A．直线x＝﹣3 B．直线x＝3 C．直线x＝1 D．直线x＝﹣16．（3分）用直接开平方法解方程（2x﹣3）2＝4时，可以将其转化为2x﹣3＝2或2x﹣3＝﹣2，其依据的数学知识是（ ）A．完全平方公式 B．平方根的意义 C．等式的性质 D．一元二次方程的求根公式7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，将△ABC以C为旋转中心，顺时针旋转角度α（0°＜α＜180°），若A'B'的中点O恰好在AC上，则旋转角α的度数是（ ）A．40° B．50° C．130° D．140°8．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A．abc＜0 B．2a﹣b＝0 C．4a+2b+c＞0 D．关于x的一元二次方程ax2+bx+c+3＝0有两个不相等的实数根9．（3分）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是111．若设每个支干长出的小分支的个数是x，则下面所列方程正确的是（ ）A．（1+x）2＝111 B．1+x+（x+1）2＝111 C．1+x+x2＝111 D．x+x2＝11110．（3分）如图，线段AB＝1，在线段AB上找一点C，C把AB分为AC和BC两段，其中AC＜BC，若，则点C就叫做线段AB的黄金分割点，其中（或）的值叫做黄金分割数．则黄金分割数是（ ）A． B． C． D．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，将△ABC以B为中心逆时针方向旋转，得到△BDE，当点C的对应点E落在边AB上时，线段AD的长度值是 ．12．（3分）若抛物线y＝2x2+12x﹣c的顶点在x轴上，则c的值是 ．13．（3分）在2022年第56届国际乒联世界乒乓球团体锦标赛女团决赛中，国乒女团零封日本女团，实现五连冠，第22次捧起象征“最强女子乒团”的荣誉——考比伦杯．此次世锦赛小组赛中，中国乒乓球女队被分在A组，在本组单循环赛中（每两个队之间比赛一场）共进行了10场比赛，则在A组中共有 个国家的女队参加了比赛．14．（3分）已知点A（h﹣1，k1）和B（h+2，k2）都在二次函数y＝﹣2（x﹣h）2+3的图象上，则k1和k2的大小关系是 ．15．（3分）有一块三角形材料如图所示，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝8．用这块材料剪出一个平行四边形EFDB，其中，点D，E，F分别在BC，AB，AC上．则剪出的平行四边形EFDB的面积的最大值是 ．三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（10分）解方程（1）2x2﹣4x＝﹣1；（2）x2﹣16＝x+4．17．（7分）已知抛物线y＝2x2﹣6x+3．请用配方法将其化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，并写出其开口方向、对称轴及顶点坐标．18．（7分）某农户种植有图1所示蔬菜大棚，其截面示意图如图2所示，其横截面塑料顶棚可以近似看作是抛物线，其中OA是地面所在的水平线，点O是塑料顶棚与地面的交点，AB是保温墙，并且塑料顶棚最高点到点O的水平距离是6米，到地面OA的高度是3米．现以OA所在直线为x轴，过点O垂直于OA的直线为y轴，建立平面直角坐标系．若保温墙AB到点O的距离OA＝8米．请你求出保温墙AB的高度．19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，A（2，1），B（4，3），C（1，3）．（1）若△A1B1C1与△ABC关于原点成中心对称（点A1，B1，C1分别与点A，B，C对应），试在图中画出△A1B1C1；（2）将△ABC以C为中心顺时针旋转90°得到△A2B2C，试在图中画出△A2B2C；（3）若△A2B2C可由△A1B1C1以点P为中心旋转得到，则点P的坐标是 ．20．（10分）阅读下列材料，并完成相应学习任务：古希腊著名的毕达哥拉斯学派发现，一定数目的点或圆在等距离排列下可以形成一个等边三角形，他们把这样的数称之为三角形数．如用1，3，6，10，15，21，…数目的石子就可以排成如图1所示的等边三角形，因而这样的数就是三角形数．所有的三角形数都具有如图2所示的规律．学习任务：请用一元二次方程的有关知识，解决下列问题：（1）请判断78是第几个三角形数？写出判断过程．（2）若相邻两个三角形数的和是121，求这两个三角形数．21．（10分）山西土豆（马铃薯）色泽光鲜，含淀粉高，不容易腐烂，具有比其它地方土豆多淀粉、蛋白质、维生素C等营养成份．某合作社2020年到2022年每年种植土豆100亩，2020年土豆的平均亩产量为1000千克，2021年到2022年引进先进的种植技术，2022年土豆的平均亩产量达到1440千克．（1）若2021年和2022年土豆的平均亩产量的年增长率相同，求土豆平均亩产量的年增长率为多少？（2）2023年该合作社计划在保证土豆种植的总成本不变的情况下，增加土豆的种植面积，经过统计调查发现，2022年每亩土豆的种植成本为1200元，若土豆的种植面积每增加1亩，则每亩土豆的种植成本将下降10元，求该合作社增加土豆种植面积多少亩，才能保证土豆种植的总成本不变？22．（12分）综合与实践问题情境：如图1，四边形ABCD和EFCG都是正方形，点G，F分别在边CD和CB上，点E在正方形ABCD的内部．猜想证明：（1）DG和BF的位置关系是 ，DG和BF的数量关系是 ．（2）将正方形EFCG以C为中心顺时针方向旋转到图2所示位置，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．问题解决：（3）如图3，在正方形EFCG以C为中心顺时针旋转的过程中，当点E落在正方形ABCD的边AD上时，若CB＝17，CF＝13，则BF的长度是 ．（请直接写出答案即可）23．（13分）综合与探究如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．点D在第一象限内的抛物线上．（1）请直接写出点A，B，C的坐标；（2）若，求出点D的坐标；（3）如图2，在满足（2）的条件下，连接BC交OD于点E．则BC是否平分线段OD？请说明理由． 2022-2023学年山西省吕梁市孝义市九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A．x2+y2＝1 B．3x2+1＝6x C．3x+2＝0 D．【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、x2+y2＝1，是二元二次方程，故A不符合题意．B、3x2+1＝6x，是一元二次方程，故B符合题意．C、3x+2＝0，是一元二一次方程，故C不符合题意．D、，是分式方程，故D不符合题意．故选：B．【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．2．（3分）“保护生态，人人有责”，下列生态环保图片中，是中心对称图形的是（ ）A． B． C． D．【分析】根据中心对称图形的概念判断即可．【解答】A．不是中心对称图形，不符合题意；B．不是中心对称图形，不符合题意；C．不是中心对称图形，不符合题意；D．是中心对称图形，符合题意．故选：D．【点评】本题考查识别中心对称图形．识别中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．3．（3分）下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）A．2x2＝x B．9x2﹣12x+4＝0 C．x2+x+1＝0 D．x（x+4）+5＝0【分析】分别计算四个方程的根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程的根的情况，即可得出答案．【解答】解：A.2x2＝x化为一般式为2x2﹣x＝0，∵Δ＝（﹣1）2﹣4×2×0＝1＞0，则方程有两个不相等的实数根，故A选项符合题意；B．∵Δ＝122﹣4×9×4＝144﹣144＝0，∴则方程有两个相等的实数根，故B选项不符合题意；C．∵Δ＝12﹣4×1×1＝1﹣4＝﹣3＜0，则方程没有实数根，故C选项不符合题意；D．x（x+4）+5＝0化为一般式为x2+4x+5＝0，∵Δ＝42﹣4×1×5＝16﹣20＝﹣4＜0，则方程没有实数根，故D选项不符合题意．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式与根的情况的关系，解题的关键是掌握当判别式的值大于0时，方程有两个不相等的实数根．4．（3分）将抛物线y＝（x﹣3）2﹣4先向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到抛物线的解析式是（ ）A．y＝（x﹣4）2﹣6 B．y＝（x﹣1）2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣2 D．y＝（x﹣4）2﹣2【分析】由二次函数解析式可得抛物线的顶点坐标，根据平移后的顶点坐标求解．【解答】解：∵y＝（x﹣3）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），将抛物线y＝（x﹣3）2﹣4先向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，顶点坐标为（2，﹣2），∴平移后解析式为y＝（x﹣2）2﹣2，故选：C．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数图象平移的规律．5．（3分）若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点为（﹣2，0），（4，0），则该抛物线的对称轴为（ ）A．直线x＝﹣3 B．直线x＝3 C．直线x＝1 D．直线x＝﹣1【分析】直接根据两个交点坐标可得对称轴．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点为（﹣2，0），（4，0），∴该抛物线的对称轴为直线，故选：C．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，掌握公式法或将函数解析式化为顶点式求对称轴是解题的关键．6．（3分）用直接开平方法解方程（2x﹣3）2＝4时，可以将其转化为2x﹣3＝2或2x﹣3＝﹣2，其依据的数学知识是（ ）A．完全平方公式 B．平方根的意义 C．等式的性质 D．一元二次方程的求根公式【分析】用直接开平方法解形如“（x+a）2＝b（b≥0）”一元二次方程，根据平方根的定义，可得，即可得出答案．【解答】解：用直接开平方法解方程（2x﹣3）2＝4时，可以将其转化为2x﹣3＝2或2x﹣3＝﹣2，其依据的数学知识是平方根的意义．故选：B．【点评】本题考查了用直接开平方法解一元二次方程的理论依据，解题的关键是知道用直接开平方法解一元二次方程的理论依据就是平方根的意义．7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，将△ABC以C为旋转中心，顺时针旋转角度α（0°＜α＜180°），若A'B'的中点O恰好在AC上，则旋转角α的度数是（ ）A．40° B．50° C．130° D．140°【分析】由直角三角形的两个锐角互余得出∠A＝40°，再由旋转的性质得出∠A'＝∠A＝40°，∠A'CB'＝∠ACB＝90°．最后由直角三角形斜边中线的性质即可得出A'O＝OC，从而得出∠A'CA＝∠A'＝40°，即α＝40°．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝50°，∴∠A＝40°．由旋转的性质可知∠A'＝∠A＝40°，∠A'CB'＝∠ACB＝90°．又∵A'B'的中点O恰好在AC上，∴A'O＝OC，∴∠A'CA＝∠A'＝40°，即旋转角α的度数是40°．故选：A．【点评】本题考查直角三角形的两个锐角，旋转的性质，直角三角形斜边中线的性质．熟练掌握旋转的性质是解题关键．8．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A．abc＜0 B．2a﹣b＝0 C．4a+2b+c＞0 D．关于x的一元二次方程ax2+bx+c+3＝0有两个不相等的实数根【分析】观察图象：开口向上得到a＞0；对称轴在y轴的左侧得到a、b异号，则b＜0；抛物线与y轴的交点在x轴的下方得到c＜0，所以abc＞0；由对称轴为，可得2a+b＝0；当x＝2时，图象在x轴下方得到4a+2b+c＜0，抛物线y＝ax2+bx+c+3相当于把y＝ax2+bx+c图象往上平移了3个单位，观察y＝ax2+bx+c图象可知抛物线顶点所对应的y值小于﹣3，所以平移后得到y＝ax2+bx+c+3与x轴仍有2个交点，所以方程ax2+bx+c+3＝0有两个不相等的实数根，据此对各选项进行判断即可．【解答】解：观察图象：开口向上得到a＞0；对称轴在y轴的左侧得到a、b异号，则b＜0；抛物线与y轴的交点在x轴的下方得到c＜0，所以abc＞0，故A选项错误；∵由对称轴为，可得2a+b＝0；故B选项错误；当x＝2时，图象在x轴下方得到4a+2b+c＜0，故C选项错误；抛物线y＝ax2+bx+c+3相当于把y＝ax2+bx+c图象往上平移了3个单位，观察y＝ax2+bx+c图象可知抛物线顶点所对应的y值小于﹣3，所以平移后得到y＝ax2+bx+c+3与x轴仍有2个交点，所以方程ax2+bx+c+3＝0有两个不相等的实数根，故D选项正确，故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，当a＞0，开口向上，函数有最小值，a＜0，开口向下，函数有最大值；对称轴为直线，a与b同号，对称轴在y轴的左侧，a与b异号，对称轴在y轴的右侧；当c＞0，抛物线与y轴的交点在x轴的上方；当Δ＝b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点．9．（3分）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是111．若设每个支干长出的小分支的个数是x，则下面所列方程正确的是（ ）A．（1+x）2＝111 B．1+x+（x+1）2＝111 C．1+x+x2＝111 D．x+x2＝111【分析】设每个支干长出x个小分支，则主干生出x个支干，而x个支干每个又生出x个小分支，所以一共有（1+x+x2）个，从而可列出方程．【解答】解：设每个支干长出x个小分支，依题意可列方程：1+x+x2＝111．故选：C．【点评】本题考查一元二次方程的应用．理解题意，找出等量关系是解题关键．10．（3分）如图，线段AB＝1，在线段AB上找一点C，C把AB分为AC和BC两段，其中AC＜BC，若，则点C就叫做线段AB的黄金分割点，其中（或）的值叫做黄金分割数．则黄金分割数是（ ）A． B． C． D．【分析】设AC＝x，则BC＝1﹣x，代入并整理得：x2﹣3x+1＝0，求出x的值，再舍去不合题意的值，最后计算比值即可．【解答】解：设AC＝x，则BC＝1﹣x，∵，∴，整理，得：x2﹣3x+1＝0，解得：，经检验，是原分式方程的解．∵AC＜BC＜AB＝1，∴，∴，∴．故选：B．【点评】本题考查黄金分割，解可化为一元二次方程的分式方程．理解黄金分割的定义是解题关键．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，将△ABC以B为中心逆时针方向旋转，得到△BDE，当点C的对应点E落在边AB上时，线段AD的长度值是 ．【分析】先根据勾股定理计算出AB，根据旋转的性质求得DE，BE，从而计算出AE，最后根据勾股定理即可计算出AD．【解答】解：∵AB2＝BC2+AC2，∴AB＝5，根据旋转的性质得BE＝BC＝4，DE＝AC＝3，∴AE＝AB﹣BE＝5﹣4＝1，∵∠BED＝∠C＝90°，∴∠AED＝90°，∴AD2＝AE2+DE2，∴，故答案为：．【点评】本题考查旋转的性质和勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的相关知识．12．（3分）若抛物线y＝2x2+12x﹣c的顶点在x轴上，则c的值是 ﹣18 ．【分析】根据二次函数的顶点的纵坐标列式求解即可．【解答】解：∵抛物线y＝2x2+12x﹣c＝2（x+3）2﹣18﹣c，∵顶点在x轴上，∴﹣18﹣c＝0，解得c＝﹣18．故答案为：﹣18．【点评】本题考查了二次函数的性质，根据顶点的坐标列出等式是解题的关键．13．（3分）在2022年第56届国际乒联世界乒乓球团体锦标赛女团决赛中，国乒女团零封日本女团，实现五连冠，第22次捧起象征“最强女子乒团”的荣誉——考比伦杯．此次世锦赛小组赛中，中国乒乓球女队被分在A组，在本组单循环赛中（每两个队之间比赛一场）共进行了10场比赛，则在A组中共有 5 个国家的女队参加了比赛．【分析】设在A组中共有x个国家的女队参加了比赛，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．【解答】解：设在A组中共有x个国家的女队参加了比赛，根据题意得：，解得x1＝5，x2＝﹣4（舍去）．故答案为：5．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．14．（3分）已知点A（h﹣1，k1）和B（h+2，k2）都在二次函数y＝﹣2（x﹣h）2+3的图象上，则k1和k2的大小关系是 k1＞k2 ．【分析】根据二次函数的增减性即可得；【解答】解：由y＝﹣2（x﹣h）2+3可知，该函数的顶点坐标为（h，3），且在x＝h时取最大值，根据点A（h﹣1，k1）和B（h+2，k2）可知，点B距离顶点比点A远，所以k1＞k2．故答案为：k1＞k2．【点评】本题主要考查二次函数图象即性质，掌握相关知识是解题的关键．15．（3分）有一块三角形材料如图所示，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝8．用这块材料剪出一个平行四边形EFDB，其中，点D，E，F分别在BC，AB，AC上．则剪出的平行四边形EFDB的面积的最大值是 4 ．【分析】根据含30°的直角三角形的性质，可得，设CD＝x，则BD＝4﹣x，根据平行四边形的性质，有DF∥AB，可得∠DFC＝∠A＝30°，利用锐角三角函数，可得，则可表达出平行四边形EFDB的面积的表达式，利用二次函数的性质，即可求出平行四边形EFDB的面积的最大值．【解答】解：∵∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝8，∴，设CD＝x，则BD＝4﹣x，在平行四边形EFDB中，DF∥AB，∴∠DFC＝∠A＝30°，在Rt△CDF中，，∴，∴平行四边形EFDB的面积＝BD•CF＝（4﹣x）•xx2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴当x＝2时，平行四边形EFDB的面积最大，最大值是．故答案为：．【点评】本题考查了直角三角形的性质，锐角三角函数，平行四边形的性质，二次函数的性质，解题的关键是将平行四边形的面积表示成二次函数．三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（10分）解方程（1）2x2﹣4x＝﹣1；（2）x2﹣16＝x+4．【分析】（1）整理后，利用配方法求解即可；（2）整理后，利用因式分解法求解即可．【解答】解：（1）2x2﹣4x＝﹣1∴，配方得x2﹣2x+11，即（x﹣1）2，∴x﹣1，所以，；（2）解：x2﹣16＝x+4，∴（x+4）（x﹣4）﹣（x+4）＝0，∴（x+4）（x﹣4﹣1）＝0，∴x+4＝0或x﹣5＝0，所以x1＝﹣4，x2＝5．【点评】本题主要考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．17．（7分）已知抛物线y＝2x2﹣6x+3．请用配方法将其化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，并写出其开口方向、对称轴及顶点坐标．【分析】根据配方法的步骤先将抛物线化为顶点式，再根据对称轴为直线x＝h，顶点坐标（h．k），以及a的取值范围即可进行解答．【解答】解：y＝2x2﹣6x+3＝2（）＝2[]＝2，∴y＝2，∵2＞0，∴函数开口向上，对称轴为直线x，顶点坐标为（）．【点评】本题主要考查了将二次函数表达式化为顶点式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，根据函数表达式写出函数的顶点坐标和对称轴．18．（7分）某农户种植有图1所示蔬菜大棚，其截面示意图如图2所示，其横截面塑料顶棚可以近似看作是抛物线，其中OA是地面所在的水平线，点O是塑料顶棚与地面的交点，AB是保温墙，并且塑料顶棚最高点到点O的水平距离是6米，到地面OA的高度是3米．现以OA所在直线为x轴，过点O垂直于OA的直线为y轴，建立平面直角坐标系．若保温墙AB到点O的距离OA＝8米．请你求出保温墙AB的高度．【分析】根据顶点坐标，设函数的表达式为y＝a（x﹣6）2+3，再将原点坐标代入求出函数的表达式，最后将x＝8代入求解即可．【解答】解：设塑料顶棚所在抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2+3，∵点O（0，0），∴把x＝0，y＝0代入抛物线解析式，得：36a+3＝0，解得：a，∴抛物线的解析式为y（x﹣6）2+3，当x＝8时，y（8﹣6）2+3，答：保温墙AB的高度是米．【点评】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握函数的顶点式，会用待定系数法求解函数的表达式是解题的关键．19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，A（2，1），B（4，3），C（1，3）．（1）若△A1B1C1与△ABC关于原点成中心对称（点A1，B1，C1分别与点A，B，C对应），试在图中画出△A1B1C1；（2）将△ABC以C为中心顺时针旋转90°得到△A2B2C，试在图中画出△A2B2C；（3）若△A2B2C可由△A1B1C1以点P为中心旋转得到，则点P的坐标是 （﹣3，1） ．【分析】（1）根据成中心对称的两个图形的特征，即可画出图形；（2）根据旋转图形的性质，即可画出图形；（3）根据旋转的性质，即可找到P点，从而求出P点的坐标．【解答】（1）解：ΔA1B1C1如图所示：（2）解：ΔA2B2C如图所示：（3）解：点P的位置如图所示：由图可知，点P的坐标为（﹣3，1）．故答案为：（﹣3，1）．【点评】本题主要考查了作图—旋转、成中心对称，作已知两个图形的旋转中心，解题的关键是掌握相关的作图方法．20．（10分）阅读下列材料，并完成相应学习任务：古希腊著名的毕达哥拉斯学派发现，一定数目的点或圆在等距离排列下可以形成一个等边三角形，他们把这样的数称之为三角形数．如用1，3，6，10，15，21，…数目的石子就可以排成如图1所示的等边三角形，因而这样的数就是三角形数．所有的三角形数都具有如图2所示的规律．学习任务：请用一元二次方程的有关知识，解决下列问题：（1）请判断78是第几个三角形数？写出判断过程．（2）若相邻两个三角形数的和是121，求这两个三角形数．【分析】（1）根据题意易得第n个三角形数可以表示为，则有，然后求解即可；（2）设较小的三角形数是，则较大的三角形数是，由题意可知，，进而求解即可．【解答】解：（1）根据材料可知，第n个三角形数可以表示为，当时，解得n2+n﹣156＝0，解得n1＝12，n2＝﹣13，因为n是正整数，所以n＝﹣13舍去，∴78是第12个三角形数．（2）设较小的三角形数是，则较大的三角形数是．由题意可知，，解得n1＝10，n2＝﹣12（舍去），当n＝10时，55，．所以这两个三角形数是55和66．【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法及理解题意是解题的关键．21．（10分）山西土豆（马铃薯）色泽光鲜，含淀粉高，不容易腐烂，具有比其它地方土豆多淀粉、蛋白质、维生素C等营养成份．某合作社2020年到2022年每年种植土豆100亩，2020年土豆的平均亩产量为1000千克，2021年到2022年引进先进的种植技术，2022年土豆的平均亩产量达到1440千克．（1）若2021年和2022年土豆的平均亩产量的年增长率相同，求土豆平均亩产量的年增长率为多少？（2）2023年该合作社计划在保证土豆种植的总成本不变的情况下，增加土豆的种植面积，经过统计调查发现，2022年每亩土豆的种植成本为1200元，若土豆的种植面积每增加1亩，则每亩土豆的种植成本将下降10元，求该合作社增加土豆种植面积多少亩，才能保证土豆种植的总成本不变？【分析】（1）设2021年和2022年土豆平均亩产量的年增长率为x，第2021年土豆平均亩产量为10009（1+x）千克，第2022年土豆平均亩产量为1000（1+x）2千克，据此列出方程求解即可；（2）设增加土豆种植面积a亩，根据成本不变列出方程求解即可．【解答】解：（1）设2021年和2022年土豆平均亩产量的年增长率为x．根据题意，得1000（1+x）2＝1440，解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2．（不合题意，舍去）答：土豆平均亩产量的年增长率为20%．（2）设增加土豆种植面积a亩．根据题意，得（100+a）（1200﹣10a）＝1200×100．解得a1＝0（不合题意，舍去），a2＝20．答：该合作社增加土豆的种植面积20亩时，才能保证土豆种植的总成本保持不变．【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意找到等量关系列出方程求解是解题的关键．22．（12分）综合与实践问题情境：如图1，四边形ABCD和EFCG都是正方形，点G，F分别在边CD和CB上，点E在正方形ABCD的内部．猜想证明：（1）DG和BF的位置关系是 DG⊥BF ，DG和BF的数量关系是 DG＝BF ．（2）将正方形EFCG以C为中心顺时针方向旋转到图2所示位置，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．问题解决：（3）如图3，在正方形EFCG以C为中心顺时针旋转的过程中，当点E落在正方形ABCD的边AD上时，若CB＝17，CF＝13，则BF的长度是 5 ．（请直接写出答案即可）【分析】（1）由正方形的性质即可得出结论；（2）由正方形的性质，可证得△BCF≌△△BCF≌△DCG，可得DG＝BF，∠GDC＝∠FBC，再利用四边形内角和，可证得BF⊥DG；（3）连接CE，AC，由正方形的性质，可证得△BCF∽△ACE，设AE＝x，则DE＝17﹣x，在Rt△CDE中，有CD2+DE2＝CE2，即可建立方程，再根据相似三角形得性质，即可求解．【解答】解：（1）∵四边形ABCD和EFCG都是正方形，点G，F分别在边CD和CB上，∴DC⊥BC，DC＝BC，GC＝FC，∴DG⊥BF，DC﹣GC＝BC﹣FC，即DG＝BF．故答案为：DG⊥BF，DG＝BF；（2）成立，理由如下：延长BF与DG交于点H．∵四边形ABCD和EFCG均为正方形，∴BC＝DC，FC＝GC，∠BCD＝∠FCG＝90°，∴∠BCF＝∠DCG∴△BCF≌△DCG（SAS），∴DG＝BF，∠GDC＝∠FBC，∵∠CDA+∠A+∠ABC＝270°，∴∠CDA+∠A+∠ABH+∠FBC＝∠CDA+∠A+∠ABH+∠GDC＝270°，∴∠GDA+∠A+∠ABH＝270°．∵∠GDA+∠A+∠ABH+∠BHD＝360°，∴∠BHD＝90°，即BF⊥DG；（3）连接CE，AC，如图，∵四边形ABCD和EFCG均为正方形，∴，，∠BCA＝∠FCE＝45°，∴，∠BCA﹣∠ACF＝∠FCE﹣∠ACF，∴，∠BCF＝∠ACE，∴△BCF∽△ACE，∴，设AE＝x，则DE＝17﹣x，∵，CF＝13，∴CE＝13，在Rt△CDE中，CD2+DE2＝CE2，∴，解得x1＝10，x2＝24，∵点E落在正方形ABCD的边AD上，∴AE＝10，∵，∴BF＝5．故答案为：5．【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线，寻找全等三角形或相似三角形解决问题．23．（13分）综合与探究如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．点D在第一象限内的抛物线上．（1）请直接写出点A，B，C的坐标；（2）若，求出点D的坐标；（3）如图2，在满足（2）的条件下，连接BC交OD于点E．则BC是否平分线段OD？请说明理由．【分析】（1）分别将x＝0和y＝0代入函数表达式求解即可；（2）设D（m，m2m+2），根据三角形的面积公式将△COD和△OBD的面积表达出来，即可进行解答；（3）过点D作DQ∥y轴，并且交直线BC于点Q．通过证明△COE≌△QDE即可得出结论．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝2，∴C（0，2），当y＝0时，x2x+2＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝4，∴A（﹣1，0），B（4，0）．∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）；（2）如图1，过点D分别作DG⊥x轴，DH⊥y轴，垂足分别为G，H．设D（m，m2m+2），∵S△DCOOC•DH2×m．S△BODOB•DG4×（m2m+2），∵，∴2×m4×（m2m+2），解得：m1＝2，m2＝﹣2（舍去），当m＝2时，m2m+2＝3，∴D（2，3）；（3）BC平分OD．理由如下：如图2，过点D作DQ∥y轴，并且交直线BC于点Q，设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B（4，0），C（0，2）代入，得：，解得：．∴直线BC的解析式为：yx+2．∵点Q的横坐标为2，把x＝2代入yx+2，得y＝1．∴点Q（2，1）．∴DQ＝3﹣1＝2．∴DQ＝OC＝2．又∵∠CEO＝∠QED，∠OCE＝∠DQE，∴△COE≌△QDE（AAS），∴OE＝DE．∴BC平分OD．【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，能够根据函数表达式将未知点的坐标表示出来从而求解．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/1/30 22:11:09；用户：刘世阳；邮箱：zhaoxia41@xyh.com；学号：39428214
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