2022-2023学年山西省吕梁市汾阳市九年级（上）期中数学试卷（含解析）

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2022-2023学年山西省吕梁市汾阳市九年级（上）期中数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 疫情防控期间，无数医护人员坚守在抗疫防疫第一线，下列有关医护的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 将一元二次方程化成一般形式后二次项系数为正数，二次项系数和一次项系数分别是(    )

A. 、 B. 、 C. 、 D. 、

3. 若关于的方程没有实数根，则的值可能是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，在正方形网格中，线段绕点旋转一定的角度后与线段重合、均为格点，的对应点是点，若点的坐标为，点的坐标为，则旋转中心点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D. 或

5. 如图，某公司准备在一个等腰直角三角形的绿地上建造一个矩形的休闲书吧，其中点在上点，分别在，上，记，，图中阴影部分的面积为，若在一定范围内变化，则与，与满足的函数关系分别是(    )

A. 一次函数关系，一次函数关系
B. 二次函数关系，一次函数关系
C. 二次函数关系，二次函数关系
D. 一次函数关系，二次函数关系

6. 对于抛物线，下列判断正确的是(    )

A. 顶点
B. 抛物线向左平移个单位长度后得到
C. 抛物线与轴的交点是
D. 当时，随的增大而增大

7. 如图，在中，，将绕点逆时针方向旋转，得到，连接则线段的长为(    )

A.
B.
C.
D.

8. 抛物线上有两点，，若，则下列结论正确的是(    )

A.  B.
C. 或 D. 以上都不对

9. 年月日，庆祝中国共产主义青年团成立周年大会在北京人民大会堂隆重举行为庆祝共青团成立周年，某学校举行篮球友谊赛，初赛采用单循环制每两支球队之间都进行一场比赛，据统计，比赛共进行了场，则一共邀请了多少支球队参加比赛？设一共邀请了支球队参加比赛．根据题意可列方程是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中错误是(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则点在第______象限．
12. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为______．
13. 利用配方法解一元二次方程时，将方程配方为，则______．
14. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则方程的解是______．

15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点、、的坐标分别为、、若抛物线的图象与正方形有公共点，则的取值范围是______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 本小题分
    用适当的方法解下列方程：
    ；
    ．
17. 本小题分
    如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，三个顶点的坐标分别为，，．
    请画出绕着原点顺时针旋转的；
    若的对应点分别为、、；请写出点、、的坐标，观察对应点之间的坐标特征，若点在上，写出点的对应点的坐标．
    若与关于原点成中心对称，写出点的对应点的坐标．

18. 本小题分
    如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
    求、、三点的坐标；
    证明为直角三角形．

19. 本小题分
    年月日，新闻频道朝闻天下，报道了山东新泰香椿进入收获期，“椿”意盎然助增收，我市香椿畅销全国各地．当地某电商对一款成本价为元的香椿商品进行直播销售，如果按每件元销售，平均每月可卖出件．通过市场调查发现，每件香椿商品售价每上涨元，其月销售量就将减少件．为了实现平均每月元的销售利润，
    这种商品的售价应定为多少？
    这时商家每月能售出该香椿商品多少件？
20. 本小题分
    问题提出
    在学完乘法公式后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求代数式的最大值吗？
    初步思考
    同学们经过交流、讨论，总结出如下方法：
    解：
    因为，
    所以．
    所以当时，的值最大，最大值是．
    所以当时，的值最大，最大值是．
    所以的最大值是．
    尝试应用
    求代数式的最大值，并写出相应的的值．
    拓展提高
    将一根长的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，那么这两个正方形面积之和有最小值吗？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度及这两个正方形面积的和；若没有，请说明理由．
21. 本小题分
    如图，二次函数的图象与轴的一个交点为，另一个交点为，且与轴交于点．
    求二次函数的解析式；
    求的面积；
    该二次函数图象上是否存在点，使与的面积相等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

22. 本小题分
    在练习课上，慧慧同学遇到了这样一道数学题：如图，把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形，，以为顶点作，交边，于点，，，连接．
    
    探究，，三条线段之间的数量关系．
    慧慧分析：可先利用旋转，把其中的两条线段“接起来”，再通过证明两三角形全等，从而探究出，，三条线段之间的数量关系．
    慧慧编题：在编题演练环节，慧慧编题如下：

请对慧慧同学所编制的问题进行解答．

23. 本小题分
    第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌．在该项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止．本项目主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：
    如图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区所在水平线为轴，过起跳点与轴垂直的直线为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡的坡角为，，某运动员在处起跳腾空后，飞行至着陆坡的处着陆，在空中飞行过程中，运动员到轴的距离与水平方向移动的距离具备二次函数关系，其解析式为．
    求，的值；
    进一步研究发现，运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离与飞行时间具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，，；空中飞行后着陆．
    求关于的函数解析式；
    当为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离最大，最大值是多少？
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.既是轴对称图形又是中心对称图形，，故本选项符合题意；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.不是是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形和轴对称图形的定义进行判断．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
二次项系数和一次项系数分别是和，
故选：．
先化成一元二次方程的一般形式，再找出二次项系数和一次项系数即可．
本题考查了一元二次方程的一般形式，多项式的项和单项式的系数等知识点，注意：找多项式项的系数时，带着前面的符号．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得，
所以可以取．
故选：．
先根据判别式的意义得到，从而得到的取值范围，然后对各选项进行判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

4.【答案】 

【解析】解：作、的垂直平分线交于点，

点即为旋转中心，，
故选：．
画出平面直角坐标系，对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．
本题考查坐标与图形变换旋转，解题关键在于理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
 

5.【答案】 

【解析】解：设为常数，
在中，，，
为等腰直角三角形，
，
四边形是矩形，
，
，
即，
与成一次函数关系，
，
与成二次函数关系．
故选：．
设为常数，根据等腰直角三角形的性质得到，根据矩形的性质得到，得到，根据三角形和矩形的面积得到结论．
本题考查了二次函数的应用．一次函数的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，正确地作出函数解析式是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、，
抛物线的顶点，故错误，本选项不符合题意，
B、抛物线向左平移个单位长度后得到，，故错误，即本选项不符合题意，
C、当时，，抛物线与轴的交点是，故正确，本选项符合题意，
D、，
开口向下，对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，故错误，本选项不符合题意，
故选：．
根据二次函数解析式结合二次函数的性质以及平移的规律，即可得出结论．
本题考查了二次函数的性质二次函数的图象与几何变换，根据二次函数的性质和平移的规律逐一对照四个选项即可得出结论．
 

7.【答案】 

【解析】解：将绕点逆时针方向旋转，
，，
，
故选：．
由旋转的性质可得，，由勾股定理可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理掌握旋转的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：抛物线上有两点，，且，
，
，或或，
故选：．
根据二次函数的性质判断即可．
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意得，．
故选：．
设一共邀请了支球队参加比赛，赛制为单循环形式每两支球队之间都进行一场比赛，则每个队参加场比赛，则共有场比赛，可以列出一元二次方程．
本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据比赛场数与参赛队之间的关系为：比赛场数队数队数，进而得出方程是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图象可知，当时，，故A项正确，不符合题意；
抛物线开口向下，，与轴的交点为，
，，，
，，故B、项正确，不符合题意；
抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点在原点和点之间，
另一个交点在与之间，
当时，，故C项错误，符合题意，
故选：．
根据二次函数图象判断出，，的正负关系，对称轴，顶点坐标等，再进行判断即可．
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
 

11.【答案】三 

【解析】解：点与点关于原点对称，
，
解得：，
点即在第三象限．
故答案为：三．
直接利用关于原点对称点的性质得出，的值，再利用各象限内点的坐标特点得出答案．
此题主要考查了关于原点对称点的性质以及点的坐标特点，正确得出，的值是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
抛物线的顶点坐标为．
故答案为：．
首先配方得出二次函数顶点式进而得出答案．
此题主要考查了二次函数的图象与性质，正确利用配方法求出二次函数顶点式的形式是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：方程，
移项得：，
配方得：，即，
方程配方为，
，，
则．
故答案为：．
方程移项后，两边加上一次项一半的平方，利用完全平方公式配方得到结果，求出与的值，即可求出的值．
此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

14.【答案】， 

【解析】解：由图象可知，关于的方程的解，就是抛物线与直线的两个交点坐标分别为，的横坐标，
即，．
故答案为：，．
利用图象法即可解决问题，方程的解就是两个函数图象的交点的横坐标．
本题考查抛物线与轴交点、一次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题．
 

15.【答案】 

【解析】解：正方形的顶点、、的坐标分别为、、．
，
当抛物线经过点时，则，
当抛物线经过时，，
观察图象可知，
故答案为：．
求出抛物线经过两个特殊点时的的值即可解决问题．
本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

16.【答案】解：，
，
或，
解得，；
，
，
，
，
，． 

【解析】根据因式分解法解一元二次方程即可；
根据公式法解一元二次方程即可．
本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
 

17.【答案】解：如图，即为所求；

，，，点的坐标；
点的坐标为． 

【解析】根据旋转的性质即可画出绕着原点顺时针旋转的；
根据旋转的性质，结合即可解决问题；
根据与关于原点成中心对称，进而可以写出点的对应点的坐标．
本题考查了作图旋转变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
 

18.【答案】解：对于抛物线，当时，则，
解得，；
当时，，
，，．
证明：连接，，
，，，
，，
；
，
，
，
是直角三角形． 

【解析】令，则，解方程求出的值即得到点、的坐标；令，求出的值，即得到点的坐标；
先由点、、的坐标分别求出、、的长，再根据勾股定理分别求出、、，可得，即可根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形．
此题重点考查二次函数的图象与性质、勾股定理及其逆定理的应用等知识，正确地求出点、、的坐标是解题的关键．
 

19.【答案】解：设这种商品的涨价元，根据题意得，
，
解得，，，
，，
答：这种商品的售价应定为元或元；
，，
答：这时商家每月能售出该香椿商品件或件． 

【解析】设这种商品的涨价元，根据题意得方程解方程即可得到结论；
根据题意列式计算即可得到结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

20.【答案】解：

，
当时，原式有最大值，最大值为；
设一段为，则另一段为，
根据题意得：


，
当时，有最小值，最小值为，
则两个正方形面积之和有最小值，此时这根铁丝剪成两段后的长度，，这两个正方形面积的和为． 

【解析】原式利用完全平方公式配方后，利用非负数的性质求出最大值，以及此时的值即可；
设一段为，则另一段为，表示出两个正方形的面积之和，利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出最小值，以及此时的值即可．
此题考查了配方法的应用，非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

21.【答案】解：把代入得，
解得，
抛物线解析式为；
当时，，
解得，，
，
当时，，
，
的面积；
存在．
设，
与的面积相等，
，
即，
解方程得，，
此时点坐标为或；
解方程得，，
此时点坐标为；
综上所述，点坐标为或或． 

【解析】把点代入中求出的值，从而得到抛物线解析式；
先解方程得到，再确定，然后利用三角形面积公式计算；
设，根据三角形面积公式得到，然后解方程得到点坐标．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
 

22.【答案】解：，理由如下：
把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形，，
，，，，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
如图，将绕点逆时针旋转得到，

，，，，
，，
点，点，点三点共线，
在和中，
，
≌，
，
；
如图，将绕点逆时针旋转得到，

同理可证≌，
，
． 

【解析】

【分析】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
先证四边形是正方形，可得，由旋转的性质可得，，，，由“”可证≌，可得，可得结论；
方法同，由“”可证≌，可得，可得结论；
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．  

23.【答案】解：作轴于点，
，着陆坡的坡角为，，
点的坐标为，，，
，
点的坐标为，
点，点在二次函数的图象上，
，
解得，
即的值是，的值是；
设关于的函数解析式是，
因为点，在该函数图象上，
，
解得，
即关于的函数解析式是；
设直线的解析式为，
点，点在该直线上，
，
解得，
即直线的解析式为，
则，
当时，取得最值，此时，
，
时，取得最值，符合题意，
将代入，得：，
解得，
即当为时，运动员离着陆坡的竖直距离最大，最大值是 

【解析】根据题意，可以求得点和点的坐标，然后代入二次函数解析式，即可得到、的值；
根据题意，可以得到关于的函数图象经过的两个点，然后根据待定系数法，即可得到关于的函数的解析式；
先求出直线的解析式，再根据题意，可以表示出，然后根据二次函数的性质，可以求得当为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离最大，并求出这个最大值．
本题考查二次函数的应用、一次函数的应用、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值．