初中数学人教版九年级上册24.2.2 直线和圆的位置关系课时训练

专题09  切线长定理

1.切线长的定义：切线上一点到切点之间的线段的长叫作这点到圆的切线长．

2.切线长与切线的区别

①切线是直线，不能度量.

②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．

3切线长定理:过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.

几何语言:PA、PB分别切☉O于A、B，则PA =  PB， ∠OPA=∠OPB

注意：切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.

4.三角形的内切圆及作法

已知：△ABC.

求作：和△ABC的各边都相切的圆.

作法：1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O.

2.过点O作OD⊥BC.垂足为D.

3.以O为圆心，OD为半径作圆O.

☉O就是所求的圆.

（1）与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆.

（2）三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.

（3）这个三角形叫做这个圆的外切三角形.

5.三角形的内心的性质

（1）三角形的内心在三角形的角平分线上.

（2）三角形的内心到三角形的三边距离相等.

6.解决本专题问题辅助线连接技巧

（1）分别连接圆心和切点；

（2）连接两切点；

（3）连接圆心和圆外一点.

注意：运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.

【例题1】（2021四川凉山）如图，等边三角形ABC的边长为4，⊙C的半径为，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q．则PQ的最小值为______.

【例题2】已知，如图PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点.

求证：PA=PB，∠APO=∠BPO.

【例题3】已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切与点E、F、G、H.

求证：AB+CD=AD+BC.

【例题4】如图，△ABC中，∠ B=43°，∠C=61 °，点I是△ABC的内心，求∠ BIC的度数.

【例题5】如图所示，已知在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D.求证：DE∥OC.

一、单选题

1．（2021四川泸州）如图，⊙O的直径AB＝8，AM，BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C两点，BD，OC相交于点F，若CD＝10，则BF的长是（　　）

A． B． C． D．

2．（2021山东临沂）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B，∠P＝70°，C为⊙O上一点，则∠ACB的度数为（　　）

A．110° B．120° C．125° D．130°

3．如图，△ABC是一张周长为17 cm的三角形纸片，BC＝5 cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为(    )

A．12 cm     B．7 cm       C．6 cm      D．随直线MN的变化而变化

4．等边三角形的内切圆半径和外接圆半径之比为（    ）

A． B．1：2 C． D．1：3

5．如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D．若PA＝5，则△PCD的周长和∠COD分别为（　　）

A．5，（90°+∠P） B．7，90°+ 

C．10，90°﹣∠P D．10，90°+∠P

二、填空题

1．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C、D，若△PCD的周长为24，⊙O的半径是5，则点P到圆心O的距离_____．

2.直角三角形的两直角边分别是a、b,斜边为c，则其内切圆的半径r为________（以含a、b、c的代数式表示r）.

3．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为　   　．

4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，⊙O与Rt△ABC的三边AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若⊙O的半径r＝2，则Rt△ABC的周长为　   　．

三、解答题

1.如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直三棱柱. 圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆，已知直三棱柱的底面等边三角形的边长为3cm，求圆柱底面圆的半径.

2.如图，△ABC中，I是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.

求证：DI＝DB.

3．如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于点E、F、G，若∠BOC＝90°，

（1）求证：AB∥CD；

（2）若OB＝3，OC＝4，求由BE、BC、CG、及弧EFG围成图形的面积（即图中阴影部分）．