人教版九年级上册24.2.2 直线和圆的位置关系同步练习题

专题10  切割线定理及其应用

1.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项

2.切割线定理的推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等；

   如图PA·PB=PC·PD

3.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

 PA·PB=PC·PD

4.相交弦定理的推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

【例题1】如图，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，如果PB＝2，PC＝4，则PA的长为（　　）

A．2 B．2 C．4 D．2

【答案】B

【解析】根据切割线定理得

∵PA2＝PB•PC，

PB＝2，PC＝4，

∴PA＝2．

【例题2】已知直角梯形ABCD的四条边长分别为AB＝2，BC＝CD＝10，AD＝6，过B、D两点作圆，与BA的延长线交于点E，与CB的延长线交于点F，则BE﹣BF的值为　   　．

【答案】4

【解析】延长CD交⊙O于点G，

设BE，DG的中点分别为点M，N，则易知AM＝DN，

∵BC＝CD＝10，由割线定理得，CB•CF＝CD•CG，

∵CB＝CD，

∴BF＝DG，

∴BE﹣BF＝BE﹣DG＝2（BM﹣DN）＝2（BM﹣AM）＝2AB＝4．

一、选择题

1.如图，点P是⊙O外一点，PAB为⊙O的一条割线，且PA＝AB，PO交⊙O于点C，若OC＝3，OP＝5，则AB长为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设PA＝AB＝x，延长PO交圆于点D．

∵PA•PB＝PC•PD，OC＝3，OP＝5，

∴x•2x＝16，

∴x＝2．

2．如图，在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，⊙O分别与边AB，AC相切，切点分别为E，C，则⊙O的半径是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】∵AE＝AC＝5，AC＝5，BC＝12，

∴AB＝13，

∴BE＝8；

∵BE2＝BD•BC，

∴BD＝，

∴CD＝，

∴圆的半径是．

3．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，O为AB上一点，以O为圆心，OA为半径作圆O与BC相切于点D，分别交AC、AB于E、F，若CD＝2CE＝4，则⊙O的直径为（　　）

A．10 B． C．5 D．12

【答案】A

【解析】连接OD，过O作AC的垂线，设垂足为G，

∵∠C＝90°，

∴四边形ODCG是矩形，

∵CD是切线，CEA是割线，

∴CD2＝CE•CA，

∵CD＝2CE＝4，

∴AC＝8，

∴AE＝6，

∴GE＝3，

∴OD＝CG＝5，

∴⊙O的直径为10．

4．如图，点C、O在线段AB上，且AC＝CO＝OB＝5，过点A作以BC为直径的⊙O切线，D为切点，则AD的长为（　　）

A．5 B．6 C． D．10

【答案】C

【解析】∵AD是⊙O的切线，ACB是⊙O的割线，

∴AD2＝AC•AB，

又AC＝5，AB＝AC+CO+OB＝15，

∴AD2＝5×15＝75，

∴AD＝5．（AD＝﹣5不合题意舍去）．

5．如图，已知PA是⊙O的切线，A为切点，PC与⊙O相交于B、C两点，PB＝2cm，BC＝8cm，则PA的长等于（　　）

A．4cm B．16cm C．20cm D．2cm

【答案】D

【解析】∵PB＝2cm，BC＝8cm，

∴PC＝10cm，

∵PA2＝PB•PC＝20，

∴PA＝2．

二、填空题

1．如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PA是割线，交⊙O于A、B两点，与直径CT交于点D．已知CD＝2，AD＝3，BD＝4，那PB＝　   　．

【答案】20

【解析】∵AD•BD＝CD•DT，

∴TD＝，

∵CD＝2，AD＝3，BD＝4，

∴TD＝6，

∵PT是⊙O的切线，PA是割线，

∴PT2＝PA•PB，

∵CT为直径，

∴PT2＝PD2﹣TD2，

∴PA•PB＝PD2﹣TD2，

即（PB+7）PB＝（PB+4）2﹣62，

解得PB＝20．

2．如图，AB，AC分别是⊙O的切线和割线，且∠C＝45°，∠BDA＝60°，CD＝，则切线AB的长是　   　．

【答案】6

【解析】过点A作AM⊥BD与点M．

∵AB为圆O的切线

∴∠ABD＝∠C＝45°（弦切角等于所夹弧所对的圆周角）

∵∠BDA＝60°

∴∠BAD＝75°，∠DAM＝30°，∠BAM＝45°

设AB＝x，则AM＝x，在直角△AMD中，AD＝x

由切割线定理得：AB2＝AD•AC

x2＝x（x+）

解得：x1＝6，x2＝0（舍去）

故AB＝6．

3.如图，⊙O的割线PAB交⊙O于点A、B，PA＝7cm，AB＝5cm，PO＝10cm，则⊙O的半径为　   　．

【答案】4

【解析】延长PO交圆于点D，

由割线定理知，PA•PB＝PC•PD＝（PO﹣CO）（PO+CO），

代入数据解得，CO＝4．

4．如图，已知PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，PA＝，PB＝BC，⊙O的半径OC＝5，那么弦BC的弦心距OM＝　   　．

【答案】4

【解析】∵PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，

∴PA2＝PB•PC；

设BC＝x，则PB＝x，PC＝2x，

∴2x2＝72，

解得x＝6；

∵OM⊥BC，

在直角△OMC中，

∵OC＝5，CM＝3，

∴OM＝4．

三、解答题

1．如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，D是劣弧AC的中点，DE⊥AB于H，交⊙O于点E，交AC于点F．

（1）图中有哪些必相等的线段？（要求：不要标注其它字母，找结论的过程中所作的辅助线不能出现在结论中，不必写出推理过程．）

（2）若过C点作⊙O的切线PC交ED延长线于P点，（请补全图形），求证：PF2＝PD•PE；

（3）已知AH＝1，BH＝4，求PC的长．

【答案】见解析。

【解析】（1）AO＝BO，DH＝EH，DF＝AF，AC＝DE；

（2）证明：连EC，AE，

则∠PFC是△ECF的一个外角，于是∠PFC＝∠ACE+∠FEC；

∵DH⊥AB，AB是⊙O的直径，

∴A是DE中点，即弧AD＝弧AE，

∴∠AED＝∠ACE，

∴∠ACE+∠FEC＝∠AED+∠DEC＝∠AEC，

∵PC是⊙O的切线，

∴∠PCA＝∠AEC．

∴∠PCA＝∠PFC，

∴PC＝PF．

∵PC是切线

∴PC2＝PD•PE，

∴PF2＝PD•PE；

（3）在⊙O中，AH•HB＝DH•HE＝DH2，

∴

设AF＝x，则FH＝2﹣x．

在Rt△AFH中，AH2+FH2＝AF2

∴1+（2﹣x）2＝x2，

∴x＝，即．

于是．

由（1）（2）知HE＝HD＝2，

，

解得．

∴PF＝PD+DF＝．

∴PC＝PF＝．

2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB．

（1）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；

（2）若，求BD的长．

【答案】见解析。

【解析】（1）证明：连接OE，

∵BE平分∠ABC交AC于点E，

∴∠1＝∠EBC，∵∠1＝∠2，

∴∠2＝∠CBE，∴∠AEO＝∠C＝90°，

∴AC是⊙O的切线，

∵⊙O是△BDE的外接圆，

∴AC是△BDE的外接圆的切线；

（2）∵AE是圆O的切线，AB是圆的割线，

根据切割线定理：AE2＝AD×AB，

∵，

∴（）2＝2×（2+BD），

解得：BD＝4．

∴BD的长是：4