2019-2020学年北京市东城区九年级（上）期末数学试卷

这是一份2019-2020学年北京市东城区九年级（上）期末数学试卷，共37页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）我国是一个多民族国家，民俗文化丰富多彩．下面是几幅具有浓厚民族特色的图案，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，F为BC的中点，延长AD至点E，使DE：AD＝1：3，连接EF交DC于点G，则S△DEG：S△CFG等于（ ）
A．4：9B．2：3C．9：4D．3：2
3．（2分）抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）的对称轴是（ ）
A．直线x＝aB．直线x＝2aC．直线x＝1D．直线x＝﹣1
4．（2分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是圆上两点，若∠AOC＝126°，则∠CDB等于（ ）
A．27°B．37°C．54°D．64°
5．（2分）将抛物线y＝2x2﹣1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（ ）
A．y＝2（x﹣1）2+1B．y＝2（x+1）2﹣3
C．y＝2（x﹣1）2﹣3D．y＝2（x+1）2+1
6．（2分）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形内心的图形是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（﹣2，0），点B的坐标是（0，6），将线段AB绕点B逆时针旋转90°后得到线段A′B．若反比例函数y＝的图象恰好经过A′点，则k的值是（ ）
A．9B．12C．15D．24
8．（2分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列四个结论：
①AC＝AD；②AB⊥EB；③BC＝EC；④∠A＝∠EBC；
其中一定正确的是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．②③④
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）写出一个二次函数，其图象满足：①开口向下；②与y轴交于点（0，2），这个二次函数的解析式可以是 ．
10．（2分）扬州某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行质量抽检的结果如下：
从这批玩具中，任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是 ．（精确到0.01）
11．（2分）在数学拓展课上，小聪发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，P是其中4个小正方形的公共顶点，请你在小聪的启发下，经过点P画一条直线，把图分成面积相等的两部分．（画出直线，保留画图痕迹）
12．（2分）在平面直角坐标系xOy中，若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 ．
13．（2分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？”意思就是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆（如图所示），它的影长五寸（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸），则竹竿的长为 ．
14．（2分）如图，⊙O上三点A，B，C，半径OC＝1，∠ABC＝30°，⊙O的切线PA交OC延长线于点P，从现图中选取一条以P为端点的线段，此线段的长为 ．（注明选取的线段）
15．（2分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC＝60°，AB＝2，分别以点A、点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
16．（2分）如图，在⊙O中，半径OC＝6，D是半径OC上一点，且OD＝4．A，B是⊙O上的两个动点，∠ADB＝90°，F是AB的中点，则OF的长的最大值等于 ．
三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题5分，第21题4分，第22-26題每小题5分，第27，28题每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程
17．（5分）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点．
（1）请用尺规作图法，在△ABC内，作出∠ADE，使∠ADE＝∠B，DE交AC于点E；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若＝2，AC＝6，求AE的长．
18．（5分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，∠A＝30°，CD＝2，求⊙O的半径的长．
19．（5分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
根据以上列表，回答下列问题：
（1）直接写出c的值和该二次函数图象的对称轴；
（2）写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝t的根；
（3）若m＝﹣1，求此二次函数的解析式．
20．（5分）北京世界园艺博览会（以下简称“世园会”）于2019年4月29日至10月7日在北京市延庆区举行．世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的游玩路线，如表：
小美和小红都计划去世园会游玩，她们各自在这4条路线中任意选择一条，每条路线被选择的可能性相同．
（1）求小美选择路线“清新园艺之旅”的概率；
（2）用画树状图或列表的方法，求小美和小红恰好选择同一条路线的概率．
21．（4分）如图，在正方形网格中，将格点△ABC绕某点顺时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到格点△A1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点．
（1）请通过画图找到旋转中心，将其标记为点O；
（2）直接写出旋转角α的度数．
22．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（x＞0）的图象和△ABC都在第一象限内，AB＝AC＝，BC∥x轴，且BC＝4，点A的坐标为（3，5）．
（1）若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，求此反比例函数的解析式；
（2）若将△ABC向下平移m（m＞0）个单位长度，A，C两点的对应点同时落在反比例函数图象上，求m的值．
23．（6分）为迎接国庆节，某商店购进了一批成本为每件30元的纪念商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求该商品每天的销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）若商店按不低于成本价，且不高于60元的单价销售，则销售单价定为多少元，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？
24．（6分）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，O是BC的中点，到点O的距离等于BC的所有点组成的图形记为G，图形G与AB交于点D．
（1）补全图形并求线段AD的长；
（2）点E是线段AC上的一点，当点E在什么位置时，直线ED与图形G有且只有一个交点？请说明理由．
25．（6分）如图，P是直径AB上的一点，AB＝6，CP⊥AB交半圆于点C，以BC为直角边构造等腰Rt△BCD，∠BCD＝90°，连接OD．
小明根据学习函数的经验，对线段AP，BC，OD的长度之间的关系进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）对于点P在AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段AP，BC，OD的长度的几组值，如下表：
在AP，BC，OD的长度这三个量中确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个自变量的函数；
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合函数图象，推断：当OD＝2BC时，线段AP的长度约为 ．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax与x轴交于A，B两点（A在B的左侧）．
（1）求点A，B的坐标；
（2）已知点C（2，1），P（1，﹣a），点Q在直线PC上，且Q点的横坐标为4．
①求Q点的纵坐标（用含a的式子表示）；
②若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
27．（7分）在△ABC中，∠BAC＝45°，CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，连接DE．
（1）如图1，当△ABC为锐角三角形时，
①依题意补全图形，猜想∠BAE与∠BCD之间的数量关系并证明；
②用等式表示线段AE，CE，DE的数量关系，并证明；
（2）如图2，当∠ABC为钝角时，依题意补全图形并直接写出线段AE，CE，DE的数量关系．
28．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，过⊙T外一点P引它的两条切线，切点分别为M，N，若60°≤∠MPN＜180°，则称P为⊙T的环绕点．
（1）当⊙O半径为1时，
①在P1（1，0），P2（1，1），P3（0，2）中，⊙O的环绕点是 ；
②直线y＝2x+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，若线段AB上存在⊙O的环绕点，求b的取值范围；
（2）⊙T的半径为1，圆心为（0，t），以（m，m）（m＞0）为圆心，m为半径的所有圆构成图形H，若在图形H上存在⊙T的环绕点，直接写出t的取值范围．
2019-2020学年北京市东城区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分第1-8题均有四个选项符合题意的选项只有一个
1．（2分）我国是一个多民族国家，民俗文化丰富多彩．下面是几幅具有浓厚民族特色的图案，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，F为BC的中点，延长AD至点E，使DE：AD＝1：3，连接EF交DC于点G，则S△DEG：S△CFG等于（ ）
A．4：9B．2：3C．9：4D．3：2
【分析】根据相似三角形的性质以及平行四边形的性质即可求出答案．
【解答】解：设DE＝x，AD＝3x，
在▱ABCD中，
∴AD＝BC＝3x，
∵点F为BC的中点，
∴CF＝，
∵DE∥BC，
∴△DEG∽△CFG，
∴＝（）2＝（）2＝，
故选：A．
【点评】本题考查相似三角形判定和性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定，本题属于基础题型．
3．（2分）抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）的对称轴是（ ）
A．直线x＝aB．直线x＝2aC．直线x＝1D．直线x＝﹣1
【分析】利用对称轴方程x＝﹣解答．
【解答】解：抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣＝1，即x＝1．
故选：C．
【点评】考查了二次函数的性质，解答此题时，利用对称轴方程x＝﹣即可求得答案．
4．（2分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是圆上两点，若∠AOC＝126°，则∠CDB等于（ ）
A．27°B．37°C．54°D．64°
【分析】由∠AOC＝126°，可求得∠BOC的度数，然后由圆周角定理，求得∠CDB的度数．
【解答】解：∵∠AOC＝126°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝54°，
∵∠CDB＝∠BOC＝27°．
故选：A．
【点评】此题考查了圆周角定理．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
5．（2分）将抛物线y＝2x2﹣1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（ ）
A．y＝2（x﹣1）2+1B．y＝2（x+1）2﹣3
C．y＝2（x﹣1）2﹣3D．y＝2（x+1）2+1
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律平移则可．
【解答】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，y将抛物线y＝2x2﹣1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为y＝2（x+1）2﹣1﹣2，即y＝2（x+1）2﹣3，
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
6．（2分）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形内心的图形是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据三角形内心的定义，三角形内心为三条角平分线的交点，然后利用基本作图对选项进行判断．
【解答】解：三角形内心为三条角平分线的交点，由基本作图得到B选项作了两角的角平分线，从而可用直尺成功找到三角形内心．
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了三角形的内心．
7．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（﹣2，0），点B的坐标是（0，6），将线段AB绕点B逆时针旋转90°后得到线段A′B．若反比例函数y＝的图象恰好经过A′点，则k的值是（ ）
A．9B．12C．15D．24
【分析】利用网格特点和旋转的性质确定A′的坐标，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征确定k的值．
【解答】解：如图，线段AB绕点B逆时针旋转90°后得到线段A′B．则A′点的坐标为（6，4），
∵反比例函数y＝的图象恰好经过A′点，
∴k＝6×4＝24．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线；图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
8．（2分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列四个结论：
①AC＝AD；②AB⊥EB；③BC＝EC；④∠A＝∠EBC；
其中一定正确的是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．②③④
【分析】根据旋转的性质得到AC＝CD，BC＝CE，AB＝DE，故①错误，③正确；得到∠ACD＝∠BCE，根据三角形的内角和得到∠A＝∠ADC＝，∠CBE＝，求得∠A＝∠EBC，故④正确；由于∠A+∠ABC不一定等于90°，于是得到∠ABC+∠CBE不一定等于90°，故②错误．
【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，
∴AC＝CD，BC＝CE，AB＝DE，故①错误，③正确；
∴∠ACD＝∠BCE，
∴∠A＝∠ADC＝，∠CBE＝，
∴∠A＝∠EBC，故④正确；
∵∠A+∠ABC不一定等于90°，
∴∠ABC+∠CBE不一定等于90°，故②错误．
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）写出一个二次函数，其图象满足：①开口向下；②与y轴交于点（0，2），这个二次函数的解析式可以是 y＝﹣x2+2（答案不唯一） ．
【分析】根据二次函数的性质可得出a＜0，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出c＝2，取a＝﹣1，b＝0即可得出结论．
【解答】解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c．
∵抛物线开口向下，
∴a＜0．
∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，2），
∴c＝2．
取a＝﹣1，b＝0时，二次函数的解析式为y＝﹣x2+2．
故答案为：y＝﹣x2+2（答案不唯一）．
【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，找出a＜0，c＝是解题的关键．
10．（2分）扬州某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行质量抽检的结果如下：
从这批玩具中，任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是 0.92 ．（精确到0.01）
【分析】由表中数据可判断频率在0.92左右摆动，利用频率估计概率可判断任意抽取一个毛绒玩具是优等品的概率为0.92．
【解答】解：从这批毛绒玩具中，任意抽取一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是0.92，
故答案为0.92．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确．
11．（2分）在数学拓展课上，小聪发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，P是其中4个小正方形的公共顶点，请你在小聪的启发下，经过点P画一条直线，把图分成面积相等的两部分．（画出直线，保留画图痕迹）
【分析】根据平行四边形的性质和中心对称即可画出图形．
【解答】解：如图所示：
沿着经过P、Q的直线把图形剪成面积相等的两部分．
【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图、平行四边形的性质、中心对称，解决本题的关键是理解题目中的发现．
12．（2分）在平面直角坐标系xOy中，若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 y1＜y3＜y2 ．
【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征得到y1＝﹣k，y2＝k，y3＝k，然后求出y1，y2，y3的值，从而得到它们的大小关系．
【解答】解：∵点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，
∴﹣1×y1＝k，2y2＝k，3y3＝k，
∴y1＝﹣k，y2＝k，y3＝k，
而k＞0，
∴y1＜y3＜y2．
故答案为y1＜y3＜y2．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线；图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
13．（2分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？”意思就是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆（如图所示），它的影长五寸（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸），则竹竿的长为 四丈五尺 ．
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．
【解答】解：设竹竿的长度为x尺，
∵竹竿的影长＝一丈五尺＝15尺，标杆长＝一尺五寸＝1.5尺，影长五寸＝0.5尺，
∴＝，
解得x＝45（尺），
45尺＝四丈五尺．
故答案为：四丈五尺．
【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．
14．（2分）如图，⊙O上三点A，B，C，半径OC＝1，∠ABC＝30°，⊙O的切线PA交OC延长线于点P，从现图中选取一条以P为端点的线段，此线段的长为 PA＝（答案不唯一） ．（注明选取的线段）
【分析】连接OA，根据圆周角定理求出∠AOP，根据切线的性质求出∠OAP＝90°，解直角三角形可求出AP．
【解答】解：连接OA，
∵∠ABC＝30°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，
∵过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点P，
∴∠OAP＝90°，
∵OA＝OC＝1，
∴AP＝OAtan60°＝1×＝．
故答案为：PA＝（答案不唯一）．
【点评】本题考查了切线的性质和圆周角定理、解直角三角形等知识点，能熟记切线的性质是解此题的关键，注意：圆的切线垂直于过切点的半径．
15．（2分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC＝60°，AB＝2，分别以点A、点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为 2﹣π ．（结果保留π）
【分析】根据菱形的性质得到AC⊥BD，∠ABO＝∠ABC＝30°，∠BAD＝∠BCD＝120°，根据直角三角形的性质求出AC、BD，根据扇形面积公式、菱形面积公式计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠ABO＝∠ABC＝30°，∠BAD＝∠BCD＝120°，
∴AO＝AB＝1，
由勾股定理得，OB＝＝，
∴AC＝2，BD＝2，
∴阴影部分的面积＝×2×2﹣×2＝2﹣π，
故答案为：2﹣π．
【点评】本题考查的是扇形面积计算、菱形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．
16．（2分）如图，在⊙O中，半径OC＝6，D是半径OC上一点，且OD＝4．A，B是⊙O上的两个动点，∠ADB＝90°，F是AB的中点，则OF的长的最大值等于 2+ ．
【分析】当点F与点D运动至共线时，OF长度最大，因为此时F是AB的中点，则OF⊥AB，此时A、B关于OC对称，解直角三角形即可求得OF的长度．
【解答】解：∵当点F与点D运动至共线时，OF长度最大，如图，
∵F是AB的中点，
∴OC⊥AB，
设OF为x，则DF＝x﹣4，
∵△ABD是等腰直角三角形，
∴DF＝AB＝BF＝x﹣4，
在Rt△BOF中，OB2＝OF2+BF2，
∵OB＝OC＝6，
∴36＝x2+（x﹣4）2，解得x＝2+或2﹣（舍去）
∴OF的长的最大值等于2+，
故答案为2+．
【点评】本题考查了垂径定理，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理的应用等，确定点F与点D运动至共线时，OF长度最大是解题的关键．
三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题5分，第21题4分，第22-26題每小题5分，第27，28题每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程
17．（5分）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点．
（1）请用尺规作图法，在△ABC内，作出∠ADE，使∠ADE＝∠B，DE交AC于点E；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若＝2，AC＝6，求AE的长．
【分析】（1）利用基本作图（作一个角等于已知角）作出∠ADE＝∠B；
（2）先利用作法得到∠ADE＝∠B，则可判断DE∥BC，然后根据平行线分线段成比例定理求解．
【解答】解：（1）如图，∠ADE为所作；
（2）∵∠ADE＝∠B
∴DE∥BC，
∴，
∴AE＝2EC，且AC＝6，
∴AE＝4．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
18．（5分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，∠A＝30°，CD＝2，求⊙O的半径的长．
【分析】连接BC，由圆周角定理和垂径定理得出∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝，由直角三角形的性质得出AC＝2CH＝2，AC＝BC＝2，AB＝2BC，得出BC＝2，AB＝4，求出OA＝2即可．
【解答】解：连接BC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，
∴∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝，
∵∠A＝30°，
∴AC＝2CH＝2，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，
∴AC＝BC＝2，AB＝2BC，
∴BC＝2，AB＝4，
∴OA＝2，
即⊙O的半径是2；
【点评】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
19．（5分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
根据以上列表，回答下列问题：
（1）直接写出c的值和该二次函数图象的对称轴；
（2）写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝t的根；
（3）若m＝﹣1，求此二次函数的解析式．
【分析】（1）根据表格中对应值可知对称轴的值和抛物线与y轴的交点，即可求得c的值；
（2）根据二次函数的对称性即可求得；
（3）根据待定系数法求得即可．
【解答】解：（1）根据图表可知：
二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（0，﹣2），（1，﹣2），
∴对称轴为直线x＝＝，c＝﹣2；
（2）根据二次函数的对称性可知：
（﹣2，t）关于对称轴x＝的对称点为（3，t），
即﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；
（3）若m＝﹣1，则抛物线经过点（﹣1，﹣1），（0，﹣2），（1，﹣2），
代入y＝ax2+bx+c得，
解得，
∴此二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣2．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，能熟练求解函数对称轴是解题的关键．
20．（5分）北京世界园艺博览会（以下简称“世园会”）于2019年4月29日至10月7日在北京市延庆区举行．世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的游玩路线，如表：
小美和小红都计划去世园会游玩，她们各自在这4条路线中任意选择一条，每条路线被选择的可能性相同．
（1）求小美选择路线“清新园艺之旅”的概率；
（2）用画树状图或列表的方法，求小美和小红恰好选择同一条路线的概率．
【分析】（1）由概率公式即可得出结果；
（2）画出树状图，共有16种等可能的结果，小美和小红恰好选择同一线路游览的结果有4种，由概率公式即可得出结果．
【解答】解：（1）在这四条线路任选一条，每条被选中的可能性相同，
∴在四条线路中，小美选择路线“清新园艺之旅”的概率；
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，小美和小红恰好选择同一线路游览的结果有4种，
则小美和小红恰好选择同一线路游览的概率为＝．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（4分）如图，在正方形网格中，将格点△ABC绕某点顺时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到格点△A1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点．
（1）请通过画图找到旋转中心，将其标记为点O；
（2）直接写出旋转角α的度数．
【分析】（1）连接CC1、AA1，再分别作两线段的中垂线，两中垂线的交点即为所求；
（2）连接CO、C1O，结合网格特点可得旋转角∠COC1＝α＝90°．
【解答】解：（1）如图所示，点O即为所求；
（2）如图所示，∠COC1＝α＝90°．
【点评】本题主要考查作图﹣旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质．
22．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（x＞0）的图象和△ABC都在第一象限内，AB＝AC＝，BC∥x轴，且BC＝4，点A的坐标为（3，5）．
（1）若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，求此反比例函数的解析式；
（2）若将△ABC向下平移m（m＞0）个单位长度，A，C两点的对应点同时落在反比例函数图象上，求m的值．
【分析】（1）根据已知求出B与C点坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）表示出相应的平移后A与C坐标，将之代入反比例函数表达式即可求解．
【解答】解：（1）∵AB＝AC＝，BC＝4，点A（3，5）．
∴B（1，），C（5，），
若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，则＝，
解得，k＝，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）∵点A（3，5）．C（5，），
将△ABC向下平移m个单位长度，
∴A（3，5﹣m），C（5，﹣m），
∵A，C两点同时落在反比例函数图象上，
∴3（5﹣m）＝5（﹣m），
∴m＝．
【点评】本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握等腰三角形的性质，通过等腰三角形求出点的坐标是解题的关键．
23．（6分）为迎接国庆节，某商店购进了一批成本为每件30元的纪念商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求该商品每天的销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）若商店按不低于成本价，且不高于60元的单价销售，则销售单价定为多少元，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？
【分析】（1）设y与x的函数关系式代入两个点的坐标即可求解；
（2）根据题意列出二次函数求出顶点坐标即可求解．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（30，100）、（45，70）代入，得
解得
故函数关系式为y＝﹣2x+160．
答：该商品每天的销售量y与销售单价x的函数关系式为y＝﹣2x+160．
（2）由题意，得
w＝（x﹣30）（﹣2x+160）
＝﹣2（x﹣55）2+1250
∵﹣2＜0，
故当x＜55时，w随x的增大而增大，
又30≤x≤60，
∴当x＝55时，w取得最大值，最大值为1250元．
答：销售单价定为55元，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大，最大利润是1250元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是利用二次函数的性质解决实际问题．
24．（6分）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，O是BC的中点，到点O的距离等于BC的所有点组成的图形记为G，图形G与AB交于点D．
（1）补全图形并求线段AD的长；
（2）点E是线段AC上的一点，当点E在什么位置时，直线ED与图形G有且只有一个交点？请说明理由．
【分析】（1）由勾股定理易求得AB的长；可连接CD，由圆周角定理知CD⊥AB，易知△ACD∽△ABC，可得关于AC、AD、AB的比例关系式，即可求出AD的长．
（2）当ED与⊙O相切时，由切线长定理知EC＝ED，则∠ECD＝∠EDC，那么∠A和∠DEC就是等角的余角，由此可证得AE＝DE，即E是AC的中点．在证明时，可连接OD，证OD⊥DE即可．
【解答】解：（1）如图所示，在Rt△ACB中，∵AC＝3cm，BC＝4cm，∠ACB＝90°，∴AB＝5cm；
连接CD，∵BC为直径，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°；
∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB；
∴＝，
∴AD＝＝；
（2）当点E是AC的中点时，ED与⊙O相切；
证明：连接OD，
∵DE是Rt△ADC的中线；
∴ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD；
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD；
∴∠EDO＝∠EDC+∠ODC＝∠ECD+∠OCD＝∠ACB＝90°；
∴ED⊥OD，
∴ED与⊙O相切．
【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
25．（6分）如图，P是直径AB上的一点，AB＝6，CP⊥AB交半圆于点C，以BC为直角边构造等腰Rt△BCD，∠BCD＝90°，连接OD．
小明根据学习函数的经验，对线段AP，BC，OD的长度之间的关系进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）对于点P在AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段AP，BC，OD的长度的几组值，如下表：
在AP，BC，OD的长度这三个量中确定 AP 的长度是自变量， BC 的长度和 OD 的长度都是这个自变量的函数；
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合函数图象，推断：当OD＝2BC时，线段AP的长度约为 4.5 ．
【分析】（1）由图表直接观察并进行分析，即可得出结论；
（2）可先在平面直角坐标系内进行描点，再连线即可；
（3）由数形结合的思想，直接观察图象，由x＝4.5时所对应的两个函数值即可发现结果．
【解答】解：（1）由图表观察，可看出随着AP的变化，BC和OD都在发生变化，且都有唯一确定的值和其对应，所以AP的长度是自变量，BC和OD的长度都是这个自变量的函数，
故答案分别为：AP，BC，OD；
（2）如右图，可先描点，再画出如图所示图象；
（3）由图象可推断：当OD＝2BC时，线段AP的长度约为4.5，
故答案为：4.5．
【点评】本题考查了圆的有关性质，函数的运用等，解题关键是会用数形结合的思想解决问题．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax与x轴交于A，B两点（A在B的左侧）．
（1）求点A，B的坐标；
（2）已知点C（2，1），P（1，﹣a），点Q在直线PC上，且Q点的横坐标为4．
①求Q点的纵坐标（用含a的式子表示）；
②若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
【分析】（1）根据抛物线与x轴的相交时，y＝0即可求点A，B的坐标；
（2）①已知点C（2，1），P（1，﹣a），可得直线PC解析式，点Q在直线PC上，且Q点的横坐标为4．即可求Q点的纵坐标（用含a的式子表示）；
②根据抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，即可求a的取值范围．
【解答】解：（1）令y＝0，即0＝ax2﹣4ax，
解得x1＝0，x2＝4，
∴A（0，0），B（4，0）．
答：点A、B的坐标为：（0，0），（4，0）；
（2）①设直线PC解析式为y＝kx+b，
将点C（2，1），P（1，﹣a）代入解得：
k＝1+a，b＝﹣3a﹣1，
∴直线PC解析式为y＝（1+a）x﹣3a﹣1，
当x＝4时，y＝3a+3，
所以点Q的纵坐标为3a+3．
②∵当点Q在B上方或与点B重合时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点，
3a+3≥0，∴a≥﹣1
∴当a＜0时，抛物线开口向下，抛物线只能与点Q相交，
∴﹣1≤a＜0
当a＞0时，抛物线开口向上，只能与点P相交，
当x＝1时，y＝﹣a，y＝﹣3a，
所以抛物线与点P不相交．
综上：a的取值范围是：﹣1≤a＜0
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点，解决本题的关键是综合二次函数与一次函数的性质．
27．（7分）在△ABC中，∠BAC＝45°，CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，连接DE．
（1）如图1，当△ABC为锐角三角形时，
①依题意补全图形，猜想∠BAE与∠BCD之间的数量关系并证明；
②用等式表示线段AE，CE，DE的数量关系，并证明；
（2）如图2，当∠ABC为钝角时，依题意补全图形并直接写出线段AE，CE，DE的数量关系．
【分析】（1）①依题意补全图形，由直角三角形的性质得出∠B+∠BAE＝∠B+∠BCD＝90°，即可得出∠BAE＝∠BCD
②作DG⊥DE，交AE于G，则∠EDG＝90°＝∠CDA，得出∠ADG＝∠CDE，证出△ACD是等腰直角三角形，得出AD＝CD，由①得出∠DAG＝∠DCE，证明△ADG≌△CDE（ASA），得出AG＝CE，DG＝DE，证出△DEG是等腰直角三角形，得出EG＝DE，即可得出结论；
（2）作DG⊥DE，交AE的延长线于G，则∠EDG＝90°＝∠CDA，证出△ACD是等腰直角三角形，得出AD＝CD，证明△ADG≌△CDE（ASA），得出AG＝CE，DG＝DE，得出△DEG是等腰直角三角形，证出EG＝DE，即可得出结论．
【解答】解：（1）①依题意补全图形，如图1所示：
猜想∠BAE＝∠BCD，理由如下：
∵CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，
∴∠CDB＝∠CDA＝∠AEB＝90°，
∴∠B+∠BAE＝∠B+∠BCD＝90°，
∴∠BAE＝∠BCD；
②AE＝CE+DE，理由如下：
作DG⊥DE，交AE于G，如图1﹣1所示：
则∠EDG＝90°＝∠CDA，
∴∠ADG＝∠CDE，
∵∠BAC＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AD＝CD，
由①得：∠DAG＝∠DCE，
在△ADG和△CDE中，，
∴△ADG≌△CDE（ASA），
∴AG＝CE，DG＝DE，
∴△DEG是等腰直角三角形，
∴EG＝DE，
∵AE＝AG+EG，
∴AE＝CE+DE；
（2）依题意补全图形如图2所示：CE＝AE+DE，理由如下：
作DG⊥DE，交AE的延长线于G，
则∠EDG＝90°＝∠CDA，
∴∠ADG＝∠CDE，
∵∠BAC＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AD＝CD，
同①得：∠DAG＝∠DCE，
在△ADG和△CDE中，，
∴△ADG≌△CDE（ASA），
∴AG＝CE，DG＝DE，
∴△DEG是等腰直角三角形，
∴EG＝DE，
∵AG＝AG+EG，
∴CE＝AE+DE．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．
28．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，过⊙T外一点P引它的两条切线，切点分别为M，N，若60°≤∠MPN＜180°，则称P为⊙T的环绕点．
（1）当⊙O半径为1时，
①在P1（1，0），P2（1，1），P3（0，2）中，⊙O的环绕点是 P2，P3 ；
②直线y＝2x+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，若线段AB上存在⊙O的环绕点，求b的取值范围；
（2）⊙T的半径为1，圆心为（0，t），以（m，m）（m＞0）为圆心，m为半径的所有圆构成图形H，若在图形H上存在⊙T的环绕点，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）①如图，PM，PN是⊙T的两条切线，M，N为切点，连接TM，TN．当∠MPN＝60°时，可证TP＝2TM，以T为圆心，TP为半径作⊙T，首先说明：当60°≤∠MPN＜180°时，⊙T的环绕点在图中的圆环内部（包括大圆设的点不包括小圆上的点）．利用这个结论解决问题即可．
②如图2中，设小圆交y轴的正半轴与于E．求出两种特殊位置b的值，结合图形根据对称性解决问题即可．
（2）如图3中，不妨设E（m，m），则点E在直线y＝x时，以E（m，m）（m＞0）为圆心，m为半径的⊙E与x轴相切，作⊙E的切线ON，观察图象可知，以E（m，m）（m＞0）为圆心，m为半径的所有圆构成图形H，图形H即为∠MON的内部，包括射线OM，ON上．利用（1）中结论，画出圆环，当圆环与∠MON的内部有交点时，满足条件，求出两种特殊位置t的值即可解决问题．
【解答】解：（1）①如图，PM，PN是⊙T的两条切线，M，N为切点，连接TM，TN．
当∠MPN＝60°时，∵PT平分∠MPN，
∵∠TPM＝∠TPN＝30°，
∵TM⊥PM，TN⊥PN，
∴∠PMT＝∠PNT＝90°，
∴TP＝2TM，
以T为圆心，TP为半径作⊙T，
观察图象可知：当60°≤∠MPN＜180°时，⊙T的环绕点在图中的圆环内部（包括大圆上的点不包括小圆上的点）．
如图1中，以O为圆心2为半径作⊙O，观察图象可知，P2，P3是⊙O的环绕点，
故答案为P2，P3．
②如图2中，设小圆交y轴的正半轴与于E．
当直线y＝2x+b经过点E时，b＝1．
当直线y＝2x+b与大圆相切于K（在第二象限）时，连接OK，
由题意B（0，b），A（﹣，0），
∴OB＝b，OA＝，AB＝＝＝b，
∵OK＝2，•AB•OK＝•OA•OB，
∴•b×2＝•b•，
解得b＝2，
观察图象可知，当1＜b≤2时，线段AB上存在⊙O的环绕点，
根据对称性可知：当﹣2≤b＜﹣1时，线段AB上存在⊙O的环绕点，
综上所述，满足条件的b的值为1＜b≤2或﹣2≤b＜﹣1．
（2）如图3中，不妨设E（m，m），则点E在直线y＝x时，
∵m＞0，
∴点E在射线OE上运动，作EM⊥x轴，
∵E（m，m），
∴OM＝m，EM＝，
∴以E（m，m）（m＞0）为圆心，m为半径的⊙E与x轴相切，作⊙E的切线ON，
观察图象可知，以E（m，m）（m＞0）为圆心，m为半径的所有圆构成图形H，图形H即为∠MON的内部，包括射线OM，ON上．
当⊙T的圆心在y轴的正半轴上时，假设以T为圆心，2为半径的圆与射线ON相切于D，连接TD．
∵tan∠EOM＝＝，
∴∠EOM＝30°，
∵ON，OM是⊙E的切线，
∴∠EON＝∠EOM＝30°，
∴∠TOD＝30°，
∴OT＝2DT＝4，
∴T（0，4），
当⊙T的圆心在y轴的负半轴上时，且经过点O（0，0）时，T（0，﹣2），
观察图象可知，当﹣2＜t≤4时，在图形H上存在⊙T的环绕点．
【点评】本题属于圆综合题，考查了切线长定理，直线与圆的位置关系，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想问题，学会利用特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2020/12/9 10:28:30；用户：笑涵数学；邮箱：15699920825；学号：36906111抽取的毛绒玩具数n
20
50
100
200
500
1000
1500
2000
优等品的频数m
19
47
91
184
462
921
1379
1846
优等品的频率
0.950
0.940
0.910
0.920
0.924
0.921
0.919
0.923
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y＝ax2+bx+c
…
t
m
﹣2
﹣2
n
…
A
B
C
D
漫步世园会
爱家乡•爱园艺
清新园艺之旅
车览之旅
位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
位置…
AP
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
…
BC
6.00
5.48
4.90
4.24
3.46
2.45
…
OD
6.71
7.24
7.07
6.71
6.16
5.33
…
抽取的毛绒玩具数n
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清新园艺之旅
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