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2019-2020学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷
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这是一份2019-2020学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷，共29页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）在国庆70周年的庆典活动中，使用了大量的电子显示屏，0.0009m微间距显示屏就是其中之一．数字0.0009用科学记数法表示应为（ ）
A．9×10﹣4B．9×10﹣3C．0.9×10﹣3D．0.9×10﹣4
2．（2分）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．m（a+b）＝ma+mbB．3x2﹣3x+1＝3x（x﹣1）+1
C．x2+3x+2＝（x+1）（x+2）D．（a+2）2＝a2+4a+4
3．（2分）如图是3×3的正方形网格，其中已有2个小方格涂成了黑色．现在要从编号为①‒④的小方格中选出1个也涂成黑色，使黑色部分依然是轴对称图形，不能选择的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
4．（2分）下列各式计算正确的是（ ）
A．3a2•a﹣1＝3aB．（ab2）3＝ab6
C．（x﹣2）2＝x2﹣4D．6x8÷2x2＝3x4
5．（2分）对于任意的实数x，总有意义的分式是（ ）
A．B．C．D．
6．（2分）如图，△ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，连接BE，则∠BEC的大小为（ ）
A．40°B．50°C．80°D．100°
7．（2分）若分式的值为正数，则x需满足的条件是（ ）
A．x为任意实数B．x
C．xD．x
8．（2分）已知△ABC，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB，AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（ ）
A．∠A的平分线上B．AC边的高上
C．BC边的垂直平分线上D．AB边的中线上
9．（2分）如图，已知∠MON及其边上一点A．以点A为圆心，AO长为半径画弧，分别交OM，ON于点B和C．再以点C为圆心，AC长为半径画弧，恰好经过点B．错误的结论是（ ）
A．S△AOC＝S△ABCB．∠OCB＝90°
C．∠MON＝30°D．OC＝2BC
10．（2分）已知OP平分∠AOB，点Q在OP上，点M在OA上，且点Q，M均不与点O重合．在OB上确定点N，使QN＝QM，则满足条件的点N的个数为（ ）
A．1个B．2个C．1或2个D．无数个
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
11．（2分）因式分解：a3﹣9a＝ ．
12．（2分）已知﹣2是关于x的分式方程的根，则实数k的值为 ．
13．（2分）如图，BE与CD交于点A，且∠C＝∠D．添加一个条件： ，使得△ABC≌△AED．
14．（2分）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使顶点A，C重合，折痕为EF．若∠BAE＝28°，则∠AEF的大小为 °．
15．（2分）如图，等边△ABC中，AD是BC边上的中线，且AD＝4，E，P分别是AC，AD上的动点，则CP+EP的最小值等于 ．
16．（2分）我国古代数学曾有许多重要的成就，其中“杨辉三角”（如图）就是一例．这个三角形给出了（a+b）n（n＝1，2，3，4，5，6）的展开式（按a的次数由大到小顺序排列）的系数规律．例如，第三行的三个数1，2，1，恰好对应）（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第五行的五个数1，4，6，4，1，恰好对应着）（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4展开式中各项的系数．
（1）（a+b）5展开式中a4b的系数为 ；
（2）（a+b）7展开式中各项系数的和为 ．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．（5分）计算：．
18．（5分）下面是小明设计的“已知两线段及一角作三角形”的尺规作图过程．
已知：线段m，n及∠O．
求作：△ABC，使得线段m，n及∠O分别是它的两边和一角．
作法：如图，
①以点O为圆心，m长为半径画弧，分别交∠O的两边于点M，N；
②画一条射线AP，以点A为圆心，m长为半径画弧，交AP于点B；
③以点B为圆心，MN长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D；
④画射线AD；
⑤以点A为圆心，n长为半径画弧，交AD于点C；
⑥连接BC，则△ABC即为所求作的三角形．
请回答：
（1）步骤③得到两条线段相等，即 ＝ ；
（2）∠A＝∠O的作图依据是 ；
（3）小红说小明的作图不全面，原因是 ．
19．（5分）计算：（）﹣2﹣+（π﹣5）0+||．
20．（5分）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE，AD＝AE．连接BD，CE，∠ABD＝∠ACE．求证：AB＝AC．
21．（5分）计算：[（m+n）（m﹣n）+（m﹣n）2﹣4m（m﹣n）]÷2m．
22．（5分）解方程：．
23．（6分）在三角形纸片ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝4，点E在AC上，AE＝3．将三角形纸片按图1方式折叠，使点A的对应点A′落在AB的延长线上，折痕为ED，A′E交BC于点F．
（1）求∠CFE的度数；
（2）如图2，继续将纸片沿BF折叠，点A′的对应点为A″，A″F交DE于点G．求线段DG的长．
24．（6分）如图，已知△ABC．
（1）尺规作图：过点C作AB的垂线交AB于点O．不写作法，保留作图痕迹；
（2）分别以直线AB，OC为x轴，y轴建立平面直角坐标系，使点B，C均在正半轴上．若AB＝7.5，OC＝4.5，∠A＝45°，写出点B关于y轴的对称点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，求△ACD的面积．
25．（6分）先化简，再求值：÷，其中a是满足|a﹣3|＝3﹣a的最大整数．
26．（6分）列方程，解应用题：
第二届中国国际进口博览会于2019年11月5日至10日在上海国家会展中心举行．与首届相比，第二届进博会的展览面积更大，企业展设置科技生活、汽车、装备等七个展区，展览面积由的270000平方米增加到330000平方米．参展企业比首届多了约300家，参展企业平均展览面积增加了12.8%，求首届进博会企业平均展览面积．
（1）在解应用题时，我们常借助表格、线段图等分析题目中的数量关系．
设首届进博会企业平均展览面积为x平方米，把下表补充完整：
（2）根据以上分析，列出方程（不解方程）．
27．（7分）在△ABC中，AB＞BC，直线l垂直平分AC．
（1）如图1，作∠ABC的平分线交直线l于点D，连接AD，CD．
①补全图形；
②判断∠BAD和∠BCD的数量关系，并证明．
（2）如图2，直线l与△ABC的外角∠ABE的平分线交于点D，连接AD，CD．求证：∠BAD＝∠BCD．
28．（7分）对于△ABC及其边上的点P，给出如下定义：如果点M1，M2，M3，……，Mn都在△ABC的边上，且PM1＝PM2＝PM3＝……＝PMn，那么称点M1，M2，M3，……，Mn为△ABC关于点P的等距点，线段PM1，PM2，PM3，……，PMn为△ABC关于点P的等距线段．
（1）如图1，△ABC中，∠A＜90°，AB＝AC，点P是BC的中点．
①点B，C △ABC关于点P的等距点，线段PA，PB △ABC关于点P的等距线段；（填“是”或“不是”）
②△ABC关于点P的两个等距点M1，M2分别在边AB，AC上，当相应的等距线段最短时，在图1中画出线段PM1，PM2；
（2）△ABC是边长为4的等边三角形，点P在BC上，点C，D是△ABC关于点P的等距点，且PC＝1，求线段DC的长；
（3）如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°．点P在BC上，△ABC关于点P的等距点恰好有四个，且其中一个是点C．若BC＝a，直接写出PC长的取值范围．（用含a的式子表示）
2019-2020学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共20分，每小题2分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．（2分）在国庆70周年的庆典活动中，使用了大量的电子显示屏，0.0009m微间距显示屏就是其中之一．数字0.0009用科学记数法表示应为（ ）
A．9×10﹣4B．9×10﹣3C．0.9×10﹣3D．0.9×10﹣4
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：数字0.0009用科学记数法表示应为9×10﹣4．
故选：A．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2．（2分）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．m（a+b）＝ma+mbB．3x2﹣3x+1＝3x（x﹣1）+1
C．x2+3x+2＝（x+1）（x+2）D．（a+2）2＝a2+4a+4
【分析】利用因式分解的定义，将多项式和的形式化为积的形式，即可得到结果．
【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、不是积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、是因式分解，故本选项符合题意；
D、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了因式分解的意义，熟练掌握因式分解的定义是解本题的关键．
3．（2分）如图是3×3的正方形网格，其中已有2个小方格涂成了黑色．现在要从编号为①‒④的小方格中选出1个也涂成黑色，使黑色部分依然是轴对称图形，不能选择的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【分析】利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的答案．
【解答】解：要从编号为①‒④的小方格中选出1个也涂成黑色，使黑色部分依然是轴对称图形，不能选择的是④，
故选：D．
【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确把握轴对称图形的定义是解题关键．
4．（2分）下列各式计算正确的是（ ）
A．3a2•a﹣1＝3aB．（ab2）3＝ab6
C．（x﹣2）2＝x2﹣4D．6x8÷2x2＝3x4
【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解答】解：∵3a2•a﹣1＝3a，故本选项符合题意；
∵（ab2）3＝a3b6，故本选项不符合题意；
∵（x﹣2）2＝x2﹣4x+4，故本选项不符合题意；
∵6x8÷2x2＝3x6，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．
5．（2分）对于任意的实数x，总有意义的分式是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据分式有意义的条件进行分析即可．
【解答】解：A、当x＝1时，无意义，故此选项错误；
B、无论x为何值，x2+1≠0，则总有意义，故此选项正确；
C、当x＝0时，无意义，故此选项错误；
D、当x＝1时，无意义，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分母不为零时分式有意义．
6．（2分）如图，△ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，连接BE，则∠BEC的大小为（ ）
A．40°B．50°C．80°D．100°
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据等腰三角形的性质得到∠EBA＝∠A＝40°，根据三角形的外角性质计算即可．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠EBA＝∠A＝40°，
∴∠BEC＝∠EBA+∠A＝80°，
故选：C．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
7．（2分）若分式的值为正数，则x需满足的条件是（ ）
A．x为任意实数B．x
C．xD．x
【分析】易得分母恒为正数，因为整个分式的值为正数，那么分子应为正数．
【解答】解：∵分式的值为正数，
x2+3恒为正数，
∴2x﹣1＞0，
∴x＞．
故选：C．
【点评】考查了分式的值．解题的关键是明确用到的知识点：非负数加3的结果恒为正数；分式为正，分式的分子和分母符号相同．
8．（2分）已知△ABC，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB，AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（ ）
A．∠A的平分线上B．AC边的高上
C．BC边的垂直平分线上D．AB边的中线上
【分析】作射线AM，根据角平分线的判定定理得到AM平分∠BAC，得到答案．
【解答】解：作射线AM，
由题意得，MG＝MH，MG⊥AB，MH⊥AC，
∴AM平分∠BAC，
故选：A．
【点评】本题考查的是角平分线的判定，掌握到角的两边的距离相等在角平分线上是解题的关键．
9．（2分）如图，已知∠MON及其边上一点A．以点A为圆心，AO长为半径画弧，分别交OM，ON于点B和C．再以点C为圆心，AC长为半径画弧，恰好经过点B．错误的结论是（ ）
A．S△AOC＝S△ABCB．∠OCB＝90°
C．∠MON＝30°D．OC＝2BC
【分析】由题意可知OA＝AC＝AB＝BC，△ABC是等边三角形，△OAC是等腰三角形，即可判断选项．
【解答】解：由题意可知OA＝AC＝AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠CAB＝60°，
∴∠MON＝∠OCA＝30°，
∴∠OCB＝30°+60°＝90°．
∴S△AOC＝S△ABC，
∴A，B，C，正确．
故选：D．
【点评】本题考查三角形的性质；熟练掌握等腰三角形和等边三角形的性质是解题的关键．
10．（2分）已知OP平分∠AOB，点Q在OP上，点M在OA上，且点Q，M均不与点O重合．在OB上确定点N，使QN＝QM，则满足条件的点N的个数为（ ）
A．1个B．2个C．1或2个D．无数个
【分析】如图，过点Q作EQ⊥OA于点E，作QF⊥OB于F，由“AAS”可证△OEQ≌△OFQ，可得EQ＝QF，再分类讨论可求解．
【解答】解：如图，过点Q作EQ⊥OA于点E，作QF⊥OB于F，
∵OP平分∠AOB，
∴∠AOP＝∠BOP，且OQ＝QO，∠OEQ＝∠OFQ＝90°，
∴△OEQ≌△OFQ（AAS）
∴EQ＝QF，
若点M与点E重合，则点N与点F重合，此时满足条件的点N的个数为1个，
若点M与点E不重合，则以Q为圆心，MQ为半径作圆，与OB有两个交点N，N'，此时满足条件的点N的个数为2个，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
11．（2分）因式分解：a3﹣9a＝ a（a+3）（a﹣3） ．
【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（a2﹣9）
＝a（a+3）（a﹣3），
故答案为：a（a+3）（a﹣3）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．（2分）已知﹣2是关于x的分式方程的根，则实数k的值为 2 ．
【分析】将x＝﹣2代入分式方程，求出k即可．
【解答】解：将x＝﹣2代入分式方程，
可得：﹣2﹣k＝﹣4，
解得：k＝2，
故答案为2．
【点评】本题考查分式方程的解；将所给方程的解代入原方程求解k的值是关键．
13．（2分）如图，BE与CD交于点A，且∠C＝∠D．添加一个条件： 答案不唯一，但必须是一组对应边，如：AC＝AD ，使得△ABC≌△AED．
【分析】根据三角形全等的判定方法填空．
【解答】解：已知∠C＝∠D．∠BAC＝∠EAD（对顶角相等），则添加一组对应边相等即可．
故答案是：答案不唯一，但必须是一组对应边，如：AC＝AD．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
14．（2分）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使顶点A，C重合，折痕为EF．若∠BAE＝28°，则∠AEF的大小为 59 °．
【分析】由∠BAE和∠EAF互余可求出∠EAF的度数，由AF∥BE，利用“两直线平行，内错角相等”可求出∠AEB的度数，再利用折叠的性质及平角等于180°，即可求出∠AEF的度数，此题得解．
【解答】解：∵∠BAE+∠EAF＝90°，∠BAE＝28°，
∴∠EAF＝90°﹣28°＝62°．
∵AF∥BE，
∴∠AEB＝∠EAF＝62°．
由折叠的性质，可知：∠AEF＝C′EF．
∵∠AEB+∠AEF+∠C′EF＝180°，
∴∠AEF＝（180°﹣∠AEB）＝（180°﹣62°）＝59°．
故答案为：59．
【点评】本题考查了平行线的性质、矩形的性质、折叠的性质以及角的计算，利用折叠的性质及平角等于180°，找出∠AEF＝（180°﹣∠AEB）是解题的关键．
15．（2分）如图，等边△ABC中，AD是BC边上的中线，且AD＝4，E，P分别是AC，AD上的动点，则CP+EP的最小值等于 4 ．
【分析】作BM⊥AC于M，交AD于P，根据等边三角形的性质得到AD⊥BC，求得点B，C关于AD为对称，得到BP＝CP，根据垂线段最短得出CP+EE＝BP+EP＝BE≥BM，根据数据线的面积公式即可得到结论．
【解答】解：作BM⊥AC于M，交AD于P，
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴点B，C关于AD为对称，
∴BP＝CP，
根据垂线段最短得出：CP+EE＝BP+EP＝BE≥BM，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，
∵S△ABC＝BC•AD＝AC•BM，
∴BM＝AD＝4，
即EP+CP的最小值为4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了等边三角形的性质和轴对称等知识，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是本题的关键．
16．（2分）我国古代数学曾有许多重要的成就，其中“杨辉三角”（如图）就是一例．这个三角形给出了（a+b）n（n＝1，2，3，4，5，6）的展开式（按a的次数由大到小顺序排列）的系数规律．例如，第三行的三个数1，2，1，恰好对应）（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第五行的五个数1，4，6，4，1，恰好对应着）（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4展开式中各项的系数．
（1）（a+b）5展开式中a4b的系数为 5 ；
（2）（a+b）7展开式中各项系数的和为 128 ．
【分析】（1）根据表中的规律可以直接写出（a+b）5的展开式，即可得出结果；
（2）根据表中各项系数之和，可以发现这些系数之和的变化特点，从而可以得到多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系数之和，计算可以得出（a+b）7展开式中各项系数的和．
【解答】解：（1）由图可得：
（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；
a4b的系数为5，
故答案为：5；
（2）∵（a+b）1的展开式的各项系数之和1+1＝2＝21，
（a+b）2的展开式的各项系数之和1+2+1＝4＝22，
（a+b）3的展开式的各项系数之和1+3+3+1＝8＝23，
（a+b）4的展开式的各项系数之和1+4+6+4+1＝16＝24，
…，
∴（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系数之和是2n，
∴（a+b）7展开式中各项系数的和为27＝128．
故答案为：128．
【点评】本题要先分析杨辉三角的展开式的系数规律．能够运用规律解决问题是解题的关键．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．（5分）计算：．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝＝
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
18．（5分）下面是小明设计的“已知两线段及一角作三角形”的尺规作图过程．
已知：线段m，n及∠O．
求作：△ABC，使得线段m，n及∠O分别是它的两边和一角．
作法：如图，
①以点O为圆心，m长为半径画弧，分别交∠O的两边于点M，N；
②画一条射线AP，以点A为圆心，m长为半径画弧，交AP于点B；
③以点B为圆心，MN长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D；
④画射线AD；
⑤以点A为圆心，n长为半径画弧，交AD于点C；
⑥连接BC，则△ABC即为所求作的三角形．
请回答：
（1）步骤③得到两条线段相等，即 BD ＝ MN ；
（2）∠A＝∠O的作图依据是 三边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等 ；
（3）小红说小明的作图不全面，原因是 小明没有对已知中的边和角的位置关系分类讨论 ．
【分析】根据作图步骤一一判断即可．
【解答】解：（1）BD，MN．
（2）三边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等
（3）小明没有对已知中的边和角的位置关系分类讨论．
故答案为BD，MN，三边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等，小明没有对已知中的边和角的位置关系分类讨论．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
19．（5分）计算：（）﹣2﹣+（π﹣5）0+||．
【分析】首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：（）﹣2﹣+（π﹣5）0+||
＝9﹣4+1+3﹣
＝9﹣
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．正确化简各数是解题关键．
20．（5分）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE，AD＝AE．连接BD，CE，∠ABD＝∠ACE．求证：AB＝AC．
【分析】由“AAS”可证△BAD≌△CAE，可得AB＝AC．
【解答】证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE（AAS），
∴AB＝AC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△BAD≌△CAE是本题的关键．
21．（5分）计算：[（m+n）（m﹣n）+（m﹣n）2﹣4m（m﹣n）]÷2m．
【分析】根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式和多项式除以单项式可以解答本题．
【解答】解：[（m+n）（m﹣n）+（m﹣n）2﹣4m（m﹣n）]÷2m
＝（m2﹣n2+m2﹣2mn+n2﹣4m2+4mn）÷2m
＝（﹣2m2+2mn）÷2m
＝﹣m+n．
【点评】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．
22．（5分）解方程：．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x2+3x+2﹣x2+4＝5，
解得：x＝﹣，
经检验x＝﹣是原方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
23．（6分）在三角形纸片ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝4，点E在AC上，AE＝3．将三角形纸片按图1方式折叠，使点A的对应点A′落在AB的延长线上，折痕为ED，A′E交BC于点F．
（1）求∠CFE的度数；
（2）如图2，继续将纸片沿BF折叠，点A′的对应点为A″，A″F交DE于点G．求线段DG的长．
【分析】（1）由折叠的性质可得∠A＝∠A'＝30°，AE＝A'E，由直角三角形的性质可求解；
（2）直角三角形的性质可得DE＝AE＝，由题意可证△CFE是等边三角形，△EFG也是等边三角形，可得EG＝EF＝1，即可求解．
【解答】解：（1）∵将三角形纸片按图1方式折叠，使点A的对应点A′落在AB的延长线上，
∴∠A＝∠A'，AE＝A'E，
∵∠A＝30°，
∴∠A'＝30°，
∵∠A'BF＝90°，
∴∠A'FB＝60°，
∵∠CFE＝∠A'FB，
∴∠CFE＝60°；
（2）∵点A与点A'关于直线DE对称，
∴DE⊥AA'．
∵∠A＝30°，AE＝3，
∴DE＝AE＝，
由（1）知，∠CFE＝60°，∠C＝60°，
∴△CFE是等边三角形．
∴EF＝CE＝AC﹣AE＝1，
同理，△EFG也是等边三角形，
∴EG＝EF＝1，
∴DG＝DE﹣EG＝．
【点评】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
24．（6分）如图，已知△ABC．
（1）尺规作图：过点C作AB的垂线交AB于点O．不写作法，保留作图痕迹；
（2）分别以直线AB，OC为x轴，y轴建立平面直角坐标系，使点B，C均在正半轴上．若AB＝7.5，OC＝4.5，∠A＝45°，写出点B关于y轴的对称点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，求△ACD的面积．
【分析】（1）根据尺规作图过点C作AB的垂线交AB于点O即可；
（2）根据作图过程即可写出点B关于y轴的对称点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，即可求△ACD的面积．
【解答】解：（1）如图所示：即为所求作的图形；
（2）∵CO是BD的垂直平分线，
∴OD＝OB，
∵∠A＝45°，
∴∠ACO＝45°，
∴OA＝OC＝4.5，
∴OB＝OD＝7.5﹣4.5＝3，
∴D（﹣3，0）；
（3）S△ACD＝×AD•CO＝×＝．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图、关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是根据题意准确画出图形．
25．（6分）先化简，再求值：÷，其中a是满足|a﹣3|＝3﹣a的最大整数．
【分析】首先计算括号里面的减法，再算括号外的除法，化简后，再代入a的值可得答案．
【解答】解：原式＝[﹣]，
＝[﹣]•，
＝，
＝，
＝，
＝，
∵a是满足|a﹣3|＝3﹣a的最大整数，
∴3﹣a≥0，
∴a≤3．
∴a＝3，
当a＝3时，原式＝＝．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，关键是掌握计算顺序和计算法则，正确进行化简．
26．（6分）列方程，解应用题：
第二届中国国际进口博览会于2019年11月5日至10日在上海国家会展中心举行．与首届相比，第二届进博会的展览面积更大，企业展设置科技生活、汽车、装备等七个展区，展览面积由的270000平方米增加到330000平方米．参展企业比首届多了约300家，参展企业平均展览面积增加了12.8%，求首届进博会企业平均展览面积．
（1）在解应用题时，我们常借助表格、线段图等分析题目中的数量关系．
设首届进博会企业平均展览面积为x平方米，把下表补充完整：
（2）根据以上分析，列出方程（不解方程）．
【分析】（1）直接利用总面积除以企业平均展览面积＝参展企业数量，进而得出答案；
（2）利用参展企业比首届多了约300家，得出等式即可．
【解答】解：（1）
故答案为：，，（1+12.8%）x；
（2）由题意可得：
+300＝．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，正确理解题意表示出参展企业数量是解题关键．
27．（7分）在△ABC中，AB＞BC，直线l垂直平分AC．
（1）如图1，作∠ABC的平分线交直线l于点D，连接AD，CD．
①补全图形；
②判断∠BAD和∠BCD的数量关系，并证明．
（2）如图2，直线l与△ABC的外角∠ABE的平分线交于点D，连接AD，CD．求证：∠BAD＝∠BCD．
【分析】（1）①由题意画出图形；
②过点D作DE⊥AB于E，作DF⊥BC交BC的延长线于F，由角平分线的性质可得DE＝DF，由线段垂直平分线的性质可得DA＝DC，由“HL”可证Rt△ADE≌Rt△CDF，可得∠BAD＝∠FCD．可得结论；
（2）过点D作DN⊥AB于N，作DM⊥BE于M，由“HL”可证Rt△ADN≌Rt△CDM，可得∠BAD＝∠BCD．
【解答】解：（1）①补全图形；
②结论：∠BAD+∠BCD＝180°，
理由如下：过点D作DE⊥AB于E，作DF⊥BC交BC的延长线于F，
则∠AED＝∠CFD＝90°．
∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DF．
∵直线l垂直平分AC，
∴DA＝DC，
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）．
∴∠BAD＝∠FCD．
∵∠FCD+∠BCD＝180°，
∴∠BAD+∠BCD＝180°；
（2）结论：∠BAD＝∠BCD，
理由如下：过点D作DN⊥AB于N，作DM⊥BE于M，
则∠AND＝∠CMD＝90°．
∵BD平分∠ABE，
∴DM＝DN．
∵直线l垂直平分AC，
∴DA＝DC，
在Rt△ADN和Rt△CDM中，
∴Rt△ADN≌Rt△CDM（HL）．
∴∠BAD＝∠BCD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，添加恰当辅助线是本题的关键．
28．（7分）对于△ABC及其边上的点P，给出如下定义：如果点M1，M2，M3，……，Mn都在△ABC的边上，且PM1＝PM2＝PM3＝……＝PMn，那么称点M1，M2，M3，……，Mn为△ABC关于点P的等距点，线段PM1，PM2，PM3，……，PMn为△ABC关于点P的等距线段．
（1）如图1，△ABC中，∠A＜90°，AB＝AC，点P是BC的中点．
①点B，C 是 △ABC关于点P的等距点，线段PA，PB 不是 △ABC关于点P的等距线段；（填“是”或“不是”）
②△ABC关于点P的两个等距点M1，M2分别在边AB，AC上，当相应的等距线段最短时，在图1中画出线段PM1，PM2；
（2）△ABC是边长为4的等边三角形，点P在BC上，点C，D是△ABC关于点P的等距点，且PC＝1，求线段DC的长；
（3）如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°．点P在BC上，△ABC关于点P的等距点恰好有四个，且其中一个是点C．若BC＝a，直接写出PC长的取值范围．（用含a的式子表示）
【分析】（1）①由新定义“△ABC关于点P的等距线段”即可得出答案；
②作PM1⊥AB于M1，PM2⊥AC于M2，由垂线段最短即可得出答案：
（2）以P为圆心，PC长为半径作圆P，交AC于D，交BC于D'，连接PD，则PD'＝PC＝PD＝1，得出CD'＝PC+PD'＝2；证出△PCD是等边三角形，得出CD＝PC＝1即可；
（3）分别求出当PC＝BC＝a时、当PC＝BC＝a时，△ABC关于点P的等距点，即可得出答案．
【解答】解：（1）①∵点P是BC的中点，
∴PB＝PC，
∴点B，C是△ABC关于点P的等距点；
∵AB＝AC，
∴PA⊥BC，PA≠PB，
∴线段PA，PB不是△ABC关于点P的等距线段；
故答案为：是，不是；
②作PM1⊥AB于M1，PM2⊥AC于M2，连接PA，如图1﹣1所示：
∵AB＝AC，点P是BC的中点，
∴PA平分∠BAC，
∴PM1＝PM2；
由垂线段最短可知：PM1，PM2是△ABC关于点P等距线段最短的线段；
（2）如图1﹣2，以P为圆心，PC长为半径作圆P，交AC于D，交BC于D'，连接PD，
则PD'＝PC＝PD＝1，
∴CD'＝PC+PD'＝2；
∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC＝4，∠C＝60°，
∴△PCD是等边三角形，
∴CD＝PC＝1；
即线段DC的长为2或1；
（3）当PC＝BC＝a时，
当P为BC的中点，则PB＝PC，
∴B、C是，△ABC关于点P的等距点，
作PE⊥AB于E，截取EF＝EB，连接PF，如图2所示：
则PF＝PB＝a，
∵∠B＝30°，
∴PE＝BP＝a，
∴AB边上存在2个△ABC关于点P的等距点，
∵△ABC关于点P的等距点恰好有四个，且其中一个是点C．
∴PC＜BC，即PC＜；
当PC＝BC＝a时，PB＝a，PE＝BP＝a，
则△ABC关于点P的等距点有2个在BC上，有1个在AB上，
∵△ABC关于点P的等距点恰好有四个，且其中一个是点C．
∴PC＞BC，
∴PC长的取值范围是＜PC＜．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了新定义“△ABC关于点P的等距线段”，等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、圆的性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质和直角三角形的性质，理解新定义“△ABC关于点P的等距线段”是解题的关键．
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日期：2020/12/9 9:48:24；用户：笑涵数学；邮箱：15699920825；学号：36906111届别
总面积（平方米）
参展企业数量
企业平均展览面积（平方米）
首届
270000
x
第二届
330000
届别
总面积（平方米）
参展企业数量
企业平均展览面积（平方米）
首届
270000
x
第二届
330000
（1+12.8%）x
届别
总面积（平方米）
参展企业数量
企业展平均面积（平方米）
首 届
270 000
x
第二届
330 000
（1+12.8%）x
1．（2分）在国庆70周年的庆典活动中，使用了大量的电子显示屏，0.0009m微间距显示屏就是其中之一．数字0.0009用科学记数法表示应为（ ）
A．9×10﹣4B．9×10﹣3C．0.9×10﹣3D．0.9×10﹣4
2．（2分）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．m（a+b）＝ma+mbB．3x2﹣3x+1＝3x（x﹣1）+1
C．x2+3x+2＝（x+1）（x+2）D．（a+2）2＝a2+4a+4
3．（2分）如图是3×3的正方形网格，其中已有2个小方格涂成了黑色．现在要从编号为①‒④的小方格中选出1个也涂成黑色，使黑色部分依然是轴对称图形，不能选择的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
4．（2分）下列各式计算正确的是（ ）
A．3a2•a﹣1＝3aB．（ab2）3＝ab6
C．（x﹣2）2＝x2﹣4D．6x8÷2x2＝3x4
5．（2分）对于任意的实数x，总有意义的分式是（ ）
A．B．C．D．
6．（2分）如图，△ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，连接BE，则∠BEC的大小为（ ）
A．40°B．50°C．80°D．100°
7．（2分）若分式的值为正数，则x需满足的条件是（ ）
A．x为任意实数B．x
C．xD．x
8．（2分）已知△ABC，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB，AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（ ）
A．∠A的平分线上B．AC边的高上
C．BC边的垂直平分线上D．AB边的中线上
9．（2分）如图，已知∠MON及其边上一点A．以点A为圆心，AO长为半径画弧，分别交OM，ON于点B和C．再以点C为圆心，AC长为半径画弧，恰好经过点B．错误的结论是（ ）
A．S△AOC＝S△ABCB．∠OCB＝90°
C．∠MON＝30°D．OC＝2BC
10．（2分）已知OP平分∠AOB，点Q在OP上，点M在OA上，且点Q，M均不与点O重合．在OB上确定点N，使QN＝QM，则满足条件的点N的个数为（ ）
A．1个B．2个C．1或2个D．无数个
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
11．（2分）因式分解：a3﹣9a＝ ．
12．（2分）已知﹣2是关于x的分式方程的根，则实数k的值为 ．
13．（2分）如图，BE与CD交于点A，且∠C＝∠D．添加一个条件： ，使得△ABC≌△AED．
14．（2分）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使顶点A，C重合，折痕为EF．若∠BAE＝28°，则∠AEF的大小为 °．
15．（2分）如图，等边△ABC中，AD是BC边上的中线，且AD＝4，E，P分别是AC，AD上的动点，则CP+EP的最小值等于 ．
16．（2分）我国古代数学曾有许多重要的成就，其中“杨辉三角”（如图）就是一例．这个三角形给出了（a+b）n（n＝1，2，3，4，5，6）的展开式（按a的次数由大到小顺序排列）的系数规律．例如，第三行的三个数1，2，1，恰好对应）（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第五行的五个数1，4，6，4，1，恰好对应着）（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4展开式中各项的系数．
（1）（a+b）5展开式中a4b的系数为 ；
（2）（a+b）7展开式中各项系数的和为 ．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．（5分）计算：．
18．（5分）下面是小明设计的“已知两线段及一角作三角形”的尺规作图过程．
已知：线段m，n及∠O．
求作：△ABC，使得线段m，n及∠O分别是它的两边和一角．
作法：如图，
①以点O为圆心，m长为半径画弧，分别交∠O的两边于点M，N；
②画一条射线AP，以点A为圆心，m长为半径画弧，交AP于点B；
③以点B为圆心，MN长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D；
④画射线AD；
⑤以点A为圆心，n长为半径画弧，交AD于点C；
⑥连接BC，则△ABC即为所求作的三角形．
请回答：
（1）步骤③得到两条线段相等，即 ＝ ；
（2）∠A＝∠O的作图依据是 ；
（3）小红说小明的作图不全面，原因是 ．
19．（5分）计算：（）﹣2﹣+（π﹣5）0+||．
20．（5分）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE，AD＝AE．连接BD，CE，∠ABD＝∠ACE．求证：AB＝AC．
21．（5分）计算：[（m+n）（m﹣n）+（m﹣n）2﹣4m（m﹣n）]÷2m．
22．（5分）解方程：．
23．（6分）在三角形纸片ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝4，点E在AC上，AE＝3．将三角形纸片按图1方式折叠，使点A的对应点A′落在AB的延长线上，折痕为ED，A′E交BC于点F．
（1）求∠CFE的度数；
（2）如图2，继续将纸片沿BF折叠，点A′的对应点为A″，A″F交DE于点G．求线段DG的长．
24．（6分）如图，已知△ABC．
（1）尺规作图：过点C作AB的垂线交AB于点O．不写作法，保留作图痕迹；
（2）分别以直线AB，OC为x轴，y轴建立平面直角坐标系，使点B，C均在正半轴上．若AB＝7.5，OC＝4.5，∠A＝45°，写出点B关于y轴的对称点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，求△ACD的面积．
25．（6分）先化简，再求值：÷，其中a是满足|a﹣3|＝3﹣a的最大整数．
26．（6分）列方程，解应用题：
第二届中国国际进口博览会于2019年11月5日至10日在上海国家会展中心举行．与首届相比，第二届进博会的展览面积更大，企业展设置科技生活、汽车、装备等七个展区，展览面积由的270000平方米增加到330000平方米．参展企业比首届多了约300家，参展企业平均展览面积增加了12.8%，求首届进博会企业平均展览面积．
（1）在解应用题时，我们常借助表格、线段图等分析题目中的数量关系．
设首届进博会企业平均展览面积为x平方米，把下表补充完整：
（2）根据以上分析，列出方程（不解方程）．
27．（7分）在△ABC中，AB＞BC，直线l垂直平分AC．
（1）如图1，作∠ABC的平分线交直线l于点D，连接AD，CD．
①补全图形；
②判断∠BAD和∠BCD的数量关系，并证明．
（2）如图2，直线l与△ABC的外角∠ABE的平分线交于点D，连接AD，CD．求证：∠BAD＝∠BCD．
28．（7分）对于△ABC及其边上的点P，给出如下定义：如果点M1，M2，M3，……，Mn都在△ABC的边上，且PM1＝PM2＝PM3＝……＝PMn，那么称点M1，M2，M3，……，Mn为△ABC关于点P的等距点，线段PM1，PM2，PM3，……，PMn为△ABC关于点P的等距线段．
（1）如图1，△ABC中，∠A＜90°，AB＝AC，点P是BC的中点．
①点B，C △ABC关于点P的等距点，线段PA，PB △ABC关于点P的等距线段；（填“是”或“不是”）
②△ABC关于点P的两个等距点M1，M2分别在边AB，AC上，当相应的等距线段最短时，在图1中画出线段PM1，PM2；
（2）△ABC是边长为4的等边三角形，点P在BC上，点C，D是△ABC关于点P的等距点，且PC＝1，求线段DC的长；
（3）如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°．点P在BC上，△ABC关于点P的等距点恰好有四个，且其中一个是点C．若BC＝a，直接写出PC长的取值范围．（用含a的式子表示）
2019-2020学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共20分，每小题2分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．（2分）在国庆70周年的庆典活动中，使用了大量的电子显示屏，0.0009m微间距显示屏就是其中之一．数字0.0009用科学记数法表示应为（ ）
A．9×10﹣4B．9×10﹣3C．0.9×10﹣3D．0.9×10﹣4
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：数字0.0009用科学记数法表示应为9×10﹣4．
故选：A．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2．（2分）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．m（a+b）＝ma+mbB．3x2﹣3x+1＝3x（x﹣1）+1
C．x2+3x+2＝（x+1）（x+2）D．（a+2）2＝a2+4a+4
【分析】利用因式分解的定义，将多项式和的形式化为积的形式，即可得到结果．
【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、不是积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、是因式分解，故本选项符合题意；
D、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了因式分解的意义，熟练掌握因式分解的定义是解本题的关键．
3．（2分）如图是3×3的正方形网格，其中已有2个小方格涂成了黑色．现在要从编号为①‒④的小方格中选出1个也涂成黑色，使黑色部分依然是轴对称图形，不能选择的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【分析】利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的答案．
【解答】解：要从编号为①‒④的小方格中选出1个也涂成黑色，使黑色部分依然是轴对称图形，不能选择的是④，
故选：D．
【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确把握轴对称图形的定义是解题关键．
4．（2分）下列各式计算正确的是（ ）
A．3a2•a﹣1＝3aB．（ab2）3＝ab6
C．（x﹣2）2＝x2﹣4D．6x8÷2x2＝3x4
【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解答】解：∵3a2•a﹣1＝3a，故本选项符合题意；
∵（ab2）3＝a3b6，故本选项不符合题意；
∵（x﹣2）2＝x2﹣4x+4，故本选项不符合题意；
∵6x8÷2x2＝3x6，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．
5．（2分）对于任意的实数x，总有意义的分式是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据分式有意义的条件进行分析即可．
【解答】解：A、当x＝1时，无意义，故此选项错误；
B、无论x为何值，x2+1≠0，则总有意义，故此选项正确；
C、当x＝0时，无意义，故此选项错误；
D、当x＝1时，无意义，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分母不为零时分式有意义．
6．（2分）如图，△ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，连接BE，则∠BEC的大小为（ ）
A．40°B．50°C．80°D．100°
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据等腰三角形的性质得到∠EBA＝∠A＝40°，根据三角形的外角性质计算即可．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠EBA＝∠A＝40°，
∴∠BEC＝∠EBA+∠A＝80°，
故选：C．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
7．（2分）若分式的值为正数，则x需满足的条件是（ ）
A．x为任意实数B．x
C．xD．x
【分析】易得分母恒为正数，因为整个分式的值为正数，那么分子应为正数．
【解答】解：∵分式的值为正数，
x2+3恒为正数，
∴2x﹣1＞0，
∴x＞．
故选：C．
【点评】考查了分式的值．解题的关键是明确用到的知识点：非负数加3的结果恒为正数；分式为正，分式的分子和分母符号相同．
8．（2分）已知△ABC，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB，AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（ ）
A．∠A的平分线上B．AC边的高上
C．BC边的垂直平分线上D．AB边的中线上
【分析】作射线AM，根据角平分线的判定定理得到AM平分∠BAC，得到答案．
【解答】解：作射线AM，
由题意得，MG＝MH，MG⊥AB，MH⊥AC，
∴AM平分∠BAC，
故选：A．
【点评】本题考查的是角平分线的判定，掌握到角的两边的距离相等在角平分线上是解题的关键．
9．（2分）如图，已知∠MON及其边上一点A．以点A为圆心，AO长为半径画弧，分别交OM，ON于点B和C．再以点C为圆心，AC长为半径画弧，恰好经过点B．错误的结论是（ ）
A．S△AOC＝S△ABCB．∠OCB＝90°
C．∠MON＝30°D．OC＝2BC
【分析】由题意可知OA＝AC＝AB＝BC，△ABC是等边三角形，△OAC是等腰三角形，即可判断选项．
【解答】解：由题意可知OA＝AC＝AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠CAB＝60°，
∴∠MON＝∠OCA＝30°，
∴∠OCB＝30°+60°＝90°．
∴S△AOC＝S△ABC，
∴A，B，C，正确．
故选：D．
【点评】本题考查三角形的性质；熟练掌握等腰三角形和等边三角形的性质是解题的关键．
10．（2分）已知OP平分∠AOB，点Q在OP上，点M在OA上，且点Q，M均不与点O重合．在OB上确定点N，使QN＝QM，则满足条件的点N的个数为（ ）
A．1个B．2个C．1或2个D．无数个
【分析】如图，过点Q作EQ⊥OA于点E，作QF⊥OB于F，由“AAS”可证△OEQ≌△OFQ，可得EQ＝QF，再分类讨论可求解．
【解答】解：如图，过点Q作EQ⊥OA于点E，作QF⊥OB于F，
∵OP平分∠AOB，
∴∠AOP＝∠BOP，且OQ＝QO，∠OEQ＝∠OFQ＝90°，
∴△OEQ≌△OFQ（AAS）
∴EQ＝QF，
若点M与点E重合，则点N与点F重合，此时满足条件的点N的个数为1个，
若点M与点E不重合，则以Q为圆心，MQ为半径作圆，与OB有两个交点N，N'，此时满足条件的点N的个数为2个，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
11．（2分）因式分解：a3﹣9a＝ a（a+3）（a﹣3） ．
【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（a2﹣9）
＝a（a+3）（a﹣3），
故答案为：a（a+3）（a﹣3）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．（2分）已知﹣2是关于x的分式方程的根，则实数k的值为 2 ．
【分析】将x＝﹣2代入分式方程，求出k即可．
【解答】解：将x＝﹣2代入分式方程，
可得：﹣2﹣k＝﹣4，
解得：k＝2，
故答案为2．
【点评】本题考查分式方程的解；将所给方程的解代入原方程求解k的值是关键．
13．（2分）如图，BE与CD交于点A，且∠C＝∠D．添加一个条件： 答案不唯一，但必须是一组对应边，如：AC＝AD ，使得△ABC≌△AED．
【分析】根据三角形全等的判定方法填空．
【解答】解：已知∠C＝∠D．∠BAC＝∠EAD（对顶角相等），则添加一组对应边相等即可．
故答案是：答案不唯一，但必须是一组对应边，如：AC＝AD．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
14．（2分）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使顶点A，C重合，折痕为EF．若∠BAE＝28°，则∠AEF的大小为 59 °．
【分析】由∠BAE和∠EAF互余可求出∠EAF的度数，由AF∥BE，利用“两直线平行，内错角相等”可求出∠AEB的度数，再利用折叠的性质及平角等于180°，即可求出∠AEF的度数，此题得解．
【解答】解：∵∠BAE+∠EAF＝90°，∠BAE＝28°，
∴∠EAF＝90°﹣28°＝62°．
∵AF∥BE，
∴∠AEB＝∠EAF＝62°．
由折叠的性质，可知：∠AEF＝C′EF．
∵∠AEB+∠AEF+∠C′EF＝180°，
∴∠AEF＝（180°﹣∠AEB）＝（180°﹣62°）＝59°．
故答案为：59．
【点评】本题考查了平行线的性质、矩形的性质、折叠的性质以及角的计算，利用折叠的性质及平角等于180°，找出∠AEF＝（180°﹣∠AEB）是解题的关键．
15．（2分）如图，等边△ABC中，AD是BC边上的中线，且AD＝4，E，P分别是AC，AD上的动点，则CP+EP的最小值等于 4 ．
【分析】作BM⊥AC于M，交AD于P，根据等边三角形的性质得到AD⊥BC，求得点B，C关于AD为对称，得到BP＝CP，根据垂线段最短得出CP+EE＝BP+EP＝BE≥BM，根据数据线的面积公式即可得到结论．
【解答】解：作BM⊥AC于M，交AD于P，
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴点B，C关于AD为对称，
∴BP＝CP，
根据垂线段最短得出：CP+EE＝BP+EP＝BE≥BM，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，
∵S△ABC＝BC•AD＝AC•BM，
∴BM＝AD＝4，
即EP+CP的最小值为4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了等边三角形的性质和轴对称等知识，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是本题的关键．
16．（2分）我国古代数学曾有许多重要的成就，其中“杨辉三角”（如图）就是一例．这个三角形给出了（a+b）n（n＝1，2，3，4，5，6）的展开式（按a的次数由大到小顺序排列）的系数规律．例如，第三行的三个数1，2，1，恰好对应）（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第五行的五个数1，4，6，4，1，恰好对应着）（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4展开式中各项的系数．
（1）（a+b）5展开式中a4b的系数为 5 ；
（2）（a+b）7展开式中各项系数的和为 128 ．
【分析】（1）根据表中的规律可以直接写出（a+b）5的展开式，即可得出结果；
（2）根据表中各项系数之和，可以发现这些系数之和的变化特点，从而可以得到多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系数之和，计算可以得出（a+b）7展开式中各项系数的和．
【解答】解：（1）由图可得：
（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；
a4b的系数为5，
故答案为：5；
（2）∵（a+b）1的展开式的各项系数之和1+1＝2＝21，
（a+b）2的展开式的各项系数之和1+2+1＝4＝22，
（a+b）3的展开式的各项系数之和1+3+3+1＝8＝23，
（a+b）4的展开式的各项系数之和1+4+6+4+1＝16＝24，
…，
∴（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系数之和是2n，
∴（a+b）7展开式中各项系数的和为27＝128．
故答案为：128．
【点评】本题要先分析杨辉三角的展开式的系数规律．能够运用规律解决问题是解题的关键．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．（5分）计算：．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝＝
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
18．（5分）下面是小明设计的“已知两线段及一角作三角形”的尺规作图过程．
已知：线段m，n及∠O．
求作：△ABC，使得线段m，n及∠O分别是它的两边和一角．
作法：如图，
①以点O为圆心，m长为半径画弧，分别交∠O的两边于点M，N；
②画一条射线AP，以点A为圆心，m长为半径画弧，交AP于点B；
③以点B为圆心，MN长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D；
④画射线AD；
⑤以点A为圆心，n长为半径画弧，交AD于点C；
⑥连接BC，则△ABC即为所求作的三角形．
请回答：
（1）步骤③得到两条线段相等，即 BD ＝ MN ；
（2）∠A＝∠O的作图依据是 三边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等 ；
（3）小红说小明的作图不全面，原因是 小明没有对已知中的边和角的位置关系分类讨论 ．
【分析】根据作图步骤一一判断即可．
【解答】解：（1）BD，MN．
（2）三边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等
（3）小明没有对已知中的边和角的位置关系分类讨论．
故答案为BD，MN，三边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等，小明没有对已知中的边和角的位置关系分类讨论．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
19．（5分）计算：（）﹣2﹣+（π﹣5）0+||．
【分析】首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：（）﹣2﹣+（π﹣5）0+||
＝9﹣4+1+3﹣
＝9﹣
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．正确化简各数是解题关键．
20．（5分）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE，AD＝AE．连接BD，CE，∠ABD＝∠ACE．求证：AB＝AC．
【分析】由“AAS”可证△BAD≌△CAE，可得AB＝AC．
【解答】证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE（AAS），
∴AB＝AC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△BAD≌△CAE是本题的关键．
21．（5分）计算：[（m+n）（m﹣n）+（m﹣n）2﹣4m（m﹣n）]÷2m．
【分析】根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式和多项式除以单项式可以解答本题．
【解答】解：[（m+n）（m﹣n）+（m﹣n）2﹣4m（m﹣n）]÷2m
＝（m2﹣n2+m2﹣2mn+n2﹣4m2+4mn）÷2m
＝（﹣2m2+2mn）÷2m
＝﹣m+n．
【点评】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．
22．（5分）解方程：．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x2+3x+2﹣x2+4＝5，
解得：x＝﹣，
经检验x＝﹣是原方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
23．（6分）在三角形纸片ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝4，点E在AC上，AE＝3．将三角形纸片按图1方式折叠，使点A的对应点A′落在AB的延长线上，折痕为ED，A′E交BC于点F．
（1）求∠CFE的度数；
（2）如图2，继续将纸片沿BF折叠，点A′的对应点为A″，A″F交DE于点G．求线段DG的长．
【分析】（1）由折叠的性质可得∠A＝∠A'＝30°，AE＝A'E，由直角三角形的性质可求解；
（2）直角三角形的性质可得DE＝AE＝，由题意可证△CFE是等边三角形，△EFG也是等边三角形，可得EG＝EF＝1，即可求解．
【解答】解：（1）∵将三角形纸片按图1方式折叠，使点A的对应点A′落在AB的延长线上，
∴∠A＝∠A'，AE＝A'E，
∵∠A＝30°，
∴∠A'＝30°，
∵∠A'BF＝90°，
∴∠A'FB＝60°，
∵∠CFE＝∠A'FB，
∴∠CFE＝60°；
（2）∵点A与点A'关于直线DE对称，
∴DE⊥AA'．
∵∠A＝30°，AE＝3，
∴DE＝AE＝，
由（1）知，∠CFE＝60°，∠C＝60°，
∴△CFE是等边三角形．
∴EF＝CE＝AC﹣AE＝1，
同理，△EFG也是等边三角形，
∴EG＝EF＝1，
∴DG＝DE﹣EG＝．
【点评】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
24．（6分）如图，已知△ABC．
（1）尺规作图：过点C作AB的垂线交AB于点O．不写作法，保留作图痕迹；
（2）分别以直线AB，OC为x轴，y轴建立平面直角坐标系，使点B，C均在正半轴上．若AB＝7.5，OC＝4.5，∠A＝45°，写出点B关于y轴的对称点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，求△ACD的面积．
【分析】（1）根据尺规作图过点C作AB的垂线交AB于点O即可；
（2）根据作图过程即可写出点B关于y轴的对称点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，即可求△ACD的面积．
【解答】解：（1）如图所示：即为所求作的图形；
（2）∵CO是BD的垂直平分线，
∴OD＝OB，
∵∠A＝45°，
∴∠ACO＝45°，
∴OA＝OC＝4.5，
∴OB＝OD＝7.5﹣4.5＝3，
∴D（﹣3，0）；
（3）S△ACD＝×AD•CO＝×＝．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图、关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是根据题意准确画出图形．
25．（6分）先化简，再求值：÷，其中a是满足|a﹣3|＝3﹣a的最大整数．
【分析】首先计算括号里面的减法，再算括号外的除法，化简后，再代入a的值可得答案．
【解答】解：原式＝[﹣]，
＝[﹣]•，
＝，
＝，
＝，
＝，
∵a是满足|a﹣3|＝3﹣a的最大整数，
∴3﹣a≥0，
∴a≤3．
∴a＝3，
当a＝3时，原式＝＝．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，关键是掌握计算顺序和计算法则，正确进行化简．
26．（6分）列方程，解应用题：
第二届中国国际进口博览会于2019年11月5日至10日在上海国家会展中心举行．与首届相比，第二届进博会的展览面积更大，企业展设置科技生活、汽车、装备等七个展区，展览面积由的270000平方米增加到330000平方米．参展企业比首届多了约300家，参展企业平均展览面积增加了12.8%，求首届进博会企业平均展览面积．
（1）在解应用题时，我们常借助表格、线段图等分析题目中的数量关系．
设首届进博会企业平均展览面积为x平方米，把下表补充完整：
（2）根据以上分析，列出方程（不解方程）．
【分析】（1）直接利用总面积除以企业平均展览面积＝参展企业数量，进而得出答案；
（2）利用参展企业比首届多了约300家，得出等式即可．
【解答】解：（1）
故答案为：，，（1+12.8%）x；
（2）由题意可得：
+300＝．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，正确理解题意表示出参展企业数量是解题关键．
27．（7分）在△ABC中，AB＞BC，直线l垂直平分AC．
（1）如图1，作∠ABC的平分线交直线l于点D，连接AD，CD．
①补全图形；
②判断∠BAD和∠BCD的数量关系，并证明．
（2）如图2，直线l与△ABC的外角∠ABE的平分线交于点D，连接AD，CD．求证：∠BAD＝∠BCD．
【分析】（1）①由题意画出图形；
②过点D作DE⊥AB于E，作DF⊥BC交BC的延长线于F，由角平分线的性质可得DE＝DF，由线段垂直平分线的性质可得DA＝DC，由“HL”可证Rt△ADE≌Rt△CDF，可得∠BAD＝∠FCD．可得结论；
（2）过点D作DN⊥AB于N，作DM⊥BE于M，由“HL”可证Rt△ADN≌Rt△CDM，可得∠BAD＝∠BCD．
【解答】解：（1）①补全图形；
②结论：∠BAD+∠BCD＝180°，
理由如下：过点D作DE⊥AB于E，作DF⊥BC交BC的延长线于F，
则∠AED＝∠CFD＝90°．
∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DF．
∵直线l垂直平分AC，
∴DA＝DC，
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）．
∴∠BAD＝∠FCD．
∵∠FCD+∠BCD＝180°，
∴∠BAD+∠BCD＝180°；
（2）结论：∠BAD＝∠BCD，
理由如下：过点D作DN⊥AB于N，作DM⊥BE于M，
则∠AND＝∠CMD＝90°．
∵BD平分∠ABE，
∴DM＝DN．
∵直线l垂直平分AC，
∴DA＝DC，
在Rt△ADN和Rt△CDM中，
∴Rt△ADN≌Rt△CDM（HL）．
∴∠BAD＝∠BCD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，添加恰当辅助线是本题的关键．
28．（7分）对于△ABC及其边上的点P，给出如下定义：如果点M1，M2，M3，……，Mn都在△ABC的边上，且PM1＝PM2＝PM3＝……＝PMn，那么称点M1，M2，M3，……，Mn为△ABC关于点P的等距点，线段PM1，PM2，PM3，……，PMn为△ABC关于点P的等距线段．
（1）如图1，△ABC中，∠A＜90°，AB＝AC，点P是BC的中点．
①点B，C 是 △ABC关于点P的等距点，线段PA，PB 不是 △ABC关于点P的等距线段；（填“是”或“不是”）
②△ABC关于点P的两个等距点M1，M2分别在边AB，AC上，当相应的等距线段最短时，在图1中画出线段PM1，PM2；
（2）△ABC是边长为4的等边三角形，点P在BC上，点C，D是△ABC关于点P的等距点，且PC＝1，求线段DC的长；
（3）如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°．点P在BC上，△ABC关于点P的等距点恰好有四个，且其中一个是点C．若BC＝a，直接写出PC长的取值范围．（用含a的式子表示）
【分析】（1）①由新定义“△ABC关于点P的等距线段”即可得出答案；
②作PM1⊥AB于M1，PM2⊥AC于M2，由垂线段最短即可得出答案：
（2）以P为圆心，PC长为半径作圆P，交AC于D，交BC于D'，连接PD，则PD'＝PC＝PD＝1，得出CD'＝PC+PD'＝2；证出△PCD是等边三角形，得出CD＝PC＝1即可；
（3）分别求出当PC＝BC＝a时、当PC＝BC＝a时，△ABC关于点P的等距点，即可得出答案．
【解答】解：（1）①∵点P是BC的中点，
∴PB＝PC，
∴点B，C是△ABC关于点P的等距点；
∵AB＝AC，
∴PA⊥BC，PA≠PB，
∴线段PA，PB不是△ABC关于点P的等距线段；
故答案为：是，不是；
②作PM1⊥AB于M1，PM2⊥AC于M2，连接PA，如图1﹣1所示：
∵AB＝AC，点P是BC的中点，
∴PA平分∠BAC，
∴PM1＝PM2；
由垂线段最短可知：PM1，PM2是△ABC关于点P等距线段最短的线段；
（2）如图1﹣2，以P为圆心，PC长为半径作圆P，交AC于D，交BC于D'，连接PD，
则PD'＝PC＝PD＝1，
∴CD'＝PC+PD'＝2；
∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC＝4，∠C＝60°，
∴△PCD是等边三角形，
∴CD＝PC＝1；
即线段DC的长为2或1；
（3）当PC＝BC＝a时，
当P为BC的中点，则PB＝PC，
∴B、C是，△ABC关于点P的等距点，
作PE⊥AB于E，截取EF＝EB，连接PF，如图2所示：
则PF＝PB＝a，
∵∠B＝30°，
∴PE＝BP＝a，
∴AB边上存在2个△ABC关于点P的等距点，
∵△ABC关于点P的等距点恰好有四个，且其中一个是点C．
∴PC＜BC，即PC＜；
当PC＝BC＝a时，PB＝a，PE＝BP＝a，
则△ABC关于点P的等距点有2个在BC上，有1个在AB上，
∵△ABC关于点P的等距点恰好有四个，且其中一个是点C．
∴PC＞BC，
∴PC长的取值范围是＜PC＜．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了新定义“△ABC关于点P的等距线段”，等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、圆的性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质和直角三角形的性质，理解新定义“△ABC关于点P的等距线段”是解题的关键．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2020/12/9 9:48:24；用户：笑涵数学；邮箱：15699920825；学号：36906111届别
总面积（平方米）
参展企业数量
企业平均展览面积（平方米）
首届
270000
x
第二届
330000
届别
总面积（平方米）
参展企业数量
企业平均展览面积（平方米）
首届
270000
x
第二届
330000
（1+12.8%）x
届别
总面积（平方米）
参展企业数量
企业展平均面积（平方米）
首 届
270 000
x
第二届
330 000
（1+12.8%）x
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