2019-2020学年北京市通州区九上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年北京市通州区九上期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 若反比例函数的图象经过点 3,−2，则该反比例函数的表达式为
A. y=6xB. y=−6xC. y=3xD. y=−3x

2. 已知一个扇形的半径是 1，圆心角是 120∘，则这个扇形的弧长是
A. π6B. πC. π3D. 2π3

3. 如图，为了测量某棵树的高度，小刚用长为 2 m 的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距 6 m，与树距 15 m，那么这颗树的高度为
A. 5 mB. 7 mC. 7.5 mD. 21 m

4. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，点 C，D 在 ⊙O 上．若 ∠ABD=55∘，则 ∠BCD 的度数为
A. 25∘B. 30∘C. 35∘D. 40∘

5. 二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象如图所示，一元二次方程 ax2+bx+c=0a≠0 的根的判别式为 Δ=b2−4ac，则下列四个选项正确的是
A. b<0，c<0，Δ>0B. b>0，c>0，Δ>0
C. b>0，c<0，Δ>0D. b<0，c>0，Δ<0

6. 如图，⊙O 的半径为 4，将 ⊙O 的一部分沿着 AB 翻折，劣弧恰好经过圆心 O，则折痕 AB 的长为
A. 3B. 23C. 6D. 43

7. 如图，在由边长为 1 的小正方形组成的网格中，点 A，B，C 都在小正方形的顶点上，则 cs∠A 的值为
A. 255B. 2C. 55D. 12

8. 如图，在 Rt△ABC 中，∠A=90∘，AB=AC=4．点 E 为 Rt△ABC 边上一点，点 E 以每秒 1 个单位的速度从点 C 出发，沿着 C→A→B 的路径运动到点 B 为止．连接 CE，以点 C 为圆心，CE 长为半径作 ⊙C，⊙C 与线段 BC 交于点 D，设扇形 DCE 面积为 S，点 E 的运动时间为 t，则在以下四个函数图象中，最符合扇形面积 S 关于运动时间 t 的变化趋势的是
A. B.
C. D.

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 请写出一个顶点在 x 轴上的二次函数解析式： ．

10. 已知点 x1,y1，x2,y2 在反比例函数 y=2x 上，当 y1＜y2＜0 时，x1，x2 的大小关系是 ．

11. 如图，角 α 的一边在 x 轴上，另一边为射线 OP，点 P2,23，则 tanα= ．

12. 如图，点 D 为 △ABC 的 AB 边上一点，AD=2，DB=3．若 ∠B=∠ACD，则 AC= ．

13. 如图，AC，AD 是正六边形的两条对角线，在不添加任何其他线段的情况下，请写出两个关于图中角度的正确结论：
（1） ；
（2） ．

14. 二次函数 y=−x2+b+c 的部分图象如图所示，由图象可知，不等式 −x2+b+c<0 的解集为 ．

15. 已知 ⊙O 的半径为 1，其内接 △ABC 的边 AB=2，则 ∠C 的度数为 ．

16. 阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：作已知角的角平分线．
已知：如图，∠BAC．求作：∠BAC 的角平分线 AP．
小霞的作法如下：
（1）如图，在平面内任取一点 O；
（2）以点 O 为圆心，AO 为半径作圆，交射线 AB 于点 D，交射线 AC 于点 E；
（3）连接 DE，过点 O 作射线 OP 垂直于线段 DE，交 ⊙O 于点 P；
（4）过点 P 作射线 AP．
所以射线 AP 为所求．
老师说：“小霞的作法正确．”
请回答：小霞的作图依据是： ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 计算：cs30∘⋅tan60∘−4sin30∘+tan45∘．

18. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=kx+bk≠0 与反比例函数 y=mxm≠0 交于点 A−32,−2，B1,a．
（1）分别求出反比例函数和一次函数的表达式；
（2）根据函数图象，直接写出不等式 kx+b>mx 的解集．

19. 如图，△ABC 内接于 ⊙O，若 ⊙O 的半径为 6，∠B=60∘，求 AC 的长．

20. 如图，建筑物的高 CD 为 17.32 米，在其楼顶 C，测得旗杆底部 B 的俯角 α 为 60∘，旗杆顶部 A 的仰角 β 为 20∘，请你计算旗杆的高度．（sin20∘≈0.342，tan20∘≈0.364，cs20∘≈0.940，3≈1.732，结果精确到 0.1 米）

21. 如图，李师傅想用长为 80 米的棚栏，再借助教学楼的外墙围成一个矩形的活动 区 ABCD．已知教学楼外墙长 50 米，设矩形 ABCD 的边长 AB 为（米），面积为 S（平方米）．
（1）请写出活动区面积 S 与之间的关系式，并指出的取值范围；
（2）当 AB 为多少米时，活动区的面积最大?最大面积是多少?

22. 如图，ABC 是等腰三角形，AB=AC，以 AC 为直径的 ⊙O 与 BC 交于 D，DE⊥AB，垂足为点 E，ED 的延长线与 AC 的延长线交于点 F．
（1）求证：DE 是 ⊙O 的切线；
（2）若 ⊙O 的半径为 2，BE=1，求 cs∠A 的值．

23. 在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=ax2−2ax+1a>0 的对称轴为 x=b，点 A−2,m 在直线 y=−x+3 上．
（1）求 m，b 的值；
（2）若点 D3,2 在二次函数 y=ax2−2ax+1a>0 上，求 a 的值；
（3）当二次函数 y=ax2−2ax+1a>0 与直线 y=−x+3 相交于两点时，设左侧的交点为 Px1,y1，若 −3
24. 如图 1，在矩形 ABCD 中，点 E 为 AD 边中点，点 F 为 BC 边中点；点 G，H 为 AB 边三等分点，I，J 为 CD 边三等分点．小瑞分别用不同的方式连接矩形对边上的点，如图 2，图 3 所示，那么图 2 中四边形 GLH 的面积与图 3 中四边形 POL 的面积相等吗?
（1）小瑞的探究过程如下：在图 2 中，小瑞发现，S四边形GLH= S四边形ABCD；
在图 3 中，小瑞对四边形 POL 面积的探究如下，请你将小瑞的思路填写完整；
设 S△DEP=a，S△AG=b．
∵EC∥AF，
∴△DEP∽△DA，且相似比为 1:2，得到 S△DA=4a．
∵GD∥BI，
∴△AG∽△ABM，且相似比为 1:3，得到 S△ABM=9b．
又 ∵S△DAG=4a+b=16S四边形ABCD，S△ABF=9b+a=14S四边形ABCD，
∴S四边形ABCD=24a+6b=36b+4a．
∴a= b，S四边形ABCD= b，S四边形POL= b．
∴S四边形POL= S四边形ABCD，则 S四边形POL S四边形GLH（填写“>”“<”或“=”）．
（2）小瑞又按照图 4 的方式连接矩形ABCD对边上的点，则 S四边形ANML= S四边形ABCD．

25. 点 P 的“d 值”定义如下：若点 Q 为圆上任意一点，线段 PQ 长度的最大值与最小值之差即为点 P 的“d 值”，记为 dP．特别的，当点 P，Q 重合时，线段 PQ 的长度为 0．当 ⊙O 的半径为 2 时：
（1）若点 C−12,0，D3,4，则 dC= ，dP= ；
（2）若在直线 y=2+2 上存在点 P，使得 dP=2，求出点 P 的横坐标；
（3）直线 y=−33+bb>0 与轴，y 轴分别交于点 A，B．若线段 AB 上存在点 P，使得 2≤dP＜3，请你直接写出 b 的取值范围．
答案
第一部分
1. B【解析】设反比例函数的解析式为 y=kxk≠0，函数的图象经过点 3,−2，
∴−2=k3，得 k=−6，
∴ 反比例函数解析式为 y=−6x．
2. D【解析】根据弧长的公式 l=nπr180，得到：120⋅π⋅1180=23π．
3. B【解析】如图，
∵ AB⊥OD，CD⊥OD，
∴ AB∥CD，
∴ △OAB∽△OCD，
∴ ABCD=OBOD，
∵ AB=2 m，OB=6 m，OD=6+15=21 m，
∴ 2CD=621，解得 CD=7 m．
这颗树的高度为 7 m．
4. C【解析】连接 AD，
因为 AB 是 ⊙O 的直径，
所以 ∠ADB=90∘．
因为 ∠ABD=55∘，
所以 ∠DAB=90∘−55∘=35∘，
所以 ∠BCD=∠DAB=35∘．
故选：C．
5. A
【解析】由图象与 y 轴的交点位置可知：c<0，
由图象与 x 轴的交点个数可知：Δ>0，
由图象的开口方向与对称轴可知：a>0，−b2a>0，
从而可知：b<0．
6. D【解析】如图，过 O 作 OC⊥AB 于 D，交 ⊙O 于 C，连接 OA，
在 Rt△OAD 中，OD=CD=12OC=2，OA=4，
根据勾股定理，得：AD=OA2−OD2=23，
由垂径定理得，AB=2AD=43．
7. C【解析】如图，过 B 作 BD⊥AC 于 D，
则点 D 为格点，AD=2，
由勾股定理知：AB2=32+12=10，
∴AB=10，
∴Rt△ADB 中，cs∠A=ADAB=210=55，
故选：C．
8. A【解析】∵Rt△ABC 中，∠A=90∘，AB=AC=4，点 E 以每秒 1 个单位的速度从点 C 出发，
∴ 当 0≤t≤4 时，扇形面积 S=45×π×t2360=π8t2，
∴ 前半段函数图象为开口向上的抛物线的一部分，故B选项错误；
当 4 ∴ 后半段函数图象不是抛物线，故C选项错误；
∵ 当 t=8 时，点 E，D 重合，
∴ 扇形的面积为 0，故D选项错误．
第二部分
9. y=2x+12
【解析】顶点在 x 轴上时，顶点纵坐标为 0，即 k=0，例如 y=2x+12．（答案不唯一）
10. x1>x2
【解析】∵ 反比例函数 y=2x 中 x=2＞0，
∴ 此函数的图象在一，三象限，
∵ y1＜y2＜0，
∴ A，B 两点均在第三象限，
∵ 在第三象限内 y 随 x 的增大而减小，
∴ x1＞x2．
故答案为 x1＞x2．
11. 3
【解析】如图作 PE⊥x 轴于 E．
∵P2,23，
∴OE=2，PE=23，
∴tanα=PEOE=232=3．
12. 10
【解析】∵∠B=∠ACD，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴ACAB=ADAC，即 AC2+3=2AC，
∴AC=10 或 AC=−10（不合题意，舍去）．
故答案为：10．
13. ∠BAC=∠BCA，∠DAF=∠ADE
【解析】根据正六边形的特点可得到：
因为图形是正六边形，
所以 AB=BC，
所以三角形 ABC 是等腰三角形，
根据等腰三角形的性质可得 ∠BAC=∠BCA．
因为 EF∥AD，AF=ED，
所以四边形 ADEF 是等腰梯形，
根据等腰梯形的性质可得 ∠DAF=∠ADE．
由分析可知，两个关于图中角度的正确结论：（1）∠BAC=∠BCA；（2）∠DAF=∠ADE．
故答案为：∠BAC=∠BCA；∠DAF=∠ADE．
14. x<−1 或 x>5
【解析】抛物线的对称轴为直线 x=2，
而抛物线与轴的一个交点坐标为 5,0，
∴ 抛物线与轴的另一个交点坐标为 −1,0，
∴ 不等式 −x2+b+c<0 的解集为 x<−1 或 x>5．
15. 45∘ 或 135∘
【解析】如图，连接 OA，OB，过 O 作 OD⊥AB 于 D．
在 Rt△OAD 中，AD=22，OA=1，
∴sin∠AOD=ADAO=22，
∴∠AOD=45∘，∠AOB=135∘．
点 C 的位置有两种情况：
①当点 C 在如图位置时，∠C=12∠AOB=45∘；
②当点 C 在 E 点位置时，∠C=∠E=180∘−45∘=135∘．
故答案为：45∘ 或 135∘．
16. （1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）同弧或等弧所对的圆周角相等；
（3）角平分线的定义
第三部分
17. 原式=32×3−4×12+1=32−2+1=12.
18. （1） ∵ 点 A−32,−2 在函数 y=mx 上，
∴m=−32×−2=3，
∴y=3x，
∵ 点 B1,a 在 y=3x 上，
∴a=3，
∵ 直线 y=kx+b 经过 A−32,−2，B1,3，
∴−32k+b=−2,k+b=3,
解得 k=2,b=1,
∴ 直线解析式为 y=2x+1．
（2） −321．
19. 如图，作直径 AD，连接 CD．
∴∠ACD=90∘．
∵∠B=60∘，
∴∠D=∠B=60∘．
∵⊙O 的半径为 6，
∴AD=12．
在 Rt△ACD 中，∠CAD=30∘，
∴CD=6．
∴AC=63．
20. 根据题意，再 Rt△BCE 中，
∠BEC=90∘，tanα=BECE，
∴CE=BEtan60∘≈ 米，
在 Rt△ACE 中，∠AEC=90∘，tanβ=AECE，
∴AE=CE⋅tan20∘≈10×0.364=3.64 米，
∴AB=AE+BE=17.32+3.64=20.96≈21.0 米，
答：旗杆的高约为 21.0 米．
21. （1） 根据题意知 AB=x，BC=80x−2，
∴S=80−2=−2x2+80，
又 ∵x>0，0<80x−2≤50，
解得 15≤x<40，
∴S=−2x2+8015≤x<40．
（2） ∵S=−2x2+80=−2x−202+800，
∴ 当 x=20 时，S 最大值为 800，
答：当 AB 为 20 米时，活动区的面积最大，最大面积是 800 平方米．
22. （1） 连接 OD，AD，
∵AC 为圆的直径，
∴∠ADC=90∘，AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴ 点 D 为 BC 的中点，
∵ 点 O 为 AC 的中点，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB，∠AED=90∘，
∴∠ODE=90∘，
∴OD⊥DE，
则 DE 为圆 O 的切线．
（2） ∵r=2，
∴AB=AC=2r=4，
∵BE=1，
∴AE=AB−BE=3，
∵OD∥AB，
∴△FOD∽△FAE，
∴FOFA=ODAE=23，
设 CF=x，则有 OF=x+2，AF=x+4，
∴x+2x+4=23，
解得：x=2，
∴AF=6，
在 Rt△AEF 中，∠AEF=90∘，
则 csA=AEAF=12．
23. （1） ∵ 二次函数 y=ax2−2a+1a>0 的对称轴为 x=b，
∴b=2a2a=1．
∵ 点 A−2,m 在直线 y=−x+3 上，
∴m=2+3=5．
（2） ∵ 点 D3,2 在二次函数 y=ax2−2a+1a>0 上，
∴2=a×32−2a×3+1，
∴a=13．
（3） ∵ 当 x=−3 时，y=−x+3=6，
∴ 当 −3,6 在 y=ax2−2ax+1a>0 上时，6=a×−32−2a×−3+1，
∴a=13．
又 ∵ 当 x=−1 时，y=−x+3=4，
∴ 当 −1,4 在 y=ax2−2ax+1a>0 上时，4=a×−12−2a×−1+1，
∴a=1．
∴1324. （1） 16；32；42；6；17；<
（2） 15
【解析】如图 4 中，延长 CE 交 BA 的延长线于 T，连接 DN，设 S△AGL=a，S△AEN=b．
∵GL∥PH，
∴△AGL∽△AHP，相似比为 1:2，得到 S△AHP=4a，
∵AT∥CD，
∴∠T=∠ECD，
∵∠AET=∠CED，AE=ED，
∴△AET≌△DEC，
∴AT=CD，
∵AT∥CJ，
∴ANNJ=ATCJ=32，
∴S△ADNS△DNJ=32，
可得 S△DNJ=43b，
∴S△ABF=4a+73b=14S四边形ABCD，S△ADJ=103b=16S四边形ABCD，
∴16a+283b=20b，
∴a=23b，
∴S四边形ANML=1220b−8a−203b=4b，
∴S四边形ABCD=20b，
∴S四边形ANML=15S四边形ABCD．
25. （1） 1；4
【解析】根据题意可得圆内的点的 d 值 = 这个点到圆心距离的 2 倍，圆上或圆外的点的 d 值 = 圆的直径，所以 dC=1，dP=4；
故答案为 1，4；
（2） 根据题意，满足 dP=2 的点位于 ⊙O 内部，且在以 O 为圆心半径为 1 的圆上，
因为点 P 在直线 y=2x+2 上，
所以可以假设 Pa,2a+2，
因为 PO=1，
所以 a2+2a+22=1，
解得 a=−1 或 −35，
所以满足条件的点 P 的横坐标为 −1 或 −35．
（3） 33≤b<3．
【解析】根据题意，满足 2≤dP<3 得点位于点 O 为圆心外径为 32，内径为 1 的圆环内，
当线段与外环相切时，可得 b=3，
当线段于内环相切时，可得 b=33，
所以满足条件的 b 的值：33≤b<3．