2019-2020学年北京市海淀区九上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年北京市海淀区九上期末数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 抛物线 y=−12x+12+3 的顶点坐标
A. 1,3B. 1,−3C. −1,−3D. −1,3

2. 如图，在 △ABC 中，D 为 AB 的中点，DE∥BC 交 AC 于 E 点，则 △ADE 与 △ABC 的面积比为
A. 1:1B. 1:2C. 1:3D. 1:4

3. 方程 x2−x=0 的解是
A. x=0B. x=1C. x1=0，x2=1D. x1=0，x2=−1

4. 如图，在 △ABC 中，∠A=90∘，若 AB=8，AC=6，则 csC 的值为
A. 35B. 45C. 34D. 43

5. 下列各点中，抛物线 y=x2−4x−4 经过的点是
A. 0,4B. 1,−7C. −1,−1D. 2,8

6. 如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙O，若 ∠AOC=100∘，则 ∠ABC 的大小为
A. 100∘B. 50∘C. 130∘D. 80∘

7. 一个扇形的圆心角是 120∘，面积为 3π cm2，那么这个扇形的半径是
A. 1 cmB. 3 cmC. 6 cmD. 9 cm

8. 反比例函数 y=3x 的图象经过点 −1,y1，2,y2，则下列关系正确的是
A. y1y2C. y1=y2D. 不能确定

9. 抛物线 y=x−12+t 与 x 轴的两个交点之间的距离为 4，则 t 的值是
A. −1B. −2C. −3D. −4

10. 当温度不变时，气球内气体的气压 P（单位：kPa）是气体体积 V（单位：m3）的函数，如表记录了一组实验数据，则 P 与 V 的函数关系式可能是
V单位单位:kPa96644838.432
A. P=96VB. P=−16V+112
C. P=16V2−96V+176D. P=96V

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 已知 ∠A 为锐角，若 sinA=22，则 ∠A= 度．

12. 写出一个图象在第二、四象限的反比例函数 ．

13. 如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚 AD 和 BC 交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短，如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度 3 的地方（即同时使 OA=3OD，OB=3OC），然后张开两脚，使 A，B 两个尖端分别在线段 l 的两个端点上，若 CD=3.2 cm，则 AB 的长为 cm．

14. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以原点为位似中心，线段 AB 与线段 AʹBʹ 是位似图形，若 A−1,2，B−1,0，Aʹ−2,4，则 Bʹ 的坐标为 ．

15. 若关于 x 的方程 x2−mx+m=0 有两个相等实数根，则代数式 2m2−8m+1 的值为 ．

16. 下面是“用三角板画圆的切线”的画图过程．
如图 1，已知圆上一点 A，画过 A 点的圆的切线．
画法：
（1）如图 2，将三角板的直角顶点放在圆上任一点 C（与点 A 不重合）处，使其一直角边经过点 A，另一条直角边与圆交于 B 点，连接 AB；
（2）如图 3，将三角板的直角顶点与点 A 重合，使一条直角边经过点 B，画出另一条直角边所在的直线 AD．
所以直线 AD 就是过点 A 的圆的切线．
请回答：该画图的依据是 ．

三、解答题（共13小题；共169分）
17. 计算：22−2sin30∘−π−30+∣−3∣．

18. 如图，在 △ABC 中，∠C=90∘，E 是 BC 上一点，ED⊥AB，垂足为 D．求证：△ABC∽△EBD．

19. 若二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过 0,1 和 1,−2 两点，求此二次函数的表达式．

20. 已知蓄电池的电压 U 为定值，使用蓄电池时，电流 I（单位：A）与电阻 R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过 10 A，那么用电器的可变电阻 R 应控制在什么范围?请根据图象，直接写出结果 ．

21. 已知矩形的一边长为 x，且相邻两边长的和为 10．
（1）求矩形面积 S 与边长 x 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）求矩形面积 S 的最大值．

22. 如图，热气球探测器显示，从热气球 A 处看一栋楼顶部 B 处的仰角为 30∘，看这栋楼底部 C 处的俯角为 60∘，热气球与楼的水平距离 AD 为 100 米，试求这栋楼的高度 BC．

23. 在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=6，P 为 BC 边上一点，△APD 为等腰三角形．
（1）小明画出了一个满足条件的 △APD，其中 PA=PD，如图 1 所示，则 tan∠BAP 的值为 ；
（2）请你在图 2 中再画出一个满足条件的 △APD（与小明的不同），并求此时 tan∠BAP 的值．

24. 如图，直线 y=ax−4a≠0 与双曲线 y=kx 只有一个公共点 A1,−2．
（1）求 k 与 a 的值；
（2）若直线 y=ax+ba≠0 与双曲线 y=kx 有两个公共点，请直接写出 b 的取值范围．

25. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，AM 是 △ACD 的外角 ∠DAF 的平分线．
（1）求证：AM 是 ⊙O 的切线；
（2）若 ∠D=60∘，AD=2，射线 CO 与 AM 交于 N 点，请写出求 ON 长的思路．

26. 有这样一个问题：探究函数 y=12x−1x−2x−3+x 的性质．
（1）先从简单情况开始探究：
①当函数 y=12x−1+x 时，y 随 x 增大而 （填“增大”或“减小”）；
②当函数 y=12x−1x−2+x 时，它的图象与直线 y=x 的交点坐标为 ；
（2）当函数 y=12x−1x−2x−3+x 时，如表为其 y 与 x 的几组对应值．
x⋯−1201322523492⋯y⋯−11316−312716237163717716⋯
①如图，在平面直角坐标系 xOy 中，描出了以表中各对对应值为坐标的点，请根据描出的点，画出该函数的图象；
②根据画出的函数图象，写出该函数的一条性质： ．

27. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=mx2−4mx+4m+3 的顶点为 A．
（1）求点 A 的坐标；
（2）将线段 OA 沿 x 轴向右平移 2 个单位长度得到线段 OʹAʹ．
① 直接写出点 Oʹ 和 Aʹ 的坐标；
② 若抛物线 y=mx2−4mx+4m+3 与四边形 AOOʹAʹ 有且只有两个公共点，结合函数的图象，求 m 的取值范围．

28. 在 △ABC 中，AB=AC，∠BAC=α，点 P 是 △ABC 内一点，且 ∠PAC+∠PCA=α2，连接 PB，试探究 PA，PB，PC 满足的等量关系．
（1）当 α=60∘ 时，将 △ABP 绕点 A 逆时针旋转 60∘ 得到 △ACPʹ，连接 PPʹ，如图 1 所示．由 △ABP≌△ACPʹ 可以证得 △APPʹ 是等边三角形，再由 ∠PAC+∠PCA=30∘ 可得 ∠APC 的大小为 度，进而得到 △CPPʹ 是直角三角形，这样可以得到 PA，PB，PC 满足的等量关系为 ；
（2）如图 2，当 α=120∘ 时，参考（1）中的方法，探究 PA，PB，PC 满足的等量关系，并给出证明；
（3）PA，PB，PC 满足的等量关系为 ．

29. 定义：点 P 为 △ABC 内部或边上的点，若满足 △PAB，△PBC，△PAC 至少有一个三角形与 △ABC 相似（点 P 不与 △ABC 顶点重合），则称点 P 为 △ABC 的自相似点．例如：如图 1，点 P 在 △ABC 的内部，∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，则 △BCP∽△ABC，故点 P 为 △ABC 的自相似点．在平面直角坐标系 xOy 中．
（1）点 A 坐标为 2,23，AB⊥x 轴于 B 点，在 E2,1，F32,32，G12,32 这三个点中，其中是 △AOB 自相似点的是 （填字母）；
（2）若点 M 是曲线 C:y=kxk>0,x>0 上的一个动点，N 为 x 轴正半轴上一个动点；
①如图 2，若 k=33，M 点横坐标为 3，且 NM=NO，点 P 是 △MON 的自相似点，求点 P 的坐标；
②若 k=1，点 N 为 2,0，且 △MON 的自相似点有 2 个，则曲线 C 上满足这样条件的点 M 共有 个，请在图 3 中画出这些点（保留必要的画图痕迹）．
答案
第一部分
1. D
2. D【解析】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵D 是边 AB 的中点，
∴AD:AB=1:2，
∴S△ADES△ABC=ADAB2=14．
3. C【解析】x2−x=0,xx−1=0,x=0或x−1=0,
解得 x1=0，x2=1．
4. A【解析】因为 ∠A=90∘，AB=8，AC=6，
所以 BC=AB2+AC2=10，
所以 csC=ACBC=610=35．
5. B
【解析】当 x=0 时，y=x2−4x−4=−4；当 x=1 时，y=x2−4x−4=−7；当 x=−1 时，y=x2−4x−4=1；当 x=2 时，y=x2−4x−4=−8，所以点 1,−7 在抛物线 y=x2−4x−4 上．
6. C
7. B【解析】设扇形的半径为 R，由题意：3π=120π⋅R2360，
解得 R=±3，
∵ R>0，
∴ R=3 cm，
∴ 这个扇形的半径为 3 cm．
8. A【解析】∵ 反比例函数 y=3x 的图象经过点 −1,y1，2,y2，
∴y1=−3，y2=32，
∵−3<32，
∴y19. D【解析】设抛物线 y=x−12+t 与 x 轴的两个交点为 x1,0，x2,0，
则 x1=1−−t，x2=1+−t，
∴∣x1−x2∣=4，
∴1+−t−1−−t=4，
∴t=−4．
10. D
【解析】观察发现：VP=1×96=1.5×64=2×48=2.5×38.4=3×32=96，
故 P 与 V 的函数关系式为 P=96V．
第二部分
11. 45
【解析】∵∠A 为锐角，sin45∘=22，
∴∠A=45∘．
12. y=−1x（答案不唯一）
【解析】设反比例函数的解析式为 y=kx，
∵ 图象在第二、四象限，
∴ k<0，
∴ k 可以为 −1．
13. 9.6
【解析】∵OA=3OD，OB=3CO，
∴OA:OD=BO:CO=3:1，∠AOB=∠DOC，
∴△AOB∽△DOC，
∴AOOD=ABCD=31=3，
∴AB=3CD，
∵CD=3.2，
∴AB=9.6．
14. −2,0
【解析】∵A−1,2 的对应点 Aʹ 的坐标为 −2,4，
∴B−1,0 的对应点 Bʹ 的坐标为 −2,0．
15. 1
【解析】因为关于 x 的方程 x2−mx+m=0 有两个相等实数根，
所以 Δ=−m2−4m=m2−4m=0，
所以 2m2−8m+1=2m2−4m+1=1．
16. 90∘ 的圆周角所对的弦是直径，经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【解析】利用 90∘ 的圆周角所对的弦是直径可得到 AB 为直径，根据经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线可判断直线 AD 就是过点 A 的圆的切线．
第三部分
17. 原式=2−2×12−1+3=2−1−1+3=3.
18. ∵ ED⊥AB，
∴ ∠EDB=90∘．
∵ ∠C=90∘，
∴ ∠EDB=∠C．
∵ ∠B=∠B，
∴ △ABC∽△EBD．
19. ∵ 二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过 0,1 和 1,−2 两点，
∴1=c,−2=1+b+c, 解得 b=−4,c=1,
∴ 二次函数的表达式为 y=x2−4x+1．
20. （1） 设反比例函数的表达式为 I=UR，
由图象可知函数 I=UR 的图象经过点 9,4，
∴ U=4×9=36．
∴ 反比例函数的表达式为 I=36R（R>0）．
（2） R≥3.6
【解析】∵ I≤10，I=36R，
∴ I=36R≤10，
∴ R≥3.6，
即用电器可变电阻应控制在 3.6 Ω 以上的范围内．
21. （1） ∵ 矩形的一边长为 x，则另一边长为 10−x，
则 S=x10−x=−x2+10x0 （2） ∵S=−x2+10x=−x−52+25，
∴ 当 x=5 时，S 取得最大值，最大值为 25．
22. 由题意可得，α=30∘，β=60∘，AD=100，∠ADC=∠ADB=90∘，
∵ 在 Rt△ADB 中，α=30∘，AD=100，
∴tanα=BDAD=BD100=33，
∴BD=10033，
∵ 在 Rt△ADC 中，β=60∘，AD=100，
∴tanβ=CDAD=CD100=3，
∴CD=1003，
∴BC=BD+CD=10033+1003=40033（米），
即这栋楼的高度 BC 是 40033 米．
23. （1） 1
【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AB=DC，∠B=∠C=90∘，
在 Rt△PAB 和 Rt△PDC 中，
PA=PD,AB=CD,
∴ Rt△PAB≌Rt△PDC，
∴ BP=CP=12BC=3，
∴ tan∠BAP=BPAB=33=1；
（2） 分两种情况：
①如图 1，
AP=AD=6 时，BP=AP2−AB2=62−32=33，
∴ tan∠BAP=BPAB=333=3；
②如图 2，
PD=AD=6 时，CP=PD2−CD2=33，
∴ BP=BC−CP=6−33，
∴ tan∠BAP=BPAB=6−333=2−3．
（任选其中一种情况回答即可．）
24. （1） ∵ 直线 y=ax−4a≠0 与双曲线 y=kx 只有一个公共点 A1,−2，
∴−2=a−4,−2=k1, 解得：a=2,k=−2.
（2） 若直线 y=ax+ba≠0 与双曲线 y=kx 有两个公共点，
则方程组 y=2x+b,y=−2x 有两个不同的解，
∴2x+b=−2x 有两个不相等的解，
整理得：2x2+bx+2=0，
∴Δ=b2−16>0，
解得：b<−4 或 b>4．
25. （1） ∵AB 是 ⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，
∴AB 垂直平分 CD，
∴AC=AD，
∴∠BAD=12∠CAD，
∵AM 是 △ACD 的外角 ∠DAF 的平分线，
∴∠DAM=12∠FAD，
∴∠BAM=12∠CAD+∠FAD=90∘，
∴AB⊥AM，
∴AM 是 ⊙O 的切线．
（2） 思路：①如图，连接 BC，BD，
由 AB⊥CD，AB 是 ⊙O 的直径，可得 BC=BD，AC=AD，∠1=∠3=12∠CAD；
②由 ∠ADC=60∘，AD=2，可得 △ACD 为边长为 2 的等边三角形，∠1=∠3=30∘；
③由 OA=OC，可得 ∠3=∠4=30∘；
④由 ∠CAN=∠3+∠OAN=120∘，可得 ∠5=∠4=30∘，AN=AC=AD=2；
⑤由 △OAN 为含有 30∘ 的直角三角形，AN=2，可求 ON 的长．
26. （1） 增大；1,1，2,2
【解析】① ∵y=12x−1+x=32x−12，32>0，
∴y 随 x 增大而增大．
②解方程组 y=12x−1x−2+x,y=x, 得：x=1,y=1 或 x=2,y=2.
∴ 两函数的交点坐标为 1,1，2,2．
（2） ①
② y 随 x 增大而增大（答案不唯一）
【解析】该函数的性质有多条，举例如下：
Ⅰ．y 随 x 的增大而增大；
Ⅱ．函数的图象经过第一、三、四象限；
Ⅲ．函数的图象与 x 轴 y 轴各有一个交点．
从以上性质中任选一条或其他合理答案均可．
27. （1） ∵y=mx2−4mx+4m+3=mx2−4x+4+3=mx−22+3.
∴ 抛物线的顶点 A 的坐标为 2,3．
（2） ①Aʹ4,3，Oʹ2,0；
② 如图，
∵ 抛物线 y=mx2−4mx+4m+3 与四边形 AOOʹAʹ 有且只有两个公共点，
∴m<0．
由图象可知，抛物线是始终和四边形 AOOʹAʹ 的边 OʹAʹ 相交，
∴ 抛物线至少和四边形 AOOʹAʹ 有两个公共点，
∴ 若使抛物线与四边形有且只有两个公共点，则抛物线与 OA，OOʹ 没有交点，
∴ 将 0,0 代入 y=mx2−4mx+4m+3 中，得 m=−34．
∴ m 的取值范围是 −34【解析】① 由（1）知，A2,3，
∵ 线段 OA 沿 x 轴向右平移 2 个单位长度得到线段 OʹAʹ．
∴Aʹ4,3，Oʹ2,0；
28. （1） 150；PA2+PC2=PB2
【解析】如图 1，由旋转变换的性质可知，△ABP≌△ACPʹ，∠PʹAP=60∘，
∴AP=APʹ，PB=PʹC，
∴△PAPʹ 为等边三角形，
∴∠APPʹ=60∘，
∵∠PAC+∠PCA=60∘2=30∘，
∴∠APC=150∘，
∴∠PʹPC=90∘，
∴PPʹ2+PC2=PʹC2，
∴PA2+PC2=PB2；
（2） 等量关系为 3PA2+PC2=PB2．
如图 1，作将 △ABP 绕点 A 逆时针旋转 120∘ 得到 △ACPʹ，连接 PPʹ，作 AD⊥PPʹ 于点 D，
由旋转变换的性质可知，∠PAPʹ=120∘，PʹC=PB，APʹ=AP，
∴∠APPʹ=30∘，
∵∠PAC+∠PCA=120∘2=60∘，
∴∠APC=120∘，
∴∠PʹPC=90∘，
∴PPʹ2+PC2=PʹC2，
∵∠APPʹ=30∘，
∴PD=32PA，
∴PPʹ=3PA，
∴3PA2+PC2=PB2；
（3） 4PA2sin2α2+PC2=PB2
【解析】如图 1，与（2）的方法类似，
将 △ABP 绕点 A 逆时针旋转 α 得到 △ACPʹ，连接 PPʹ，作 AD⊥PPʹ 于点 D，
由旋转变换的性质可知，∠PAPʹ=α，PʹC=PB，
∴∠APPʹ=90∘−α2，
∵∠PAC+∠PCA=α2，
∴∠APC=180∘−α2，
∴∠PʹPC=180∘−α2−90∘−α2=90∘，
∴PPʹ2+PC2=PʹC2，
如图 2，
对任一 Rt△EFG，都有 sin∠EFG=cs∠EGF=cs90∘−∠EFG=EGFG，
∴ cs90∘−α2=sinα2，
∵∠APPʹ=90∘−α2，
∴ PD=PA⋅cs90∘−α2=PA⋅sinα2，
∴ PPʹ=2PA⋅sinα2，
∴ 4PA2sin2α2+PC2=PB2．
29. （1） F，G
【解析】如图 1 中，连接 OF，OE，GB，FB，作 GMʹ⊥OB 于点 Mʹ，FNʹ⊥OB 于点 Nʹ．
设直线 OA 的解析式为 y=ax，
将 A2,23 代入得 2a=23，
解得 a=3，
∴ 直线 OA 的解析式为 y=3x，
当 x=12 时，y=32，
∴ 点 G 在直线 OA 上，
∵tan∠AOB=ABOB=3，
∴∠AOB=60∘，
∴∠OAB=30∘，
∵tan∠GBM=GMʹBMʹ=3232=33，
∴∠OBG=30∘，
∴∠BOG=∠AOB，∠OBG=∠A，
∴△OBG∽△OAB，
∴ 点 G 是 △AOB 的自相似点，
同理可得 ∠FONʹ=∠A=30∘，∠FBO=∠AOB=60∘，
∴△FOB∽△BAO，
∴ 点 F 是 △AOB 的自相似点．
（2） ①如图 2，过点 M 作 MGʹ⊥x 轴于 Gʹ 点．
∵M 点的横坐标为 3，
∴y=333=3，
∴M 点的坐标为 3,3，
∴OM=32+32=23=2MGʹ，
∴∠MOGʹ=30∘，
∵MN=NO，
∴∠MOGʹ=∠OMN=30∘，
∴∠ONM=180∘−30∘−30∘=120∘，
设直线 OM 的表达式为 y=k1x，
将点 M3,3 代入得 3=3k1，解得 k1=33，
直线 OM 的表达式为 y=33x，
在 Rt△MNGʹ 中，∠MGʹN=90∘，MN2=MGʹ2+NGʹ2，
设 NM=NO=m，则 NGʹ=3−m，
∴m2=3−m2+32，
∴ON=MN=m=2，
∵△P1ON∽△NOM，△MP2N∽△MNO，
∴∠OP1N=∠MNO=120∘，∠MP2N=∠MNO=120∘，
∴∠NP1P2=∠NP2P1=60∘，
∴△NP1P2 是等边三角形，
∴OP1=NP1=P1P2=P2N=P2M，
∴P1 的横坐标为 1，P2 的横坐标为 2，
∵ 当 x=1 时，y=33×1=33，当 x=2 时，y=33×2=233，
∴P11,33，P22,233，
综上所述，P 点坐标为 1,33 或 2,233．
② 4
如图 3，
满足条件的点 M 有 4 个．
以 O 为圆心 2 为半径作圆交反比例函数于 M1，M2，以 N 为圆心 2 为半径作圆交反比例函数的图象于 M3，M4．