2019-2020学年北京市东城区八上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年北京市东城区八上期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 在国庆 70 周年的庆典活动中，使用了大量的电子显示屏，0.0009 m 微间距显示屏就是其中之一．数字 0.0009 用科学记数法表示应为
A. 9×10−4B. 9×10−3C. 0.9×10−3D. 0.9×10−4

2. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是
A. ma+b=ma+mbB. 3x2−3x+1=3xx−1+1
C. x2+3x+2=x+1x+2D. a+22=a2+4a+4

3. 如图是 3×3 的正方形网格，其中已有 2 个小方格涂成了黑色.现在要从编号为①—④的小方格中选出 1 个也涂成黑色，使黑色部分依然是轴对称图形，不能选择的是
A. ①B. ②C. ③D. ④

4. 下列各式计算正确的是
A. 3a2⋅a−1=3aB. ab23=ab6
C. x−22=x2−4D. 6x8÷2x2=3x4

5. 对于任意的实数 x，总有意义的分式是
A. x−5x2−1B. x−3x2+1C. x2+18xD. 2x−1

6. 如图，△ABC 中，∠A＝40∘，AB 的垂直平分线分别交 AB，AC 于点 D，E，连接 BE，则 ∠BEC 的大小为
A. 40∘B. 50∘C. 80∘D. 100∘

7. 若分式 2x−1x2+3 的值为正数，则 x 需满足的条件是
A. x 为任意实数B. x<12C. x>12D. x>−12

8. 已知 △ABC，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在 AB，AC 上，且这组对应边所对的顶点重合于点 M，点 M 一定在
A. ∠A 的平分线上B. AC 边的高上
C. BC 边的垂直平分线上D. AB 边的中线上

9. 如图，已知 ∠MON 及其边上一点 A．以点 A 为圆心，AO 长为半径画弧，分别交 OM，ON 于点 B 和 C．再以点 C 为圆心，AC 长为半径画弧，恰好经过点 B．错误的结论是
A. S△AOC=S△ABCB. ∠OCB=90∘C. ∠MON=30∘D. OC=2BC

10. 已知 OP 平分 ∠AOB，点 Q 在 OP 上，点 M 在 OA 上，且点 Q，M 均不与点 O 重合．在 OB 上确定点 N，使 QN=QM，则满足条件的点 N 的个数为
A. 1 个B. 2 个C. 1 或 2 个D. 无数个

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 因式分解：a3−9a= ．

12. 已知 −2 是关于 x 的分式方程 x−kx+3=2x 的根，则实数 k 的值为 ．

13. 如图，BE 与 CD 交于点 A，且 ∠C=∠D．添加一个条件： ，使得 △ABC≌△AED．

14. 如图，将长方形纸片 ABCD 折叠，使顶点 A，C 重合，折痕为 EF．若 ∠BAE=28∘，则 ∠AEF 的大小为 ∘．

15. 如图，等边 △ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，且 AD=4，E，P 分别是 AC，AD 上的动点，则 CP+EP 的最小值等于 ．

16. 我国古代数学曾有许多重要的成就，其中“杨辉三角”（如图）就是一例．这个三角形给出了 a+bn （ n=1,2,3,4,5,6 ）的展开式（按 a 的次数由大到小顺序排列）的系数规律．例如，第三行的三个数 1，2，1，恰好对应 a+b2=a2+2ab+b2 展开式中各项的系数；第五行的五个数 1，4，6，4，1，恰好对应着 a+b4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 展开式中各项的系数．
（1）a+b5 展开式中 a4b 的系数为 ；
（2）a+b7 展开式中各项系数的和 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：xx+2+3x−3．

18. 下面是小明设计的“已知两线段及一角作三角形”的尺规作图过程．
已知：线段 m，n 及 ∠O．
求作：△ABC，使得线段 m，n 及 ∠O 分别是它的两边和一角．
作法：如图，
①以点 O 为圆心，m 长为半径画弧，分别交 ∠O 的两边于点 M，N；
②画一条射线 AP，以点 A 为圆心，m 长为半径画弧，交 AP 于点 B；
③以点 B 为圆心，MN 长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点 D；
④画射线 AD；
⑤以点 A 为圆心，n 长为半径画弧，交 AD 于点 C；
⑥连接 BC，则 △ABC 即为所求作的三角形．
请回答：
（1）步骤③得到两条线段相等，即 = ；
（2）∠A＝∠O 的作图依据是 ；
（3）小红说小明的作图不全面，原因是 ．

19. 计算：13−2−16+π−50+∣5−3∣．

20. 如图，在 △ABC 和 △ADE 中，∠BAC=∠DAE，AD=AE．连接 BD，CE，∠ABD=∠ACE．求证：AB=AC．

21. 计算：m+nm−n+m−n2−4mm−n÷2m．

22. 解方程：x+1x−2−1=5x2−4．

23. 在三角形纸片 ABC 中，∠B=90∘，∠A=30∘，AC=4，点 E 在 AC 上，AE=3．将三角形纸片按图 1 方式折叠，使点 A 的对应点 Aʹ 落在 AB 的延长线上，折痕为 ED，AʹE 交 BC 于点 F．
（1）求 ∠CFE 的度数；
（2）如图 2，继续将纸片沿 BF 折叠，点 Aʹ 的对应点为 Aʺ，AʺF 交 DE 于点 G．求线段 DG 的长．

24. 如图，△ABC．
（1）尺规作图：过点 C 作 AB 的垂线交 AB 于点 O．不写作法，保留作图痕迹；
（2）分别以直线 AB，OC 为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，使点 B，C 均在正半轴上．若 AB=7.5，OC=4.5，∠A=45∘，写出点 B 关于 y 轴的对称点 D 的坐标；
（3）在（2）的条件下，求 △ACD 的面积．

25. 先化简，再求值：a−2a2+2a−a−1a2+4a+4÷a−4a+2，其中 a 是满足 ∣a−3∣=3−a 的最大整数．

26. 列方程，解应用题：
第二届中国国际进口博览会于 2019 年 11 月 5 日至 10 日在上海国家会展中心举行．与首届相比，第二届进博会的展览面积更大，企业展设置科技生活、汽车、装备等七个展区，展览面积由的 270000 平方米增加到 330000 平方米．参展企业比首届多了约 300 家，参展企业平均展览面积增加了 12.8%，求首届进博会企业平均展览面积．
（1）在解应用题时，我们常借助表格、线段图等分析题目中的数量关系．
设首届进博会企业平均展览面积为 x 平方米，把下表补充完整：
（2）根据以上分析，列出方程（不解方程）．

27. 在 ABC 中，AB>BC，直线 l 垂直平分 AC．
（1）如图 1，作 ∠ABC 的平分线交直线 l 于点 D，连接 AD，CD．
①补全图形；
②判断 ∠BAD 和 ∠BCD 的数量关系，并证明．
（2）如图 2，直线 l 与 ABC 的外角 ∠ABE 的平分线交于点 D，连接 AD，CD．求证：∠BAD=∠BCD．

28. 对于 △ABC 及其边上的点 P，给出如下定义：如果点 M1，M2，M3，⋯⋯，Mn 都在 △ABC 的边上，且 PM1=PM2=PM3=⋯⋯=PMn，那么称点 M1，M2，M3，⋯⋯，Mn 为 △ABC 关于点 P 的等距点，线段 PM1，PM2，PM3，⋯⋯，PMn 为 △ABC 关于点 P 的等距线段．
（1）如图 1，△ABC 中，∠A<90∘，AB=AC，点 P 是 BC 的中点．
①点 B，C △ABC 关于点 P 的等距点，线段 PA，PB △ABC 关于点 P 的等距线段；（填“是”或“不是”）
② △ABC 关于点 P 的两个等距点 M1，M2 分别在边 AB，AC 上，当相应的等距线段最短时，在图 1 中画出线段 PM1，PM2；
（2）△ABC 是边长为 4 的等边三角形，点 P 在 BC 上，点 C，D 是 △ABC 关于点 P 的等距点，且 PC=1，求线段 DC 的长；
（3）如图 2，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，∠B=30∘．点 P 在 BC 上，△ABC 关于点 P 的等距点恰好有四个，且其中一个是点 C．若 BC=a，直接写出 PC 长的取值范围．（用含 a 的式子表示）
答案
第一部分
1. A
2. C
3. D
4. A
5. B
6. C
7. C
8. A
9. D
10. C
第二部分
11. aa+3a−3
12. 2
13. 答案不唯一，但必须是一组对应边，如：AC=AD
14. 59
15. 4．
16. 5，128
第三部分
17. 原式=xx−3+3x+2x+2x−3=x2−3x+3x+6x+2x−3=x2+6x+2x−3.
18. （1） BD；MN
（2） 三边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等
（3） 小明没有对已知中的边和角的位置关系分类讨论
19. 13−2−16+π−50+∣5−3∣=9−4+1+3−5=9−5.
20. ∵∠BAC=∠DAE．
∴∠BAC−∠CAD=∠DAE−∠CAD．
即 ∠BAD=∠CAE．
在 △BAD 和 △CAE 中，
∠BAD=∠CAE,∠ABD=∠ACE,AD=AE,
∴△BAD≌△CAEAAS．
∴AB=AC．
21. m+nm−n+m−n2−4mm−n÷2m=m2−n2+m2−2mn+n2−4m2+4mn÷2m=−2m2+2mn÷2m=−m+n.
22.
x+1x+2−x2−4=5,x2+3x+2−x2+4=5,3x=−1,x=−13,
经检验：x=−13 是原方程的解.
∴x=−13．
23. （1） ∵∠A=30∘ ，
∴∠Aʹ=30∘．
∵∠AʹBF=90∘ ，
∴∠AʹFB=60∘．
∵∠CFE=∠AʹFB，
∴∠CFE＝60∘．
（2） ∵ 点 A 与点 Aʹ 关于直线 DE 对称，
∴DE⊥AAʹ．
∵∠A=30∘，AE=3，
∴DE=12AE=32．
由（1）知，∠CFE=60∘，∠C=60∘，
∴△CFE 是等边三角形．
∴EF=CE=AC−AE=1．
同理，△EFG 也是等边三角形，
∴DG=DE−EG=12DG=DE−EG．
24. （1）
（2） D−3,0．
（3） S△ACD=12×32×92=278．
25. 原式=a−2aa+2−a−1a+22⋅a+2a−4=a2−4aa+22−aa−1aa+22⋅a+2a−4=a−4aa+22⋅a+2a−4=1a2+2a
∵a 是满足 ∣a−3∣=3−a 的最大整数，
∴3−a≥0，
∴a≤3，
∴a=3，
∴原式=115．
26. （1）
（2） 270000x+300=3300001+12.8%x．
27. （1） ①补全图形；
②结论：∠BAD+∠BCD=180∘．
证明：过点 D 作 DE⊥AB 于 E，作 DF⊥BC 交 BC 的延长线于 F，
则 ∠AED=∠CFD=90∘．
∵BD 平分 ∠ABC，
∴DE=DF．
∵ 直线 l 垂直平分 AC，
∴DA=DC．
在 RtADE 和 RtCDF 中，
DA=DC,DE=DF,
∴RtADE≌RtCDF．
∴∠BAD=∠FCD．
∵∠FCD+∠BCD=180∘，
∴∠BAD+∠BCD=180∘．
（2） 结论：∠BAD=∠BCD．
证明：过点 D 作 DN⊥AB 于 N，作 DM⊥BE 于 M，
则 ∠AND=∠CMD=90∘．
∵BD 平分 ∠ABE，
∴DM=DN．
∵ 直线 l 垂直平分 AC，
∴DA=DC．
在 RtADN 和 RtCDM 中，
DA=DC,DN=DM,
∴RtADN≌RtCDM．
∴∠BAD=∠BCD．
28. （1） ①是，不是；
②
（2） 如图，DC=2，或 DC=1；
（3） a3